9. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
План
9.1.Основные понятия.
9.2.Безусловный экстремум.
9.3.Условный экстремум.
9.4.Экономическая и геометрическая интерпретация задачи нелинейного программирования.
9.5.Метод множителей Лагранжа.
9.1. Основные понятия
Во многих оптимизационных задачах целевая функция, или функции, задающие ограничения, не являются линейными. Такие задачи называются задачами нелинейного программирования.
Пример простой нелинейной задачи
Предприятие для производства какого-то продукта расходует два средства в количестве х и y соответственно. Это факторы производства, например, машины и труд, два различных вида сырья и т. п., а х и y – затраты факторов производства.
Факторы производства считаются взаимозаменяемыми. Если это «труд» и «машины», то можно применять такие методы производства, при которых величина затрат в сопоставлении с величиной затрат труда оказывается больше или меньше (производство более или менее трудоемкое).
Объем производства, выраженный в натуральных или стои- |
||||
Эта зависимость |
= ( , ). |
|
|
|
мостных единицах, является функцией затрат производства |
= |
|
||
Требуется при данных совокупных издержках1 |
1 + 2 2 |
|
||
|
называется производственной функцией. |
. |
||
Совокупные издержки выражаются формулой |
|
|
||
|
|
определить ко- |
||
личество факторов производства, которое максимизирует объем |
||||
продукции .
Математическая модель задачи |
|||
Определить такие переменные х и у, удовлетворяющие усло- |
|||
виям |
1 |
1 + 2 2 = , |
|
|
|
≥ 0, ≥ 0, |
|
при которых функция |
= ( , ) |
достигнет максимума. |
|
|
|
||
99
Ограничения могут отсутствовать. В этом случае производится безусловная оптимизация задачи. Как правило, функция z может иметь произвольный нелинейный вид. В теории нелинейной оптимизации выделяют понятие локального экстремума (локального минимума, локального максимума), глобального экстремума, условного экстремума.
Понятие условного экстремума вводится для случая, когда число переменных n не меньше 2 (n ≥ 2).
Разница между глобальным и локальным экстремумами предоставлена на рис. 9.1.
Рис. 9.1. Разница между глобальным и локальным экстремумами
Точки А и В являются точками локального экстремума, а точка С является точкой глобального экстремума.
Задачи нелинейного программирования делятся на два класса: имеющие безусловный экстремум и имеющие условный экстремум в зависимости от того, есть ли дополнительные условия или нет.
100
9.2. Безусловный экстремум |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Рассмотрим задачу безусловного экстремума. |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= + + |
|
|
− |
2 − |
3 . |
|
|
||||||||||||||
Найти экстремум функции |
′ |
= 2 + |
− 2. |
|
|
|||||||||||||||||||||
Первая производная по |
|
: |
|
|
||||||||||||||||||||||
Найдем частные производные2 |
. |
2 |
|
|
+ 2 |
− |
3. |
|
|
|||||||||||||||||
Решим систему |
|
|
|
: |
′ |
|
= |
|
|
|||||||||||||||||
Первая производная по |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
уравнений: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Получаем критическую |
+ 2 = 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
точку (1/3; 4/3). |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Найдем вторые частные производные. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Вторая производная по |
: ′ |
′ |
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Смешанные |
|
|
|
|
: |
|
|
|
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вторая производная по |
|
|
|
′′ |
|
|
|
= ′′ |
= 1 |
|
|
|||||||||||||||
Составим определитель |
|
|
′′ |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, |
экстремум есть. Так как |
|
|
|
, |
то в точке |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
1 |
= 4 − 1 = 3 |
|
|
|||||||||||||||||
(1/3; 4/3) точка минимума. |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 > 0 |
|
||||||||||
9.3. Условный экстремум |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где m – число огра- |
|||||||||||||
больше чем |
|
|
должны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Задача на минимум |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
ничений |
|
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определитель матрицы |
|
и все ее главные миноры порядка |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
иметь знак |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Задача на максимум |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, где n – |
||||||
Определитель матрицы |
|
|
должен иметь |
|
знак |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
порядка |
||||||||||||||||||||||
число переменных в задаче. |
Главный минор |
|
(−1) |
|||||||||||||||||||||||
должен |
иметь |
противоположный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
миноры |
|||||||||||
|
|
знак. Последующие + −1 |
||||||||||||||||||||||||
должны иметь чередующиеся знаки. |
|
+ |
|
= 2. |
|
|
||||||||||||||||||||
Критические |
|
= ( ) |
= , |
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
Пример: |
|
|
|
точки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(1, −1), 4 = (−1,1). |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= (1,1), 2 = (−1, −1), 3 = |
|||||||||||||||||
|
0 − 2 |
− 2 |
|
|
= 8 ( 2 |
+ 2) + 8 ∆2= −4 2 |
||||||||||||||||||||
= |
−2 |
− 2 1 ∆3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
−2 1 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
101
мум – в точках 3, 4 ( = −0,5). |
точках |
1 |
, |
2 |
( = 0,5) |
Таким образом, максимум в |
|
|
, мини- |
9.4. Экономическая и геометрическая интерпретация задачи нелинейного программирования
Система ограничений решаемой задачи нелинейного про-
−5 + 2 + 2 ≤ 0
граммирования имеет следующий1 вид2 :
1 + 21,22 − 10 ≤ 0 ≥ 0
Каждое из ограничивающих неравенств определяет полуплоскость, лежащую по одну сторону от прямой. ОДЗ получается в результате пересечения этих полуплоскостей. Условие неотрицательности позволяет ограничиться рассмотрением положительного
квадранта. ОДЗ решаемой задачи (9.2). |
||
|
0 |
= [2, 2] |
В качестве начального приближения к точке экстремума вы- |
||
берем точку |
|
, принадлежащую ОДЗП. |
Экстремальные задачи без ограничений. Задача поиск без-
условного экстремума функции многих переменных формулирует-
ся следующим образом: найти значения переменных |
|
, |
|||||||
( 1, 2 … ) |
|
|
|
|
|
|
функции |
||
доставляющие |
экстремум |
скалярной |
целевой |
1, 2 … |
|
||||
|
, если ограничения на переменные отсутствуют. |
|
|||||||
|
( ) = 6 1– |
+ 4 2 |
+ 1 |
2 − 3 1 |
− 6 2 (max) |
|
|
||
Функция цели решаемой задачи: |
|
|
|
||||||
ма, |
0 = [2, 2] |
2 |
начальное2 |
приближение к точке экстрему- |
|||||
Здесь |
|
|
|||||||
выбранное в предыдущем пункте.
Методы наискорейшего спуска и Ньютона-Раффсона относят-
ся к градиентным методам решения задач безусловной оптимиза- |
|||||
равны частным |
|
( ) |
|
|
|
ции и основаны на использовании градиента целевой функции. |
|||||
переменным. |
|
|
|
( ) |
|
Градиент функции |
|
– вектор, составляющие которого |
|||
|
производным функции |
|
по соответствующим |
||
Гр( адиент0) = фу1нкции, 2 =цели[12решаемой1 + 2 − 3;задачи8 2 +: 1 − 6] = [23; 12].
102
Рис. 9.2. ОДЗ задачи нелинейного программирования и начальная точка
Направление вектора градиента совпадает с направлением |
||||||||||||||||||
дает с |
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
наискорейшего возрастания функции. Вектор противоположного |
||||||||||||||||||
знака – |
, называется антиградиентом, его направление совпа- |
|||||||||||||||||
|
направлением наискорейшего убывания функции. |
|||||||||||||||||
Матрица вторых производных |
|
|
|
|
– это симметричная квад- |
|||||||||||||
ратная матрица порядка n вторых |
|
частных производных функции |
||||||||||||||||
|
( ) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Эту матрицу называют матрицей Гессе. |
|
||||||||||||||||
( )Матрица. |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Гессе решаемой задачи: |
|
|
|
|
12 |
1 |
||||||||||||
|
|
|
( ) = |
|
1 |
|
1 2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
= |
1 |
8 . |
|||||
Для наличия в |
|
|
2 1 |
|
2 |
|
|
|
минимума (максимума) |
|||||||||
|
|
|
|
точке |
|
локального2 |
||||||||||||
необходимо, чтобы градиент функции |
|
|
|
|
в этой точке равнялся |
|||||||||||||
В общем случае |
( ) = 0, ( ) ≤ 0. |
|
||||||||||||||||
нулю, а матрица Гессе была |
положительной (отрицательной): |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|||||||||
|
|
|
+ 1 = − −1 |
( ) ( ), |
||||||||||||||
|
|
|
|
процедура |
поиска осуществляется по формуле: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на k-м шаге; |
|
– |
|||||||||||||||
щий величину шага. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
– текущее приближение к |
решению |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
направление движения в точке |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
– параметр |
, характеризую- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
тремального |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
направлении . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Величина шага |
|
|
|
|
|
определяется из условия обеспечения экс- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
значения |
|
функции |
|
|
цели |
|
|
|
|
|
|
в |
|
рассматриваемом |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Процедура |
поиска прекращается, |
когда норма вектора гради- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ента: |
– заранее заданная ‖( |
|
|
)‖ |
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
где |
|
= 0,05). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точность решения задачи (предположим, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Метод |
наискорейшего спуска |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
диента – |
|
|
|
|
функции |
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
В методе наискорейшего спуска направление движения при |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точка при ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задается вектором антигра- |
|||||||||||||||||||||||||||
поиске минимума функции цели |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Найдем |
|
|
|
|
|
+ 1 = |
рассматриваемой точке. Очередная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
поиске минимума функции вычисляется по формуле: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
( ) |
= |
|
|
, |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
− |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
6]. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[12 |
|
|
+ |
|
|
3; 8 |
|
+ − |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
составляющие вектора градиента: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1-й шаг. |
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
[23; 12] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Градиент функции в точке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
новую точку |
|
|
: |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−( 0) |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|||||||
|
Движение осуществляется из точки |
|
|
вдоль вектора |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Определим величину α , из |
2условия23 |
= |
|
2 − 23 |
0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
− |
|
( |
|
|
) |
= |
|
|
0 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||||||||
в функцию1 |
( ) получим0 −: |
( 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
23 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
обеспечения экстремума |
|||||||||||||||||
функции в направлении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
координаты точки |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. Подставим |
|
|
2 − 12 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
) |
( |
|
) |
= [2 − |
23 |
|
|
; 2 − |
12 |
|
|
] |
12 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −673 + 8052 |
0 |
= 0 |
0 |
= |
8052 |
≈ 0,084. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
673 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
= 2 − 23 |
00 |
1 |
0,078 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
В результате координаты точки |
|
|
получатся равными: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − 12 |
|
|
|
|
|
0,997 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
104
|
Проверим |
|
|
|
|
( 0) = [−1,072; 2,054] |
|
|
( 1): |
|
|||||||||||||||||||
|
Определим составляющие вектора градиента |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
‖ ( )‖ |
|
= (−1,072)2 + (2,054)2 = 2,317 ≤ 0,05. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
точность решения задачи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Следовательно, заданная точность решения задачи не достиг- |
||||||||||||||||||||||||||||
нута. Переходим к следующему шагу. |
|
вдоль вектора −( 1) в |
|||||||||||||||||||||||||||
новую точку |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2-й шаг. |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
0,078 |
|
|
1 |
|
−1,072 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Движение осуществляется из точки x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
− |
|
( |
|
) |
= |
|
|
− |
|
2,054 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,997 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,078 + 1,072 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
функции в направлении –F(x10,997): |
− 2,054 |
|
|
|
|
|
|
|
экстремума |
||||||||||||||||||||
|
Определим величину=α1, из условия обеспечения1 . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
( |
2 |
) ( =)[0,078 + 1,072 1; 0,097 − 2,054 1] −1,072 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 = |
|
5,366 |
2,054 |
|||||||||||
|
В результате= −5,366 + 43,121 |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
43,121 |
≈ 0,121 |
||||||||||||||||||||||||||
|
Определим |
2 |
|
0,078 − 1,072 |
1 |
0,207 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
координаты точки x2 |
получатся равными: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
= 0,997 − 2,054 |
1 = |
0,748 |
|
): |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0) |
= |
[0,236; 0,195]. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
составляющие вектора градиента F(x2 |
|
|
|
||||||||||||||||||
Проверим‖( точность)‖ = (0,236решения)2 +задачи(0,195:)2 = 0,306 ≥ 0,05
Следовательно, заданная точность решения задачи не достигнута. Переходим к следующему шагу.
3-й шаг.
Движение осуществляется из точки x вдоль вектора –F(x ) в
новую3 = точку2 − 2x : ( 2) = 0,207 − 2 0,236 = 0,207 − 0,236 22 .
3 0,748 0,195 0,748 − 0,195 2
Определим величину α2, из условия обеспечения экстремума функции в направлении -F(x2):
105
( 3) ( 2) = [0,207 + 0,236 2; 0,748 − 0,195 2] |
0,236 |
|||||||||||||
|
|
= −0,0937 + 1,064 |
2 |
= 0 |
2 |
= |
0,0937 |
0,195 |
||||||
В |
|
|
|
1,064 |
≈ 0,088 |
|||||||||
|
|
|
3 |
0,207 |
− 0,236 |
2 |
0,186 |
|
|
|
||||
|
результате координаты точки x2 |
получатся равными: |
||||||||||||
Определим |
|
= 0,748 |
− 0,195 |
2 |
= 0,731 |
|
): |
|
||||||
Проверим |
|
|
( 3) |
= [−0,03; 0,037] |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
составляющие вектора градиента F(x3 |
|
|
||||||||||
|
‖( )‖ |
= (−0,03)2 + (0,037)2 = 0,048 ≤ 0,05. |
||||||||||||
|
|
точность решения задачи: |
|
|
|
|
|
|
||||||
Заданная точность достигнута.
Рис. 9.3. Графическая интерпретация метода наискорейшего спуска
9.5. Метод множителей Лагранжа
Если x* = (x1, ..., xn) – решение задачи на условный экстремум, то существует хотя бы одна ненулевая система множителей Лагранжа λ*(λ1, ..., λm) такая, что точка (x*) является точкой стационарности функции Лагранжа по переменным xj и λi, рассматриваемым как независимые переменные.
Метод множителей Лагранжа заключается в сведении этих задач к задачам на безусловный экстремум вспомогательной функ-
ции – функции Лагранжа.
Методом множителей Лагранжа решить следующую задачу оптимизации:
106
|
|
|
|
min ( ) |
= 12 |
+ 22 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1( ) = 2 1 |
+ 2 |
−2 = 0 |
|
|
|
|
+ 2 − |
||||||||
сывается в следующем виде: |
( , ) |
= 12 + 22 + (2 1 |
||||||||||||||||
Соответствующая задача оптимизации без ограничений запи- |
||||||||||||||||||
2) → |
|
|
= 2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
1 |
+ 2 = 0 → 1 = − , |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
= 2 |
+ |
= 0 → |
|
= − |
|
. |
|
( , ) |
||||||
Для того чтобы |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
проверить2 |
, соответствует2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
ли стационарная |
||||||||||||||
точка |
|
минимуму, вычислим2 |
матрицу Гессе функции2 |
|
, рас- |
|||||||||||||
|
|
|
|
( , ) |
= |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||
сматриваемой как функция от x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
которая оказывается положительно |
определенной (2 × 2 – 0 × 0 = 4 |
|||||||||||||||||
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
> 0). Это означает, что L(x, λ) – |
|
|
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
выпуклая функция. Следовательно, |
|||||||||||
координаты x* = (–λ, λ/2) определяют точку глобального миниму-
ма. Оптимальное значение λ находится путем подстановки значе- |
||||
откуда вычисляем |
2 1 +2λ +2 −λ/22==–20,, |
|
|
|
ний x1* и x2* в уравнение ограничений |
|
|
||
тами 1 = 0,8 и 2 |
значение λ: |
|
|
|
= 0,4. Значение ЦФ: |
с координа- |
|||
откуда λ = –0,8 |
|
|
||
Таким образом, минимум достигается в точке |
|
|||
Ответ: |
= |
min ( ) = 0,8 |
|
|
|
[0,8; 0,4] , ( ) = 0,8 |
|
|
|
Вывод
Класс задач нелинейного программирования шире класса задач линейного программирования. Подробное изучение практических задач, которые условились считать линейными, показывает, что они в действительности являются нелинейными. Даже если область допустимых решений – выпуклая, то в ряде задач целевая функция может иметь несколько локальных экстремумов. С помощью большинства же вычислительных методов можно найти точку локального оптимума, но нельзя установить, является ли она точкой глобального (абсолютного) оптимума или нет. Если задача
107
содержит нелинейные ограничения, то область допустимых решений не является выпуклой, и, кроме глобального оптимума, могут существовать точки локального оптимума.
Вопросы для самопроверки
1.В чем состоит задача нелинейного программирования?
2.Что называется условным экстремумом?
3.Что называется безусловным экстремумом?
4.Какая разница между локальным и глобальным экстремумом?
5.Какие известны методы решения задач НЛП?
Литература и Интернет-ресурсы
1.Математические методы и модели исследования операций: учебник / под ред. В. А. Колемаева. М.: Юнити-Дана, 2015. 92 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php?page=book &id=114719.
2.Лемешко Б. Ю. Теория игр и исследование операций. Новосибирск: НГТУ, 2013. 167 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php?page=book&id=228871.
3.Гладких Б. А. Методы оптимизации и исследование операций для бакалавров информатики. Линейное программирование: учебное пособие. Томск: Изд-во «НТЛ», 2009. Ч. 1: Введение в исследование операций. 200 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php?page=book&id=200774.
4.Грызина Н. Ю., Мастяева И. Н., Семенихина О. Н. Математические методы исследования операций в экономике: учебнометодический комплекс. М.: Евразийский открытый институт, 2009. 196 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php? page=book&id=93167.
5.Солдатова С. Э., Лукьянова Н. Ю., Чеглакова Л. М. Методы исследований в менеджменте: учебное пособие. М.: ДиректМедиа, 2014. 342 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/ index.php?page=book&id=235095
108