5. МЕТОД ИСКУССТВЕННОГО БАЗИСА
План
5.1.Искусственные переменные.
5.2.Метод искусственного базиса.
Данный метод решения применяется при наличии в системе ограничений и условий-равенств, и условий-неравенств, является модификацией табличного метода. Решение системы производится путём ввода искусственных переменных Ri со знаком, зависящим от типа оптимума, т. е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами M, имеющими смысл «штрафов» за ввод искусственных переменных, а в задачи минимизации – с положительными M. Таким образом из исходной получается новая M-задача (поэтому метод искусственного базиса так же называют M-методом).
5.1. Искусственные переменные
Метод искусственного базиса применяется к решению задач линейного программирования в общем случае, когда система ограничений не имеет предпочитаемого вида.
Займемся исследованием такой задачи, записав ее в виде ос-
новной задачи линейного программирования. Пусть требуется |
||||||
При |
= 1 1 |
+ 2 2 + … + → |
|
|
||
найти максимум функции |
|
|
|
(5.1) |
||
|
11 1 + 12 |
2 |
+ … + 1 = 1 |
, |
(5.2) |
|
|
ограничениях |
+ 22 |
2 |
+ … + 2 = 2 |
, |
|
|
21 1 |
|
||||
|
1 1 |
+ 2 |
2 |
+…… + = , |
(5.3) |
|
|
≥ 0, |
= 1,2, … , . |
|
|
||
К данной задаче линейного программирования непосредственно нельзя применить симплексный метод, рассмотренный в предыдущей теме, так как система (5.2) не имеет предпочитаемого вида, хотя правые части всех ее уравнений можно считать неотрицательными. Поэтому к левой части каждого уравнения системы (5.2) добавим по одной искусственной неотрицательной неизвест-
46
ной и образуем следующую систему m линейных уравнений с n, m |
|||||||||||
неизвестными:11 1 |
+ 12 2 |
+ … + 1 |
+ +1 |
= 1, |
|
(5.4) |
|||||
|
|
21 1 |
+ 22 |
2 |
+ … + 2 |
+ +2 |
= 2, |
|
|
||
|
|
1 + 2 |
2 |
… |
+ + = , |
|
|
||||
где |
1 |
+ … + |
|
|
|||||||
|
1 |
≥ |
0, = 1,2, … , , + ≥ 0, = 1,2, … , . |
|
(5.5) |
||||||
разуют базисный набор, который принято +1 |
, +2 |
, … , + |
об- |
||||||||
|
Очевидно, в системе (5.4) неизвестные |
|
|
|
|||||||
ным базисом. |
|
|
|
|
называть искусствен- |
||||||
= − +1 − +2 − … − + |
|
|
|
|
|||||||
|
и |
|
|
|
|
|
|||||
|
Кроме того, образуем линейную функцию |
|
|
|
|
||||||
(5.6)
сформулируем следующую вспомогательную задачу линейного программирования: максимизировать линейную функцию (5.6) при линейных ограничениях (5.4) и (5.5).
Для решения вспомогательной задачи (5.4) – (5.6) мы можем применить симплексный метод, так как система (5+1.4), имеет+2, … ,пред+ - почитаемый вид, искусственные неизвестные
являются базисными, а правые части всех уравнений неотрицательны по предположению относительно системы (5.2). В процессе решения задачи (5.4) – (5.6) система уравнений (5.4) будет подвергаться симплексным преобразованиям, в результате которых искусственные базисные неизвестные будут переходить в число свободных, а в базисный набор будут постепенно включаться исходные неизвестные. На некотором этапе процесса решения вспомогательной задачи (5.4) – (5.6) система уравнений (5.4) примет такой предпочитаемый вид, что соответствующее базисное решение будет оптимальным решением этой задачи. При этом максимальное значение целевой функции может быть или отрицательным, или равным нулю, так как функция t представляет собой линейную комбинацию неотрицательных переменных с отрицательными коэффициентами.
Критерий неразрешимости исходной системы линейных уравнений. Если максимальное значение функции t окажется строго меньше нуля, то исходная задача (5.1) – (5.3) не имеет решения, ввиду противоречивости условий (5.2) – (5.3).
47
Доказательство. Действительно, если допустить, что система
уравнений (5.2) имеет неотрицательное решение |
, то |
||||||||||||
для которого |
|
|
, что( 1, 2 |
, … , |
, 0, 0, … , 0) |
( 1, 2, … , ) |
|||||||
вспомогательная задача будет иметь решение |
|||||||||||||
должно иметь |
= 0 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||
противоречит предположению. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, так как из условия t = 0 |
|||||||
следует |
|
|
( 1, 2, … , , 0, 0, … , 0) |
|
|||||||||
Если же |
= 0 |
|
|
то оптимальное решение задачи (5.4) – (5.6) |
|||||||||
|
+1 |
= +2 |
= . . . = |
+ = 0. |
|
|
|
||||||
|
|
вид |
|
|
|
|
, 2, … , ) |
|
|
|
|||
исходной задачи (5.1) –( 1 |
|
|
|
||||||||||
Первые n компоненты этого решения образуют некоторое не- |
|||||||||||||
отрицательное решение |
|
|
|
|
системы ограничений (5.2) |
||||||||
ных от нуля. В этом случае в |
|
|
1, 2 |
, … , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
(5.3), притом оно является базисным по |
|||||||
построению, |
т. е. среди компонент |
|
|
|
не более m отлич- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
полученной предпочитаемой форме |
|||||
системы (5.4) мы отбрасываем все искусственные неизвестные и, рассматривая результат как предпочитаемый эквивалент исходной системы уравнений (5.2), приступаем к решению исходной задачи
(5.1) – (5.3).
Последние рассуждения справедливы в предположении, что
рассматривается невырожденная задача. Если же задача является |
|||
ственные неизвестные выведены из |
|
= 0 |
, но не все искус- |
вырожденной, то может случиться, что |
|
|
|
базиса. Тогда следует учесть, что правая часть уравнения, содержащего искусственную базис-
ную неизвестную, должна быть равна нулю, и потому мы можем |
|||||
жит хотя бы одну из |
|
+1, +2, . . . , + , |
|
|
принять |
либо отбросить это уравнение, если оно содержит только искус- |
|||||
ственные неизвестные |
|
либо, |
если оно содер- |
||
это уравнение за разрешающее и исключить 1, 2, … , , |
|
||||
|
исходных неизвестных |
|
|
||
какую-нибудь из этих неизвестных из всех других уравнений, чтобы вытеснить искусственную базисную неизвестную в число свободных, помня, что в случае необходимости можно рассматриваемое уравнение умно-
жить на –1. |
– ( +1 + +1, + . . . + + ), |
|
=где1 1 + 2 2+ . . . + |
двух |
|
На практике вместо последовательной минимизации |
||
функций и часто рассматривают одну целевую функцию |
(5.7) |
|
число M предполагается положительным и бόльшим любого числа, с которым его придется сравнивать, и решают задачу максимизации целевой функции (5.7) при условиях (5.4) и (5.5).
48
Пример. (Задача о диете.) Симпатичная девушка узнала из дамского журнала, что для того, чтобы волосы стали более шелковистыми, организм должен получать ежедневно не менее 40 г питательного вещества А, не менее 4 г питательного вещества Б и не менее 30 г питательного вещества В. Девушка знает, что в 1 кг яблок содержится 10 г вещества Б и 50 г вещества В, а в 100 г огурцов содержится 40 г вещества А и по 20 г веществ Б и В. Цена яблок – 60 руб. за 1 кг, цена огурцов – 50 руб. за 1 кг. Требуется по-
мочь девушке составить рацион, помогающий увеличить шелкови- |
||||||||||||||||||||||||||||
яблок и огурцов, тогда |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
стость волос и при этом имеющий наименьшую стоимость. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Решение. Обозначим |
|
|
и |
|
|
массу приобретаемых девушкой |
||||||||||||||||||||||
Б в рационе составит |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г, 40а |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
г. Общая |
|
общее количество получаемого в рационе |
|||||||||||||||||||||||||
|
10 1 |
+ 20 2 |
|
|
|
|
|
|
|
г, количество вещества |
||||||||||||||||||
питательного вещества А будет равно |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
50 1 + 20 2 |
|
|
= 60 1 |
+ 50 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
количество вещества В – |
||||||||||||||
щую задачу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
стоимость приобретаемых продуктов соста- |
|||||||||||||||||||||||
вит при этом |
|
= 60 1 |
. Таким образом, получаем следую- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
+ 50 2 |
→ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
линейного программирования: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 2 |
≥ 40, |
4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
10 1 |
+ 20 2 |
≥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
50 1 + 20 2 ≥ 30, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Для превращения |
|
|
|
1 |
≥ 0, 2 |
≥ 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
системы ограничений в систему уравнений |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= 6 |
1 |
+ 50 2 |
→ |
|
, 4, 5: |
|
||||||||||||||||||
необходимо ввести балансовые неизвестные |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
40 2 |
|
− 3 |
|
= 40, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
10 1 + 20 2 |
|
− |
4 |
|
= 4, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 ≥ |
50 1 + 20 2 |
− |
4 |
= 30, |
≥ 0. |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
0, 2 |
≥ 0, 3 |
≥ |
0, 4 |
≥ |
0, 5 |
|
|
||||||||||||||||||
ными, поскольку они |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
, 4 |
, 5 |
нельзя считать базис- |
|||||||||||||
Вновь введенные переменные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
соответствуют базисному решению с отри- |
|||||||||||||||||||||||
цательными компонентами. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||
1, 2, 3 и рассмотрим задачу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
базисные |
|
||||||||||||||||
Поэтому |
|
введем |
|
искусственные |
|
|
неизвестные |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
− |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
→ |
|
|||
= −60 |
50 |
− |
− |
− |
|
− |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
40 2 |
|
3 |
+ 1 = 40, |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
10 1 |
+ 20 2 |
− 4 |
+ 2 |
|
|
= 4, |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
50 1 + 20 2 |
− |
4 |
+ 3 |
|
= 30, |
|
|
|
|||||||||||||||||
49
1 ≥ 0, 2 ≥ 0, 3 |
≥ 0, 4 |
≥ 0, 5 |
≥ 0, 1 ≥ 0, 2 ≥ 0, 3 ≥ 0 |
. |
|
|
|
|
|
Процесс решения иллюстрируется табл. 5.1. В пятой |
||||
симплексной таблице |
среди |
∆j нет |
ни одного отрицательного |
|
(поскольку M больше любого положительного числа). Поэтому пятое базисное1 решение= 1⁄5 , 2 = 1, 3 = 0, 4 = 18, 5 = 0,
является оптимальным. 1 = 0, 2 = 0, 3 = 0 Таким образом, оптимальный рацион состоит из 200 г яблок и
1 кг огурцов.
Таблица 5.1
Симплекс-таблица
50
Вывод
Идея использования искусственных переменных предполагает включение неотрицательных переменных в левую часть каждого из уравнений, в которых не содержится очевидных начальных базисных переменных (когда неравенство имеет знак ≥ или задано в виде равенства). Эти дополнительно вводимые переменные выполняют ту же роль, что и остаточные переменные. Но так как искусственные переменные не имеют отношения к поставленной задаче (отсюда их название – искусственные), то их введение допустимо только в том случае, если симплекс-метод будет обеспечивать получение оптимального решения, в котором все искусственные переменные будут равны 0, то есть эти переменные следует использовать только для стартовой точки, причем итерационный метод оптимизации должен «вынуждать» эти переменные принимать нулевые значения в конечном оптимальном решении, обеспечивая допустимость оптимума.
Вопросы для самопроверки
1.Что такое метод искусственного базиса?
2.Что такое вспомогательная задача?
3.Что такое критерий неразрешимости?
4.Что такое базис?
5.Роль базиса в симплексной таблице?
Литература и Интернет-ресурсы
1.Математические методы и модели исследования операций: учебник / под ред. В. А. Колемаева. М.: Юнити-Дана, 2015. 92 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php?page=book &id=114719
2.Лемешко Б. Ю. Теория игр и исследование операций. Новосибирск: НГТУ, 2013. 167 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php?page=book&id=228871
3.Гладких Б. А. Методы оптимизации и исследование операций для бакалавров информатики. Линейное программирование: учебное пособие. Томск: Изд-во «НТЛ», 2009. Ч. 1: Введение в исследование операций. 200 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php?page=book&id=200774
51
4.Грызина Н. Ю., Мастяева И. Н., Семенихина О. Н. Математические методы исследования операций в экономике: учебнометодический комплекс. М.: Евразийский открытый институт, 2009. 196 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php?page=book&id=93167
5.Солдатова С. Э., Лукьянова Н. Ю., Чеглакова Л. М. Методы исследований в менеджменте: учебное пособие. М.: ДиректМедиа, 2014. 342 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/ index.php?page=book&id=235095
52