2.ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

План

2.1.Общая постановка задачи оптимизации.

2.2.Общая постановка задачи линейного программирования, двойственная задача линейного программирования.

2.3.Классификация задач оптимизации.

2.1. Общая постановка задачи оптимизации

Одной из особенностей современного этапа развития науки и техники является все ускоряющийся рост уровня требований к качеству и сложности создаваемых систем, технологий и процессов. Противоречие между усложнением создаваемых систем и традиционными подходами к их проектированию определяет на сегодня одну из центральных задач проектирования технических систем – разработать компьютеризированную методологию проектирования и на ее основе осуществить создание систем автоматизированного проектирования технических систем, решающих не вспомогательные, а основные задачи синтеза. Т. е. речь идет о разработке методологии и алгоритмического обеспечения систем поддержки принятия проектных и управленческих решений. Данная программа включает в себя разработку методов и алгоритмов, помогающих вести направленный поиск оптимальных с точки зрения целей системы характеристик и структур, а также позволяющих контролировать изменение этих характеристик в процессе разработки системы и ее эксплуатации.

Необходимость принципиально нового подхода к процессу проектирования технических систем, к развитию и углублению его теоретических оснований диктуется также потребностями сокращения сроков разработки систем, сокращения трудовых и материальных затрат на их разработку без снижения качества и надежности.

Создание эффективно функционирующих компьютерных систем поддержки принятия проектных и управленческих решений должно базироваться на формализации основных этапов проектирования и управления. Идея оптимизации, стремление к оптимальным, а не к любым допустимым решениям глубоко пронизывает процессы проектирования систем и управления их работой.

Под оптимальным проектированием обычно понимают процесс принятия наилучших (оптимальных) в некотором смысле ре-

16

шений, что осуществляется с помощью ЭВМ. При этом предполагается наличие формализованных критериев оптимизации и математических моделей проектируемых устройств. Наиболее общим критерием оптимизации является технико-экономический критерий эффективности функционирования всей проектируемой системы. Обобщенный критерий в большинстве случаев включает в себя ряд частных критериев, поэтому задача оптимального проектирования является задачей многокритериальной оптимизации.

В любой практической оптимизационной задаче существует много совпадающих этапов. Наиболее важным этапом является моделирование рассматриваемой физической ситуации с целью получения математической функции, которую необходимо минимизировать, а также определения ограничений, если таковые существуют. Затем следует выбрать подходящую процедуру для осуществления минимизации. Эта процедура должна быть реализована на практике, что определяет использование ЭВМ для выполнения большого объема вычислений. И, наконец, математический результат должен быть интерпретирован в терминах физического содержания задачи.

Таким образом, можно сформулировать общий путь решения задач, в которых используются методы оптимизации:

1)выполняется общая постановка задачи: описывается объект исследования и, хотя бы в описательной форме формулируются желания исследователя на выбор наилучшей стратегии;

2)составляется математическая модель объекта;

3) математически формулируются желания исследователя, т. е. составляется функция качества; иногда удается математическую модель подставить в функцию качества и получить явную зависимость функции качества от управляющих воздействий, т. е. от возможных стратегий управления объектом; в остальных случаях математическая модель выступает в роли ограничений на управление;

4)составляется критерий оптимальности, который, как правило, заключается в требовании минимума или максимума функции качества по управляющим воздействиям при наличии ограничений;

5)решается экстремальная задача с помощью метода оптими-

зации.

17

Так как работоспособный вариант проектируемого устройства не единственный, для сравнения нескольких вариантов и выбора среди них наилучшего (в некотором смысле) необходимо ввести критерий оптимальности (функцию цели, критерий эффективности) F(X), экстремальное значение (максимум или минимум) которого численным образом характеризует свойства одного из наиболее важных технико-экономических показателей проектируемого устройства. Этот критерий, показывающий относительное предпочтение одного варианта по отношению к другим, определяет цель

нижнее и верхнее предельные значения для j-го опти-

мизируемого параметра, характеризующие диапазон его возможных изменений, исходя из условий эксплуатации, технологии изготовления, физических и конструктивных соображений.

Таким образом, решение задачи оптимального проектирования сводится к выбору оптимизируемых параметров X, принадлежащих допустимой области D и обеспечивающих экстремальное значение критерия оптимальности F(X). Оптимальным решением задачи является вектор X*, удовлетворяющий системе неравенств (2.3) – (2.4) и обеспечивающий минимальное значение критерия оптимальности (2.2).

Классифицируем задачи оптимизации, обсуждая термины, вошедшие в общую формулировку.

18

оптимизации или задачу оптимизации без ограничений. Если же D принадлежит S, то в задаче не все значения переменных допустимы, т. е. имеются некоторые ограничения на них. Соответствующая задача оптимизации называется условной, или задачей с огра-

ничениями.

Пространство оптимизации S может совпадать с евклидовым пространством Rn и мы получаем задачу оптимизации с непрерывными переменными. Если переменные являются целочисленными, то соответствующая задача носит название задачи целочисленной оптимизации.

Частным случаем целочисленной оптимизации является так называемая булевая оптимизация, при которой переменные могут принимать только два значения – ноль и единица. Если при этом целевая функция принимает значения из множества вещественных чисел, то такая задача называется задачей псевдобулевой оптимизации, чтобы подчеркнуть ее отличие от случая, когда и значения функции тоже являются нулем или единицей.

Если же значение целевой функции зависит от некоторых комбинаций объектов из конечного набора, их размещения или способа упорядочения, то такие задачи называются задачами ком-

бинаторной оптимизации.

Задачи целочисленной и комбинаторной оптимизации объединяются понятием задач дискретной оптимизации.

Наконец, существуют задачи смешанной оптимизации, в которых могут одновременно присутствовать переменные всех ти-

19

пов. Наиболее известным частным случаем таких задач являются задачи смешанного целочисленного программирования с целочисленными и непрерывными переменными.

До сих пор при классификации задач оптимизации мы не учитывали конкретной формы задачи и свойств функций, входящих в ее постановку. Рассмотрим теперь варианты, возникающие в этом случае.

Прежде всего, целевая функция и функции, описывающие ограничения, могут быть заданы не аналитически, а в виде компьютерных программ, имитационных моделей, человеко-машинных процедур или даже как выход реальной системы. Такие задачи оптимизации называют задачами оптимизации с неявными функци-

ями, или поисковыми задачами оптимизации. Процесс оптимиза-

ции в таком случае больше похож на экспериментирование, чем на вычисление. Если же все функции, входящие в постановку задачи, записываются в явном аналитическом виде, т. е. допускают их математический анализ, то соответствующая задача оптимизации называется задачей математического программирования. Чаще всего математическим программированием называют задачи оптимизации с ограничениями, подчеркивая их отличие от задач безусловной оптимизации с явным заданием целевой функции. Кроме того, в математическое программирование обычно не включают задачи, целевая функция которых имеет более одного локального экстремума. Такие задачи называют задачами глобальной, или

многоэкстремальной оптимизации, в отличие от задач локальной

оптимизации. Не относят к математическому программированию и многокритериальные задачи.

Дальнейшая классификация строится на свойствах, входящих в формулировку функций. Если все функции, входящие в постановку, являются непрерывно дифференцируемыми, то соответствующая задача может быть названа задачей дифференцируемой оптимизации, хотя такой термин используется очень редко, в от-

личие от термина недифференцируемая оптимизация, который используется активно и подчеркивает отсутствие свойства дифференцируемости у функций задачи. Если как целевая функция, так и функции-ограничения являются линейными относительно независимых переменных, то такая задача называется задачей линейного программирования.

20

Если целевая функция сепарабельна, т. е. изменяется независимо по каждой переменной в отдельности, а ограничения линейны, то задача называется задачейсепарабельного программирования.

Если целевая функция квадратичная, а ограничения линейны, то задача называется задачей квадратичного программирования. Если целевая функция выпукла, а функции-ограничения образуют выпуклую допустимую область, то соответствующая задача носит название задачи выпуклой оптимизации.

В случае функций общего вида говорят об общей задаче нели-

нейного программирования.

Также необходимо отметить, что если решение принимается в условиях неизменности оптимизируемого объекта в течение времени принятия решения, то объект оптимизации является статическим. Если же объект является динамическим, т. е. необходимо решение принимать многократно с учетом изменения ситуации или объекта в течение времени принятия решения, то получаемые задачи называются задачами динамической оптимизации, a методы их решения являются предметом теории оптимального управления. Другой взгляд на такие задачи постулирует, что в таком случае неизвестным является не вектор, т. е. набор чисел, а функция (оптимальное управление во времени) – бесконечный набор пар, состоящих из момента времени и значения функции оптимального управления в этот момент времени. Тогда эти задачи называют задачами бесконечномерной оптимизации.

Предполагалось также, что все функции и коэффициенты, входящие в постановку задачи являются постоянными величинами, а они могут на самом деле зависеть от некоторого параметра или параметров. В таком случае нужно изучать поведение оптимального решения при изменении исходных данных задачи, разрабатывать методы, позволяющие находить оптимальный план сразу для совокупности значений параметров. Соответствующие задачи получили название параметрических задач оптимизации, а этот раздел методов оптимизации называется параметрическим про-

граммированием.

Наконец, до сих пор неявно предполагалось, что вся исходная информация определена однозначно. Такие задачи называются детерминированными. Такие модели могут оказаться неадекватными реальным процессам, которые могут характеризоваться не-

21

полнотой, неточностью данных, на основе которых формируется модель.

В ситуациях, когда все или некоторые параметры модели носят вероятностный характер, говорится о принятии решения в условиях риска, и соответствующие оптимизационные задачи называют стохастическими, а соответствующий раздел теории – стохастическим программированием, или стохастической аппроксимацией.

2.2. Классификация задач оптимизации

Классификацию задач оптимизации можно проводить по нескольким признакам в зависимости от вида функции f(x) и множества n X:

1) детерминированные, стохастические задачи оптимизации с неопределенностями;

а) детерминированная модель отражает поведение системы с позиции полной определенности в настоящем и будущем. Примеры таких моделей: формулы физических законов, программы обработки деталей и т. д.

б) вероятностная модель учитывает влияние случайных факторов на поведение системы и, следовательно, оценивает будущее с позиций вероятности тех или иных событий;

в) игровая модель дает возможность изучать конфликтные ситуации, в которых каждая из конфликтных сторон придерживается своих взглядов, старается получить информацию о намерениях «противника» и действует в соответствии складывающейся обстановке;

2) статические, динамические (например, задачи управления). Математические модели могут отражать состояние, в котором находится исследуемая система в какой-то момент времени, или отражать изменения во времени, происходящие в экономической системе, т.е. описывать развитие системы во времени. Модели первого типа являются статическими, второго – динамическими. Если состояние системы описывается в каждый данный момент времени, то модели именуются непрерывными, если в некоторые фиксированные моменты времени, то – дискретными или моделями с дискретным временем;

22

3) безусловной и условной оптимизации. Если имеются ограничения на вектор X, то задача (1) называется задачей оптимизации с ограничениями или задачей условной оптимизации;

5)однокритериальные и многокритериальные;

6)линейные и нелинейные. Задача условной оптимизации, в которой все функции линейны, называется задачей линейного программирования. Задачи с нелинейными целевой функцией или ограничениями называются задачами нелинейного программирования;

7)одномерные и многомерные, причем многомерные задачи могут быть малой и большой размерности. Если размерность вектора X равна 1 (n = 1), то задача (1) называется однопараметрической задачей оптимизации (одномерной задачей оптимизации). Если размерность вектора X больше 1 (n > 1), то задача (1) называется многопараметрической задачей оптимизации (многомерной задачей оптимизации);

8)одноэкстремальные и многоэкстремальные.

2.3.Общая постановка задачи линейного программирования, двойственная задача линейного программирования

Линейное программирование является составной частью раз-

дела математики, который изучает методы нахождения условного экстремума функции многих переменных и называется математическим программированием. В классическом математическом анализе рассматривается задача отыскания условного экстремума функции. Тем не менее время показало, что для многих задач, возникающих под влиянием запросов практики, классические методы недостаточны. В связи с развитием техники, ростом промышленного производства и с появлением ЭВМ все большую роль начали играть задачи отыскания оптимальных решений в различных сферах человеческой деятельности. Основным инструментом при решении этих задач стало математическое моделирование – формальное описание изучаемого явления и исследование с помощью математического аппарата.

Искусство математического моделирования состоит в том, чтобы учесть как можно больше факторов по возможности простыми средствами. Именно в силу этого процесс моделирования часто носит итеративный характер. На первой стадии строится относительно простая модель и проводится ее исследование, позво-

23

ляющее понять, какие из существенных свойств изучаемого объекта не улавливаются данной формальной схемой. Затем происходит уточнение, усложнение модели.

В большинстве случаев первой степенью приближения к реальности является модель, в которой все зависимости между переменными, характеризующими состояние объекта, предполагаются линейными. Здесь имеется полная аналогия с тем, как весьма важная и зачастую исчерпывающая информация о поведении произвольной функции получается на основе изучения ее производной – происходит замена этой функции в окрестности каждой точки линейной зависимостью. Значительное количество экономических, технических и других процессов достаточно хорошо и полно описывается линейными моделями.

Основные формы задачи ЛП

Различают три основные формы задач линейного программи-

эффициентов линейной формы, b – вектором ограничений. Стандартная задача важна ввиду наличия большого числа

прикладных моделей, сводящихся наиболее естественным образом

к этому классу задач ЛП.

Каноническаяmaxзадача( 1 ЛП1 +: 2 2 + + )11 1 + 12 2 + + 1 = 1,21 1 + 22 2 + + 2 = 2,

…

24

1 1 + 2 2 + + = ,1 ≥ 0, 2 ≥ 0, … , ≥ 0,

или в матричной записи: < , >= , ≥ 0.

Основные вычислительные схемы решения задач ЛП разработаны именно для канонической задачи.

Общая задача ЛП. В этой задачи часть ограничений носит

Все три перечисленные задачи эквивалентны в том смысле, что каждую из них можно простыми преобразованиями привести к

называется допустимым вектором, или планом. Задача ЛП, для

25

формы в (2.5), при этом знаки неравенств меняются на равенство. Наоборот, в качестве целевой функции в (2.7) выступает линейная форма, коэффициенты которой задаются вектором правой части ограничений задачи (2.5), при этом максимизация меняется на минимизацию. На двойственные переменные накладывается условие неотрицательности. Задача (2.5), в отличие от двойственной задачи (2.7), называется прямой.

Теорема двойственности. Если взаимодвойственные задачи (2.6), (2.8) допустимы, то они обе имеют решение и одинаковое значение.

26

Вывод

Оптимизационная задача максимизации (минимизации) состоит в отыскании наибольшего (наименьшего) значения целевой функции F на допустимом множестве D. Решить оптимизационную задачу – значит найти её оптимальное решение либо установить неразрешимость этой задачи. Например, задача максимизации (минимизации) будет неразрешимой, если щелевая функция F не ограничена сверху (снизу) на множестве D. Методы решения оптимизационных задач зависят как от вида целевой функции F, так и от вида множества допустимых решения D.

Вопросы для самопроверки

1.Что понимают под оптимальным проектированием?

2.Сформулируйте общий путь решения задач, в которых используются методы оптимизации.

3.Какая задача называется условной?

4.Что такое комбинаторная оптимизация?

5.Что такое дискретная оптимизация?

6.Что такое смешанная оптимизация?

7.Классификация задач оптимизации

Литература и Интернет-ресурсы

1.Математические методы и модели исследования операций: учебник / под ред. В. А. Колемаева. М.: Юнити-Дана, 2015. 92 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php?page=book &id=114719

2.Лемешко Б. Ю. Теория игр и исследование операций. Новосибирск: НГТУ, 2013. 167 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php?page=book&id=228871

3.Гладких Б. А. Методы оптимизации и исследование операций для бакалавров информатики. Линейное программирование: учебное пособие. Томск: Изд-во «НТЛ», 2009. Ч. 1: Введение в

27

исследование операций. 200 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php?page=book&id=200774

4.Грызина Н. Ю., Мастяева И. Н., Семенихина О. Н. Математические методы исследования операций в экономике: учебнометодический комплекс. М.: Евразийский открытый институт, 2009. 196 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php? page=book&id=93167

5.Солдатова С. Э., Лукьянова Н. Ю., Чеглакова Л. М. Методы исследований в менеджменте: учебное пособие. М.: ДиректМедиа, 2014. 342 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php?page=book&id=235095

28