МИНИCTEPCTBO ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Д. Г. Ловянников, И. Ю. Глазкова

ИССЛЕДОВАНИЕ

ОПЕРАЦИЙ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Направление подготовки 38.03.05 – Бизнес-информатика Профили подготовки: «Электронный бизнес», «Информационная бизнес-аналитика»

Бакалавриат

Ставрополь

2017

Рецензенты:

канд. экон. наук, доцент О. Г. Орлинская, канд. экон. наук, доцент К. И. Костюков (Ставропольский филиал МПГУ)

Ловянников Д. Г., Глазкова И. Ю.

Л68 Исследование операций: учебное пособие. – Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2017. – 110 с.

Пособие представляет собой курс лекций, в которых рассмотрены современные методы исследования операций, типы задач исследования операций, их особенности и свойства; методология формализации и решения таких задач, что позволит получить знания, необходимые специалисту в области бизнес-информатики.

Предназначено для студентов вузов, обучающихся по программе бакалавриата направления подготовки 38.03.05 – Бизнесинформатика, профилям подготовки: «Электронный бизнес», «Информационная бизнес-аналитика» Может быть полезно специ- алистам-практикам, занимающимся проблемами построения математических моделей различных практических задач.

УДК 330.45:519.8 (075.8) ББК 22.18:65в6 я73

©ФГАОУ ВО «Северо-Кавказский федеральный университет», 2017

2

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие …………………………………………………… 4

1. Основные понятия исследования операций.

Классификация задач ………………………………………..... 6

2.Основы математического моделирования ………………... 16

3.Графический (геометрический) метод решения

7.Транспортная задача ……………………………………….. 71

8.Целочисленное линейное программирование ……………. 89

9. Нелинейное программирование …………………………… 99

Заключение …………………………………………………….. 109

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

Для изучаемого курса характерно сочетание прикладной направленности и глубокого изучения теоретических аспектов, возникающих при построении алгоритмов решения задач и принятия решений с использованием современного состояния знаний в области исследования операций.

Целью преподавания дисциплины является формирование набора профессиональных компетенций будущего бакалавра по направлению подготовки 38.03.05 – Бизнес-информатика.

Задачами дисциплины являются:

˗формирование комплексных знаний и практических навыков о задачах, моделях и методах исследования операций;

˗развитие способностей применять математический аппарат для решения профессиональных задач.

Дисциплина «Исследование операций» относится к дисциплинам базовой части. Ее освоение происходит в 4 семестре.

Основой для изучения основных разделов дисциплины являются знания, полученные на предыдущих уровнях подготовки.

Успешное изучение дисциплины обеспечивает своевременную и качественную подготовку к государственному итоговому экзамену и написанию выпускной квалификационной работы.

Курс лекций посвящен рассмотрению не только теоретических основ и принципов разработки математических моделей, лежащих в основе принятия оптимальных решений, но и практических аспектов данной проблемы.

Самостоятельная работа – планируемая учебная, учебноисследовательская, научно-исследовательская работа студентов, выполняемая во внеаудиторное (аудиторное) время по заданию и при методическом руководстве преподавателя, но без его непосредственного участия (при частичном непосредственном участии преподавателя, оставляющем ведущую роль за работой студентов).

Самостоятельная работа студентов в вузе является важным видом учебной и научной деятельности студента. Самостоятельная работа студентов играет значительную роль в рейтинговой технологии обучения.

4

Компетенции обучающегося, формируемые в результате изучения дисциплины:

ПК-18 – способность использовать соответствующий математический аппарат и инструментальные средства для обработки, анализа и систематизации информации по теме исследования.

5

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ОПЕРАЦИЙ. КЛАССИФИКАЦИЯ ЗАДАЧ

План

1.1.Основные понятия исследования операций.

1.2.Классификация задач исследования операций.

1.3.Многокритериальные задачи.

1.1. Основные понятия исследования операций

Корни исследования операций уходят в далекую историю. Резкое увеличение размеров производства, разделение труда обусловили постепенную дифференциацию управленческого труда. Появилась необходимость в планировании материальных, трудовых и денежных ресурсов, в учете и анализе труда и выработке прогноза на будущее. В управленческом аппарате начали выделяться подразделения: отдел финансов, сбыта, бухгалтерии, пла- ново-экономический отдел и другие, принявшие на себя отдельные управленческие функции.

К этому периоду относятся первые работы по исследованию в области организации труда и управления – первые предвестники будущей науки.

Как самостоятельное научное направление исследование операций оформилось в начале 40-х годов.

Первые публикации по исследованию операций относятся к 1939–1940 гг., в них методы применены для решения военных задач, в частности для анализа и исследования военных операций. Отсюда и название дисциплины. Позднее принципы и методы исследования операций стали применяться в сфере промышленнофинансового управления. С увеличением масштабов производства расширялись масштабы операционных исследований, круг решаемых задач, совершенствовались методы новой науки.

Возникла необходимость в подготовке кадров специалистов по исследованию операций – операционистов. В ведущих университетах США и Англии впервые было начато систематическое преподавание курса «Исследование операций».

Возникла необходимость в координации работы многотысячной армии операционистов, в регулярном обмене теоретическими исследованиями и прикладными разработками.

6

С этой целью в 1957 г. была создана Международная федерация исследования операций IFORS, в состав которой входили национальные общества и комитеты по исследованию операций многих стран.

Исследование операций – это комплексная математическая дисциплина, занимающаяся построением, анализом и применением математических моделей принятия оптимальных решений при проведении операций.

Операция – система управляемых действий, объединенная единым замыслом и направленная на достижение определенной цели.

Исследование операций имеет свои особенности:

•системный подход к анализу поставленной проблемы.

Системный анализ является основным методологическим принципом исследования операций, который состоит в том, что любая задача, какой бы частной она ни казалась, рассматривается с точки зрения ее влияния на критерий функционирования всей системы;

•при решении каждой проблемы возникают все новые и но-

вые задачи. Если сначала ставятся узкие цели, применение операционных методов неэффективно. Наибольший эффект может быть достигнут только при непрерывном исследовании, обеспечивающем преемственность в переходе от одной задачи к другой;

•стремление найти оптимальное решение поставленной за-

дачи. Однако часто такое решение оказывается недостижимым изза ограничений, накладываемых имеющимися в наличии ресурсами или уровнем современной науки. Например, для комбинаторных задач, в частности задач календарного планирования при числе станков белее 4, оптимальное решение при современном уровне развития математики оказывается возможным найти лишь простым перебором вариантов. Но даже при небольших n число возможных вариантов оказывается настолько велико, что перебор всех вариантов при существующих ограничениях на быстородействие ЭВМ и допустимое машинное время практически немыслимы. Тогда приходится ограничиваться поиском достаточно хорошего или субоптимального решения;

• исследований проводятся комплексно, по многим направле-

ниям. Для проведения такого исследования создается операцион-

7

ная группа. В ее состав входят специалисты различных областей: инженеры, математики, экономисты, социологи, психологи.

Примеры операций.

Пример 1. Предприятие выпускает несколько видов изделий, при изготовлении которых используются ограниченные ресурсы различного типа. Требуется составить план выпуска изделий на месяц, т. е. указать количество выпускаемых изделий каждого вида так, чтобы максимизировать прибыль при выполнении ограничений на потребляемые ресурсы.

Пример 2. Требуется создать сеть временных торговых точек так, чтобы обеспечивать максимальную эффективность продаж. Для этого требуется определить:

–число точек,

–их размещение,

–количество персонала и их зарплату,

–цены на товары.

Пример 3. Требуется организовать строительство магазина. При этом необходимо указать порядок выполнения работ во времени и распределить требуемые ресурсы между работами так, чтобы завершитьстроительствововремяиминимизироватьегостоимость.

Набор управляющих параметров (переменных) при проведении операции называется решением. Решение называется допу-

стимым, если оно удовлетворяет набору определенных условий. Решение называется оптимальным, если оно допустимо и по определенным признакам предпочтительнее других или, по крайней мере, не хуже.

Признак предпочтения называется критерием оптимальности. Критерий оптимальности включает в себя целевую функцию и направление оптимизации или набор целевых функций и соответствующих направлений оптимизации.

Целевая функция – это количественный показатель предпочтительности или эффективности решений.

Направление оптимизации – это максимум (минимум), если наиболее предпочтительным является наибольшее (наименьшее) значение целевой функции.

Например, критерием может быть максимизация прибыли либо минимизация расходов.

8

Математическая модель задачи ИСО включает в себя:

1)описание переменных, которые необходимо найти,

2)описание критериев оптимальности,

3)описание множества допустимых решений (ограничений, накладываемых на переменные).

Цель ИСО – количественно и качественно обосновать принимаемое решение. Окончательное решение принимает ответственное лицо (группа лиц), которое называется лицом, принимающим решение (ЛПР).

Математическая модель задачи ИСО составляется в соответствии с представлениями ЛПР об этой задаче, т. е. в соответствии с его информационным состоянием. При этом важно, чтобы математическая модель задачи была наиболее адекватной, т. е. наиболее правильно отражала информационное состояние ЛПР. Для этого разработчик математической модели должен работать в тесном контакте с ЛПР.

Основной принцип разработчика: «Разрабатывай не то, что заказчик просит, а то, что ему нужно» (М. Гэри и Д. Джонсон «Вычислительные машины и труднорешаемые задачи»).

Проверка адекватности представлений ЛПР о задаче не является предметом ИСО. Изменение информационного состояния ЛПР может привести к изменению математической модели задачи.

Основные этапы операционного исследования

–Постановка задачи. Первоначально задачу формулируют с точки зрения заказчика. Во время анализа системы задача постепенно уточняется.

–Формализация задачи. Получив достаточно строгую и логически непротиворечивую, содержательную постановку задачи, нужно построить ее математическую модель.

–Нахождение метода решения. Для нахождения оптимального решения в зависимости от структуры задачи применяют те или иные методы теории оптимальных решений, называемые также методами математического программирования.

–Проверка и корректировка модели. В сложных системах, к которым относятся системы организационного типа, модель лишь частично отражает реальный процесс. Поэтому необходима проверка степени соответствия или адекватности модели и реального процесса. Проверку производят сравнением предсказанного пове-

9

дения с фактическим при изменении значений внешних неуправляемых воздействий. Корректировка может потребовать дополнительных исследований объекта, уточнения структуры математической модели, многочисленных изменений переменных. Таким образом, 4 этапа многократно повторяются, пока не будет достигнуто удовлетворительное соответствие между выходами объекта и модели.

–Реализация найденного решения на практике.

–Внедрение можно рассматривать как самостоятельную задачу, применив к ней системный подход и анализ.

1.2. Классификация задач ИСО

•Классификация по зависимости параметров задачи от вре-

мени.

1. Статическая задача. Принятие решения происходит при условии, что все параметры задачи заранее известны и не изменяются по времени. Процедура принятия решения осуществляется один раз.

2. Динамическая задача. В процессе принятия решения параметры задачи изменяются по времени. Процедура принятия решения осуществляется поэтапно и может быть представлена в виде процесса, зависящего от времени, в том числе непрерывно. Пример – навигационная задача.

•Классификация в зависимости от достоверности информации о задаче.

1.Детерминированная задача. Все параметры задачи заранее известны. Для решения детерминированных задач в основном применяются методы математического программирования.

2.Недетерминированная задача. Не все параметры задачи заранее известны. Например, необходимо принять решение об управлении устройством, некоторые узлы которого могут непредсказуемо выходить из строя. Оптимальное решение недетерминированной задачи ИСО отыскать практически невозможно. Однако некоторое «разумное» решение отыскать можно.

«Исследование операций представляет собой искусство давать плохие ответы на те практические вопросы, на которые даются еще худшие ответы, другими методами» (Т. Л. Саати).

10

2а. Стохастическая задача. Не все параметры задачи заранее известны, но имеются статистические данные о неизвестных параметрах (вероятности, функции распределения, математические ожидания и т. д.).

Для отыскания оптимального решения стохастической задачи применяется один и из следующих приемов:

–искусственное сведение к детерминированной задаче (неизвестные параметры заменяются их средними значениями);

–«оптимизация в среднем» (вводится и оптимизируется некоторый статистический критерий).

2б. Задача в условиях (полной) неопределенности. Статисти-

ческие данные о неизвестных параметрах отсутствуют. Задачи ИСО в условиях неопределенности в основном изучаются в рамках теории игр.

• Классификация по виду критерия оптимальности.

Критерий оптимальности может иметь любой вид, в том числе неформализуемый. Наиболее распространенные формализуемые критерии оптимальности заключаются в оптимизации (минимизации либо максимизации) одной, либо нескольких скалярных целевых функций.

Функция называется скалярной, если ее значением является некоторое число. Задача оптимизации скалярной функции на заданном множестве допустимых числовых решений называется задачей математического программирования. Наиболее изученными представителями однокритериальных задач математического программирования, т. е. задач с одной целевой функцией, являются следующие задачи.

– Задачи линейного программирования. Целевая функция линейная,множестводопустимыхрешений– выпуклыймногогранник.

амножество допустимых решений – выпуклый многогранник.

–Задачи стохастического программирования. Это задачи линейного программирования с неизвестными числовыми параметрами, о которых имеются статистические данные.

11

–Задачи дискретного программирования. Множество допустимых решений – дискретное множество.

–Задачи целочисленного программирования. Множество допустимых решений – точки целочисленной решетки.

–Задачи булева программирования. Множество допустимых решений – 0-1 матрицы.

1.3. Многокритериальные задачи

В задачах ИСО, как правило, присутствует не один, а несколько признаков предпочтения (критериев). Такие задачи называются многокритериальными.

Критерии могут оказаться противоречивыми, т. е. решение, лучшее по одному признаку, может оказаться худшим по другому признаку. Например, минимизация стоимости и максимизация качества товара почти всегда противоречивы. В этом случае задача отыскания решения, предпочтительного по всем признакам, будет некорректной – не будет иметь ни одного решения.

В случае противоречивых критериев ИСО предлагает следу-

ющие подходы к отысканию подходящего решения.

1) замена некоторых критериев ограничениями вида ≤ или ≥.

2) свертка критериев. Создается один глобальный скалярный

критерий, целевая функция которого является некоторой функцией от исходных целевых функцийαf(x).+Наиболееβg(x) употребимыми являются линейные свертки вида (в случае двух критериев). Нетривиальной является задача отыскания адекватных значений коэффициентов α и β, отражающих относительную важность целевых функций f(x) и g(x);

3)ранжирование критериев. Критерии ранжируются по степени важности;

4)отыскание решений, лучших хотя бы по одному критерию. Подходы 1) и 2) приводят к однокритериальной задаче. Под-

ход 3) приводит к задаче с упорядоченными критериями. Подход 4) приводит к задаче с независимыми критериями. В задаче с упорядоченными критериями критерии упорядочиваются по важности, и требуется найти оптимальное решение для наименее важно-

12

го критерия на множестве решений, оптимальных для более важного критерия.

Самое большое – множество всех допустимых решений, в него вложено множество решений, оптимальных по самому важному критерию, далее вложено множество оптимальных решений по второму по важности критерию, и т. д.

В задаче с независимыми критериями требуется найти множество недоминируемых (эффективных) решений. Недоминируемое решение лучше любого другого допустимого решения хотя бы по одному критерию либо не хуже по всем критериям. Множество недоминируемых решений также называется множеством Парето.

Пример многокритериальной задачи с независимыми критериями

Фирма по разработке программного обеспечения должна выполнить проекты 1 и 2 в последовательности 1, 2. Для выполнения каждого проекта можно привлечь одного, двух или трех исполнителей. Пусть x1 и x2 – число исполнителей для выполнения проектов 1 и 2 соответственно. Время выполнения проекта i равно ti(xi) месяцев, а соответствующая стоимость – ci(xi) млн руб. Требуется минимизировать общее время выполнения проектов при минимальной стоимости.

Значения функций заданы следующим образом.

Таблица 1.1

Значения функций

Общее1время( 1, 2выполнения) = ( 1, 2проектов) = 1( 1равно) + 2( 2), (1.1), а стоимость2( 1, 2) = ( 1, 2) = 1( 1) + 2( 2). (1.2). ( 1, 2) = ( 1( Определим1, 2), 2( 1, 2все)) возможные значения пар

, (см. табл. 1.2 и рис. 1.2).

13

Таблица 1.2

Значения пар (F1,F2)

Задача1(x) →отысканияmin 2множества(x) → min Парето в случае двух критериев вида и может быть решена графически следующим образом (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Возможные значения

Находим все точки с наименьшим значением F1(x). Если их несколько, выбираем из них точку с наименьшим значением F2(x). Включаем ее в множество Парето. Отсекаем точки с большими либо равными значениями F1(x) и F2(x) (северо-восточный угол с вершиной в выбранной точке). Повторяем процедуру для оставшейся части допустимой области.

Из рисунка видно, что для нас представляют интерес пары (F1,F2) ϵ {(2,6), (3,5)} и соответствующие решения (x1, x2) ϵ {(2,2), (1,2)}, которые являются недоминируемыми и образуют множество Парето для рассматриваемой задачи.

Вывод

Исследование операций – это комплексная математическая дисциплина, занимающаяся построением, анализом и применением математических моделей принятия оптимальных решений при проведении операций.

14

Операция – система управляемых действий, объединенная единым замыслом и направленная на достижение определенной цели.

Целевая функция – это количественный показатель предпочтительности или эффективности решений.

Направление оптимизации – это максимум (минимум), если наиболее предпочтительным является наибольшее (наименьшее) значение целевой функции.

Вопросы для самопроверки

1.Понятие исследования операций.

2.Что такое целевая функция?

3.Что такое направление оптимизации?

4.Что такое математическая модель задачи ИСО?

5.Как можно классифицировать задачи ИСО?

6.Какие задачи называют многокритериальными?

Литература и Интернет-ресурсы

1.Математические методы и модели исследования операций: учебник / под ред. В. А. Колемаева. М.: Юнити-Дана, 2015. 92 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php?page=book &id=114719

2.Лемешко Б. Ю. Теория игр и исследование операций. Новосибирск: НГТУ, 2013. 167 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php?page=book&id=228871

3.Гладких Б. А. Методы оптимизации и исследование операций для бакалавров информатики. Линейное программирование: учебное пособие. Томск: Изд-во «НТЛ», 2009. Ч. 1: Введение в исследование операций. 200 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/index.php?page=book&id=200774

4.Грызина Н. Ю., Мастяева И. Н., Семенихина О. Н. Математические методы исследования операций в экономике: учебнометодический комплекс. М.: Евразийский открытый институт, 2009. 196 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/ index.php?page=book&id=93167

5.Солдатова С. Э., Лукьянова Н. Ю., Чеглакова Л. М. Методы исследований в менеджменте: учебное пособие. М.: ДиректМедиа, 2014. 342 с. [Электронный ресурс]. URL: //biblioclub.ru/ index.php?page=book&id=235095

15