Квантовые группы и инварианты узлов

Антипод S алгебры Хопфа A обладает следующими свойствами: это морфизм биалгебры A в Aop,cop, то есть S(1) = 1 и

ε(S(x)) = ε(x), и

при всех x, y A. Если A еще и кокоммутативна, то антипод является инволюцией:

Доказательства и подробности см. в [Abe80] и [Swe69].

1.11. Примеры

(a)Пусть A — конечномерная алгебра Хопфа с антиподом S. Тогда двойственная биалгебра A является алгеброй Хопфа с антиподом S .

(b)Групповая биалгебра k[G] группы G является алгеброй Хопфа с антиподом, определяемым как S(x) = x−1 для x G.

(c)Тензорная биалгебра T (V ) является алгеброй Хопфа с антиподом, определяемым следующим образом: S(1) = 1 и для любых v1, v2, . . . , vn V

Формула (1.19) определят также антипод для симметрической биалгебры S(V ) и для обертывающей биалгебры U (g).

2. Моноидальные категории

2.1. Модули над биалгеброй

Одно из важных свойств биалгебры состоит в том, что ее категория модулей образует моноидальную категорию. Цель этого параграфа — объяснить это понятие. Пусть A = (A, μ, η, , ε) — биалгебра. Тензорное произведение двух A-модулей U V является A A-модулем:

22 ГЛАВА II

a)

Коединица ε дает возможность ввести на основном поле k структуру

где a A и x k. Пусть U, V, W — три A-модуля. Рассмотрим канонические изоморфизмы

Для элементов u U , v V , w W они задаются следующим образом:

(u v) w → u (v w),

1 v → v → v 1.

Читатель может легко проверить, что из условий (1.1), (1.2), определяющих биалгебру, вытекает, что изоморфизмы (2.4), (2.5) A-линейны, а значит лежат в категории A-Mod левых A-модулей. Заметьте, что ка-

нонический изоморфизм V W W V , задаваемый отображением

=

перестановки сомножителей τV,W , вообще говоря, не A-линеен; тем не менее, если A кокоммутативна, то он все же A-линеен.

2.2. Строго моноидальные категории

Теперь мы обсудим моноидальные категории. Пусть C — некоторая категория и — некоторый функтор из C × C в C. Это расшифровывается как то, что

(a)у нас зафиксирован объект V W для каждой пары (V, W ) объектов категории,

(b)у нас зафиксирован морфизм f g : V W → V W для каждой пары (f : V → V , g : W → W ) морфизмов C,

(c)данные (а), (b) согласованы так, что мы имеем равенство

всякий раз, когда композиция определена,

(d) и

Строго моноидальной категорией называется категория, оснащенная функтором : C × C и отмеченным объектом 1, называемым единичным объектом, так что выполнены следующие соотношения:

для всех объектов U , V , W и всех морфизмов f , g, h из C.

2.3. Пример

Пусть (Gn)n N — семейство групп, пронумерованных натуральными числами, так что G0 = {1}. Рассмотрим категорию G, объекты которой — неотрицательные целые числа, а морфизмы задаются следующим

Композиция в HomG(n, n) задается групповым умножением на Gn. Тождественным морфизмом объекта n является единица группы Gn.

Предположим, что, вдобавок, для каждой пары (m, n) зафиксирован гомоморфизм ρm,n : Gm × Gn → Gm+n, такой что

для всех m, n, p N. Тогда мы можем определить функтор : G × G → G на объектах как m n = m + n, и на морфизмах как

f g = ρm,n((f, g)) Gm+n,

где f Gm и g Gn. Соотношения (2.6), (2.7) выполняются, так как ρm,n — гомоморфизм. Соотношения (2.8) и (2.10), очевидно, выполнены при 1 = 0. Из соотношения (2.12) следуют (2.9) и (2.11). Этим доказывается, что G является строго моноидальной категорией.

2.4. Категории B и S

Применим конструкцию примера 2.3 к семейству групп кос (Bn)n и к семейству симметрических групп (Sn)n. Мы считаем, что B0 и S0 — тривиальные группы. Мы определяем гомоморфизм ρm,n: Bm × Bn → Bm+n на образующих σi параграфа 2 следующим образом:

при 1 i m − 1 и 1 j n − 1. Эта операция на косах хорошо определена. Заметьте, что ρm,n((f, g)) — это коса, полученная приставлением косы g справа к косе f , таким образом, что друг с другом косы не пересекаются и не переплетаются. Из этого наблюдения понятно, что (2.12) выполнено. Нетрудно проверить, что ρm,n порождает гомоморфизм Sm ×Sn → Sm+n с такими же свойствами. Применяя конструкцию из 2.3, мы получаем две строго моноидальные категории, которые мы соответственно обозначаем B и S.

2.5. Категория векторных пространств

Категории, имевшиеся в виду в начале параграфа 2, — это не только категории из 2.3–2.4, а, скорее, те, которые возникают в линейной алгебре, такие как категория Vect(k) векторных пространств над полем k с обычным тензорным произведением векторных пространств и линейных отображений : Vect(k) × Vect(k) → Vect(k). Категория Vect(k) не является строго моноидальной категорией, так как в ней изоморфизмы (2.4) – (2.5) не являются тождественными морфизмами. Это препятствие можно обойти. Для этого нужно в (2.8) – (2.11) поменять знаки равенства на изоморфизмы, удовлетворяющие определенным условиям. Эти условия будут подробно описаны в пункте 2.1 главы IX, где мы определим моноидальные категории в самом общем виде. В этом общем смысле категория Vect(k) является моноидальной категорией. Пока что мы сделаем вид, как это обычно и делается, что изоморфизмы (2.4) – (2.5) являются тождественными морфизмами. На самом деле, имеет место теорема Маклейна, утверждающая, что всякая моноидальная категория эквивалентна строго моноидальной. Этот факт позволяет не обращать внимания на общее понятие моноидальной категории, пока мы не дойдем до последних параграфов этой книги.

Как следствие наблюдений, сделанных в начале этого параграфа, категория A–Mod левых A-модулей является моноидальной категорией с тем же тензорным произведением и теми же морфизмами, что и Vect(k). Единичным объектом является тривиальный A-модуль k.

3. Сплетения

3.1. Cтруктура коммутирования

Теперь мы переходим к категорному аппарату, который доставляет решения уравнения Янга – Бакстера. Структурой коммутирования c на моноидальной категории C называется семейство изоморфизмов

определенных для всех пар (V, W ) объектов C, такое что коммутативна следующая диаграмма:

для любых морфизмов f , g.

3.2. Определение

Пусть C — строго моноидальная категория. Сплетением в C называется структура коммутирования на C, удовлетворяющая следующим двум соотношениям:

для всех объектов U , V , W .

Заметьте, что если c — сплетение в C, то и c−1 также является сплетением в C. Понятие сплетения может быть введено и в нестрого моноидальной категории (точное определение будет дано в параграфе 2.1 главы IX). Косовой моноидальной категорией называется моноидальная категория, оснащенная сплетением.

Теперь мы установим важное свойство косовой моноидальной категории, а именно, выполненность в ней категорного варианта уравнения Янга – Бакстера.

3.3. Теорема

Пусть U , V , W — объекты косовой строго моноидальной категории. Тогда выполнено равенство

(cV,W idU )(idV cU,W )(cU,V idW ) =

= (idW cU,V )(cU,W idV )(idU cV,W ). (3.5)

Отсюда следует, что автоморфизм cV,V объекта V V является решением уравнения Янга – Бакстера для любого объекта V косовой моноидальной категории. В результате, по предложению 2.3 главы I, мы получаем представление группы кос Bn в группе автоморфизмов объекта V n для всякого объекта V и положительного целого n.

26 ГЛАВА II

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Мы имеем равенства:

(cV,W idU )(idV cU,W )(cU,V idW ) = (cV,W idU )cU,V W =

= cU,W V (idU cV,W ) = (idW cU,V )(cU,W idV )(idU cV,W ).

Первое и последнее следуют из (3.4), второе — из (3.2) для f = idU

и g = cV,W .

3.4. Пример

Оператор перестановки сомножителей τ из примера 1.2 главы I является сплетением в моноидальной категории Vect(k). Он также является сплетением в категории k[G]–Mod представлений группы G, и вообще в моноидальной категории A–Mod модулей над любой кокоммутативной биалгеброй A.

3.5.Упражнения

(a)Покажите, что в любой строго моноидальной категории с единицей 1 для всех объектов V выполняется равенство

cV,1 = idV = c1,V .

(b) Докажите, что строго моноидальная категория B параграфа 2.4 имеет сплетение c, однозначно определенное условием c1,1 = σ1 :

1 1 → 1 1, где σ1 — образующая группы кос B2. Выразите cm,n через образующие Bm+n.

4. Косовые биалгебры

Теперь мы опишем биалгебры, категории модулей над которыми естественно оснащены сплетением. По теореме 3.3, мы тем самым сможем получать решения уравнения Янга – Бакстера систематическим образом. Пусть A = (A, μ, η, , ε) есть биалгебра, и пусть A–Mod — соответствующая моноидальная категория (определенная в параграфе 2).

4.1. Теорема

Моноидальная категория A–Mod является косовой в том и только том случае, когда существует обратимый элемент R A A,

Условие (4.1) — это более слабый вариант условия кокоммутативности биалгебры A. Элемент R, удовлетворяющий соотношениям (4.1)–(4.3), называется универсальной R-матрицей для A. Биалгебра A с универсальной R-матрицей называется косовой биалгеброй. Дринфельд использовал вместо этого термин «квазитреугольная биалгебра».

Заметьте, что всякая кокоммутативная биалгебра является косовой с универсальной R-матрицей R = 1 1.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

(a) Пусть A есть косовая биалгебра с универсальной R-матрицей R. Для всех пар (V, W ) левых A-модулей мы определим естественный изоморфизм A-модулей cRV,W : V W → W V следующим образом:

для всех v V и w W , где R = si ti. Мы утверждаем, что семей-

i

ство (cV,W )V,W является сплетением в моноидальной категории A–Mod, согласно определению из параграфа 3.

Сначала нужно доказать, что отображение cRV,W принадлежит категории A–Mod, то есть является A-линейным. Это является следствием (4.1), как показывает следующее вычисление:

cRV,W (x(v w)) = τV,W (RΔ(x)(v w)) = τV,W (Δop(x)R(v w)) =

Наконец, несложное вычисление показывает что из условий (4.2)

и(4.3) вытекают соотношения (3.3) и (3.4) соответственно.

(b)Пусть теперь, наоборот, дано сплетение c в моноидальной категории A–Mod. Определим элемент R A A следующим образом:

Покажем, что R является универсальной R-матрицей для A. Если v, w — элементы A-модулей V , W , то из условия (3.2) следует, что

cV,W (v w) = (w v)cA,A,

где v : A → V и w : A → W суть A-линейные отображения, однозначно определенные уравнениями v(1) = v и w(1) = w. Следовательно,

cV,W (v w) = (w v)(cA,A(1 1)) = τV,W ((v w)(R)) =

= τV,W (R(v w)). (4.7)

Так как cA,A A-линейно, имеем

xcA,A(1 1) = cA,A(x(1 1))

для всех x A. Из (4.7) получаем Δ(x)τA,A(R) = τA,A(RΔ(x)), что равносильно (4.1). Наконец, из соотношений (3.3) и (3.4) следуют (4.2)

и (4.3).

Из теоремы 3.3 мы заключаем, что для всякого A-модуля V автоморфизм cRV,V объекта V V есть решение уравнения Янга – Бакстера. Этот эффективный способ получения R-матриц на всех A-модулях объясняет, почему элемент R называется универсальной R-матрицей биалгебры A. Заметим, что если R = 1 1, то cRV,W = τV,W — оператор перестановки сомножителей из примера 1.2.

Теперь мы расскажем о некоторых свойствах универсальных R-мат-

риц.

4.2. Предложение

Пусть A — косовая биалгебра с универсальной R-матрицей R. Тогда имеют место равенства

R12R13R23 = R12(Δ id)(R) = (Δop id)(R)R12 =

=(τA,A id)(Δ id)(R)R12 = (τA,A id)(R13R23)R12 =

=R23R13R12.

Из того что (ε id)Δ = id и из (4.2) получаем

R = (ε id id)(Δ id)(R) = (ε id id)(R12R23) = (ε id)(R)ε(1)R.

Так как ε1 = 1 и R обратима, мы получаем что (ε id)(R) = 1. Таким же образом мы можем использовать соотношение (id ε)Δ = id и (4.3), чтобы вывести, что (id ε)(R) = 1.

(b)По (1.15) антипод S удовлетворяет соотношению μ(S id)Δ(x) =

=ε(x)1 для всех x A. Отсюда следует, что

(μ id)(S id id)(Δ id)(R) = (ε id)(R) = 1,

с учетом (4.9). Отсюда и из (4.2) получаем

1 = (μ id)(S id id)(R12R23) = (S id)(R)S(1)R.

Так как S(1) = 1, имеем (S id)(R) = R−1.

4.3. Квадрат антипода

Как было отмечено в параграфе 1, антипод S кокоммутативной алгебры Хопфа является инволюцией. Однако в случае алгебры Хопфа, оснащенной сплетением, квадрат S2, вообще говоря, не равен тождественному отображению. Тем не менее, это внутренний автоморфизм.

Пусть (A, μ, η, , ε, S, R) — косовая алгебра Хопфа с обратимым антиподом S и универсальной R-матрицей R. Рассмотрим элемент u A,

Элемент uS(u) лежит в центре A. Доказательство этих свойств можно найти в [Dri89a] (см. также [Kas95, VIII.4]).

4.4.Упражнения

(a)Пусть A есть косовая биалгебра с универсальной R-матрицей R. Покажите, что сплетение cR, задаваемое формулой (4.4), удовлетворяет

соотношению cRW,V cRV,W = idV W для всех модулей V , W в том и только

том случае, если R−1 = τA,A(R).

(b) Пусть G — конечная абелева группа и A — биалгебра, двойственная групповой биалгебре k[G]. Пусть (δg)g G есть базис в A, такой что δg(g) = 1 и δg (h) = 0, если h — элемент G, отличный от g. Для всякой функции γ : G × G → k\{0} положим

R = γ(a, b)δa δb.

a,b G

Проверьте, что R есть универсальная R-матрица для A тогда и только тогда, когда γ бимультипликативна, то есть γ(aa , b) = γ(a, b)γ(a , b)

иγ(a, bb ) = γ(a, b)γ(a, b ) для всех a, a , b, b G.

(c)Пусть A — алгебра, порожденная двумя элементами x, y, подчиняющимися соотношениям x2 = 1, y2 = 0 и yx + xy = 0. Покажите, что на A существует единственная структура алгебры Хопфа, такая что

где λ — некоторый скаляр. Покажите, что Rλ есть универсальная R-мат- рица для A. Докажите, что соответствующее сплетение инволютивно.