3. ГРАФИЧЕСКИЙ (ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ) МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

План

3.1.Алгоритм геометрического метода решения задач ЛП.

3.2.Постановка и решение задачи.

3.3.Максимизация целевой функции.

При решении задач линейного программирования геометрическим способом необходимо помнить, что визуализация решения достигается только при рассмотрении задачи с двумя переменными и небольшим количеством ограничений. Также желательно выбрать масштаб осей так, чтобы график был компактным, но было четко видно все точки пересечения ограничений.

С геометрической точки зрения в задаче линейного программирования ищется такая угловая точка или набор точек из допустимого множества решений, на которой достигается самая верхняя (нижняя) линия уровня, расположенная дальше (ближе)

3.1. Алгоритм геометрического метода решения задач ЛП

Решение задач ЛП геометрическим методом осуществляется

направлению нормали для задач на максимум целевой функции и в противоположном направлении – для задач на минимум ЦФ.

29

Перемещение линии уровня через ОДР производится до тех пор, пока у нее окажется только одна общая точка с областью допустимых решений. Эта точка будет точкой экстремума и будет определять единственное решение задачи ЛП.

Если окажется, что линия уровня совпадает с одной из сторон ОДР, то задача ЛП будет иметь бесчисленное множество решений.

Если ОДР представляет неограниченную область, то целевая функция – неограниченная.

Задача ЛП может быть неразрешима, когда определяющие ее ограничения окажутся противоречивыми.

5. Находим координаты точки экстремума и значение ЦФ в ней.

3.2. Постановка и решение задачи

Решим двумерную задачу линейного программирования гра-

фически: = 2 + 4 → 3 1 +1 4 2 ≤2 17002 1 + 5 2 ≤ 1600

1 ≥ 0, 2 ≥ 0

30

Построим данные прямые (на рис. 3.1 они соответственно обозначены (3.1') и (3.2'))

выше прямой, вторая ниже. Чтобы найти ту полуплоскость, которая соответствует неравенству (3.1), необходимо взять какую-либо точку, принадлежащую одной из полуплоскостей, и подставить ее координаты в неравенство. Если неравенство будет верным, то

стью, содержащей точки, для которых выполнены условия, заключенные в фигурные скобки.

Точки, лежащие внутри и на границе этой области, являются допустимыми решениями, но нам нужны только те, при которых функция будет принимать максимальное значения.

Построение прямой уровня. Возьмем произвольную точку,

31

Следовательно, координаты дополнительной точки (300; 0). Отметим полученные точки и построим прямую уровня (на рис. 3.1 она обозначена (3.3')).

Рис. 3.1. Построение прямой уровня

32

0) – точка, соответствующая оптимальному решению2 × 300зада+-

(300;4 × 200 = 1400.

чи, следовательно, максимальная прибыль составляет

Частные случаи задач линейного программирования.

Область допустимых решений существует только тогда, когда ограничения непротиворечивы. Если ограничения противоречивы, то области допустимых решений не существует, следовательно, данная задача не имеет решений.

Область допустимых решений всегда является выпуклым множеством. Множество S называется выпуклым, если для любых двух точек M и N этого множества весь отрезок MN содержится в множестве S. Если область допустимых решений ограничена (она представляет собой замкнутый выпуклый N-угольник), то задача разрешима и экстремальное значение достигается в какой-либо вершине области допустимых решений. Исключение составляет тот случай, когда прямая уровня параллельна одной из сторон области допустимых решений и по условию задачи ее надо перемещать именно в направлении этой стороны. Тогда оптимальное ре-

33

шение будет достигаться в любой точке, принадлежащей данной стороне.

Если область допустимых решений не ограничена в направлении, в котором функция F возрастает, то не существует конечной точки, в которой функция F достигала бы максимума. Таким образом, данная задача не имеет решений.

Вывод

Существуют два наиболее распространенных способа решения задач линейного программирования (ЗЛП): графический метод и симплекс-метод. Графический метод существенно нагляднее и обычно проще для понимания и решения (хотя занимает много времени, так как требует тщательного построения чертежа). Также этот метод позволяет практически одновременно найти решение на минимум и максимум, тогда как симплекс-методом придется делать «два подхода».

Основные шаги по решению ЗПЛ графическим методом следующие: построить область допустимых решений задачи (выпуклый многоугольник), который определяется как пересечение полуплоскостей, соответствующих неравенствам задачи, построить линию уровня целевой функции и, наконец, двигать линию уровня в нужном направлении, пока не достигнем крайней точки области – оптимальной точки (или множества). При этом можно найти единственное оптимальное решение (точку), множество (отрезок) или ни одного (область пустая или не ограниченная в нужном направлении).

Вопросы для самопроверки

1.Геометрический метод решения задач ЛП

2.Алгоритм решения задач ЛП геометрическим методом

3.Что значит максимизировать функцию?

4.Что такое прямая уровня?

5.Что такое ОДР?

Литература и Интернет-ресурсы

1. Математические методы и модели исследования операций: учебник / под ред. В. А. Колемаева. М.: Юнити-Дана, 2015. 92 с.

34

[Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php?page=book &id=114719

2.Лемешко Б. Ю. Теория игр и исследование операций. Новосибирск: НГТУ, 2013. 167 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php?page=book&id=228871

3.Гладких Б. А. Методы оптимизации и исследование операций для бакалавров информатики. Линейное программирование: учебное пособие. Томск: Изд-во «НТЛ», 2009. Ч. 1: Введение в исследование операций. 200 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php?page=book&id=200774

4.Грызина Н. Ю., Мастяева И. Н., Семенихина О. Н. Математические методы исследования операций в экономике: учебнометодический комплекс. М.: Евразийский открытый институт, 2009. 196 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php ?page=book&id=93167

5.Солдатова С. Э., Лукьянова Н. Ю., Чеглакова Л. М. Методы исследований в менеджменте: учебное пособие. М.: ДиректМедиа, 2014. 342 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php?page=book&id=235095

35