Исследование операций и методы оптимизации. Учебно-методическое пособие для студентов направления подготовки 09.03.03 Прикладная информатика

наилучшего. Если их количество достаточно велико, то применяют методы исследования операций.

Риск – это промежуточный случай между определённостью и неопределённостью. Рисковые ситуации довольно часто встречаются на практике. Для условий риска существует функция распределения вероятностей наступления событий. Если при решении задач линейного программирования показателем качества решения являются чаще всего максимум прибыли, максимум чистого дохода и другие, то для условий риска часто используют критерии «математическое ожидание чистого дохода», «математическое ожидание прибыли» и другие.

Принятие решений в условиях неопределенности

Вусловиях неопределённости вероятность наступления событий неизвестна. Лицу, принимающему решение, не противостоит разумный противник. Данные, соответствующие возможным действиям лица, принимающего решение, записаны в строках матрицы, возможным состояниям системы – в столбцах матрицы. Каждому действию и возможному состоянию системы соответствует результат, определяющий выигрыш или потери.

Принятие решений в условиях конфликта Теория игр – это дисциплина, изучающая так называемые конфликтные

ситуации. Дж. Нейман пришёл к идее своей теории, наблюдая за игрой в покер. Учёный попытался математически описать явление конкуренции. В простейших случаях речь идет о двух конкурентах, ведущих борьбу за рынок сбыта. Приёмы теории игр используются при разработке моделей, учитывающих интересы групп, регионов.

Ситуация называется конфликтной, если в ней участвуют стороны, интересы которых полностью или частично противоположны.

Игра – это действительный или формальный конфликт, в котором участвуют хотя бы два игрока, каждый из которых стремится к достижению собственной цели.

Допустимые действия каждого из игроков называются правилами игры. Совокупность ходов игрока называется стратегией.

Стратегия называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш или минимально возможный средний проигрыш.

Пусть имеются 2 игрока. Первый игрок выбирает i-стратегию, i=1…m, второй – j-стратегию, j=1…n.

Врезультате первый игрок выигрывает величину aij, а второй столько же проигрывает. Из чисел aij строят матрицу А:

Строки матрицы соответствуют стратегиям первого игрока; столбцы – стра-

V – цена игры; V

Если V, то это игра с седловой точкой.

Задача. Аудитор проводит проверку на предприятии. Процент выявленных ошибок определяется матрицей А. Определить оптимальную стратегию аудитора и цену игры.

Оптимальной стратегией для аудитора является 3 стратегия. Если аудитор выберет 3 стратегию, то он выявит не менее 82% ошибок на предприятии.

Если игра не имеет седловой точки, то игроки используют смешанную стратегию.

Теорема: Если один из игроков применяет оптимальную смешанную стратегию, то его выигрыш равен цене игры независимо от того, какую стратегию применяет второй игрок.

Пусть U(u1,… uп)- оптимальная смешанная стратегия. Тогда составим задачу линейного программирования:

п

Z= хj → min при условиях:

j=1

п

j=1aijхj 1

хj 0, j=1, n

uj = хj * V; V = 1 / Zм1n

Задача. Молкомбинат планирует выпуск двух сортов сыра. Спрос на эти сыры не определен, но он может принимать одно из двух состояний. В зависимости от этих состояний прибыль различна и определяется матрицей

А = 25 30 32 26

Найти оптимальное соотношение между объемами выпуска каждого сорта, при котором предприятию гарантируется средняя величина прибыли при любом состоянии спроса.

Проверим наличие седловой точки.

=max(25, 26) = 26=min(32, 30) = 30

Седловой точки нет. Цена игры 26 V 30

Пусть для предприятия стратегия выпуска задается вектором U(u1, u2). Тогда запишем систему уравнений:

25 u1 + 32 u2 = V

30 u1 + 26 u2 = V u1 + u2 = 1

Решаем систему трех уравнений с тремя неизвестными.

u1 = 0,54; u2 = 0,46; V = 28,2

62

Молкомбинат, выпуская 54% сыра первого сорта и 46% сыра второго сорта, обеспечивает получение прибыли в размере 28,2 ден.ед. при любом состоянии спроса.

Вопросы и задания для самоконтроля

1.Что такое определенность? Приведите примеры.

2.Что такое неопределенность? Приведите примеры.

3.Что такое риск? Приведите примеры.

4.Что такое конфликт? Приведите примеры.

5.Что такое игра? Приведите примеры.

6.Что такое цена игры?

7.Что такое седловая точка?

8.Что такое чистая стратегия?

9.Что такое смешанная стратегия?

10.Какая стратегия является оптимальной?

Задания в тестовой форме 1.Для ситуации определенности вероятность наступления событий равна а) 1; б) 0; в) -1; г) 2;

2.Показателем качества решения задачи для ситуации риска является а) прибыль; б) математическое ожидание прибыли; в) дисперсия; г) вариация;

3.Для принятия решений в условиях неопределенности используют критерий а) Вальда; б) Леонтьева;

в) Канторовича; г) Неймана;

4.Теория игр исследует ситуации

а) конфликта; б) риска;

в) определенности; г) неопределенности;

5.Оптимальное решение задачи теории игр с чистыми стратегиями назы-

вают а) седловой точкой;

б) максимином; в) минимаксом; г) доходом;

6.Совокупность ходов игрока называется

а) стратегией;

63

б) правилами; в) ценой; г) кластером

7. Первые работы по теории игр опубликовал а) Нейман; б) Фишер; в) Стьюдент; г) Шеннон.

7. ЭЛЕМЕНТЫ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ

Теория графов - математическая теория, которая изучает графы. Теория графов появилась в 18 веке в результате решения Л. Эйлером задачи о мостах в г. Кенигсберге. Граф – это система точек, некоторые из которых соединены отрезками. Это одна из моделей взаимодействующих систем. Теория графов используется в топологии, лингвистике, теории игр, общей теории систем. Ее практическая роль возросла в связи с проектированием автоматизированных систем управления и вычислительных устройств дискретного действия. На теории графов основаны сетевые методы планирования и управления.

Сетевое планирование и управление – это метод планирования и управления, основанный на применении ЭВМ и сетевых графиков. Сетевой график представляет цепи работ и событий, отражая их технологическую последовательность и связь. Впервые метод сетевого планирования был применён в США в конце пятидесятых годов при разработке космического проекта, а в нашей стране – в конце шестидесятых годов в строительстве и научных разработках.

Сетевая модель – план выполнения комплекса взаимосвязанных работ, заданного в виде сети.

Главные элементы сетевой модели: работа и событие. При построении сетевых графиков работа понимается как:

-процесс, связанный с использованием ресурсов;

-ожидание;

-фиктивная работа.

Событие – это момент завершения некоторого процесса. Считается, что оно происходит мгновенно.

Для построения сетевых графиков необходимо составить перечень работ, определить последовательность выполнения работ, оценить время (стоимость) выполнения работ.

На сетевых графиках работа обозначается стрелкой, событие – кружочком. Правила построения сетевых графиков:

-Любые два события должны быть связаны между собой не более чем одной работой (стрелкой).

-В сети не должно быть замкнутых контуров.

-В сети на должно быть тупиковых событий.

-В сети не должно быть событий, которым не предшествует работа.

-В сети должно быть одно исходное событие и одно завершающее событие.

64

Путь – это последовательность работ, в которой конечное событие каждой работы совпадает с началом (начальным событием) следующей за ней работы.

Полный путь – это путь, начало которого совпадает с исходным событием, а конец с завершающим событием.

Критический путь – это полный путь, имеющий максимальную продолжительность.

Ранний срок свершения события i определяется как максимальный из всех входящих в данное событие путей, считая от исходного события.

Поздний срок свершения события определяется как разность между длиной критического пути и максимальным путём, следующим за этим событием.

R(i) – резерв времени свершения события i, определяется как разность между поздним и ранним сроком свершения события. Резерв времени показывает, на сколько можно задержать наступление события i, не увеличивая при этом срок выполнения работ.

События, лежащие на критическом пути, не имеют резерва времени. Задача. Фирма разрабатывает финансовый план на следующий год. Задан

перечень работ, их продолжительность и последовательность. Построить сетевой график и найти его параметры.

Таблица 7.1 - Исходные данные

Изобразим сетевой график

Рисунок 7.1– Сетевой график

Определим временные параметры событий Таблица 7.2- Временные параметры событий

65

На критическом пути лежат события: 1, 2, 4, 5. Длина критического пути составляет 21 день. В течение 21 дня является возможным выполнение всего комплекса работ.

Оптимизация сетевого графика представляет собой значительное улучшение организации выполнения комплекса работ. Она предусматривает:

-сокращение длины критического пути;

-рациональное использование ресурсов;

-выравнивание коэффициентов напряжённости работ.

Комплексная оптимизация позволяет определить оптимальное соотношение величины стоимости и сроков выполнения работ.

Рассмотрим оптимизацию сетевого графика. Таблица 7.3 - Исходные данные

Запишем цепочки событий

Над каждой работой напишем коэффициент затрат на ускорение работ, внизу - количество дней, на которое можно сократить данную работу. Сокращение длины критического пути начинаем с работы, имеющей минимальный коэффициент затрат на ускорение работ и максимальный срок, на который можно «сжать» работу. Сокращение продолжительности работ проводим до тех пор, пока они не будут «сжаты» до минимальной продолжительности.

1. Сократим работу (1;2) на 2 дня

С=37+2*3 = 43 ден.ед. L1=19 дней; L2=19 дней

2. Сократим работу (4;5) на 3 дня

С=43 +4*3 = 55 ден.ед. L1=16 дней; L2=16 дней

3. Сократим работы (2;4) и (3;4) на 2 дня С=55+(5+2)*2 =69 ден.ед. L1=14 дней; L2=14 дней

Построим график зависимости стоимости работ от продолжительности их выполнения.

66

Стоимость, ден.ед.

90

60

30

Рисунок 7.3 -Зависимость стоимости выполняемых работ от времени выполнения

Ранее предполагалось, что время выполнения каждой работы точно известно. В действительности это происходит редко. При сетевом планировании в условиях неопределённости продолжительности работ представляют собой случайные величины.

Существуют 3 временные оценки:

t0(i,j) – продолжительность работы при благоприятных условиях tn(i,j) – продолжительность работы при неблагоприятных условиях tнв – продолжительность работы при нормальных условиях t(ij)=(t0(ij)+tn(ij)+4*tнв(ij))/6 - средняя продолжительность работы

Рисунок 7.4 – Временные оценки продолжительности работы в условиях неопределенности

Вопросы и задания для самоконтроля

1.Что такое сетевое планирование?

2.Что такое работа? Приведите примеры.

3.Что такое событие? Приведите примеры.

4.Как изображаются работа и событие?

5.Что такое путь? Приведите примеры.

6.Что такое полный путь?

7.Что такое критический путь?

8.Назовите временные параметры событий

67

9.Что такое оптимизация сетевого графика?

10.Назовите способы оптимизации сетевого графика

Задания в тестовой форме

1.Система точек, некоторые из которых соединены отрезком, это а) граф; б) сеть;

в) алгоритм; г) блок-схема;

2.Главными элементами сетевого графика являются

а) работы и события; б) работы и пути;

в) резервы времени и события; г) работы и графики;

3.Полный путь, имеющий максимальную продолжительность, называют а) критическим; б) резервным; в) оптимальным;

г) эффективным;

4.События, лежащие на критическом пути, имеют резерв времени, равный а) 0; б) 1; в) -1; г) 3;

5.Оптимизация сетевого графика предусматривает

а) сокращение длины критического пути; б) увеличение длины критического пути; в) сокращение дефицитных ресурсов; г) отсутствие дефицитных ресурсов;

6.При построении сетевых графиков работа понимается как а) процесс; б) событие; в) ресурс; г) модель;

7.В сетевом планировании и управлении считают, что событие совершается а) мгновенно; б) с задержкой; в) дискретно; г) непрерывно.

68

8. ЭЛЕМЕНТЫ ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Сравнение различных вариантов функционирования экономических объектов требует изучения результатов управленческих решений с помощью экспериментальных методов исследования. Проведение экспериментов в реальных условиях требует больших затрат времени и средств. Для решения данной проблемы целесообразно использовать аппарат имитационного моделирования. Основное достоинство имитационных моделей заключается в их способности воспроизводить реальный процесс планирования или управления.

Имитационная модель – это математическая модель системы, предназначенная для изучения в процессе машинной имитации.

Имитационная модельпрограмма для ЭВМ. Эксперимент над имитационной моделью состоит в наблюдении за результатами расчетов по этой программе при различных задаваемых значениях вводимых переменных, отражающих возможные изменения внутренних и внешних условий функционирования системы.

Основой моделирования является метод Монте-Карло. Первые работы по имитационному моделированию Неймана и Улама появились в 1949 году. Метод Монте-Карло- это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин. Этот метод является статистическим экспериментом.

Особенности метода Монте-Карло:

-Простая структура вычислительного алгоритма.

-Ошибка вычисления обратно пропорциональна числу испытаний. Для того, чтобы уменьшить ошибку, необходимо увеличить число испытаний.

Существует компромисс между большой точностью и небольшими затратами на получение приемлемых результатов. Так как имеется разброс значений характеристик эксперимента, то результаты выражают в виде доверительных интервалов.

Цели имитационного моделирования:

-Анализ работы элементов системы для оценки их взаимосвязей.

-Оценка изменений в работе системы при различных внешних воздействиях.

-Исследование поведения системы при различных режимах функционирования.

Имитационные модели применяются для решения следующих задач:

-Теоретических задач в области математики, физики, химии, техники.

-Практических задач организационного управления:

а) задач производственно-технологического характера; б) задач экономического характера (процессы планирования, управления,

инвестирования); в) задач социальных и социально - психологических;

г) задач биомедицинских систем.

При построении имитационных моделей используют четыре группы переменных: генерируемые с помощью датчика случайных чисел; управляемые (задаваемые экспериментатором); экзогенные или внешние, представляющие со-

69

бой нормативно - справочную информацию; эндогенные (внутренние) переменные, значения которых ЭВМ рассчитывает по программе.

Существует четкое различие между оптимизацией на основе полностью определенных математических моделей и оптимизацией с использованием имитационных моделей. В математической модели задача оптимизации выражается с помощью явных математических функций, зависящих от управляемых переменных. После того как задача поставлена, она решается, в результате чего получаются значения управляемых переменных, оптимизирующие (максимизирующие или минимизирующие) целевую функцию модели. Оптимальные значения управляемых переменных (вместе с оптимальным значением целевой функции) определяют результат использования математической модели.

Имитационная модель обычно строится вне рамок оптимизационного процесса. В имитационной модели просто оценивается результат работы системы при заданных значениях управляемых переменных. Это означает, что значения управляемых переменных рассматриваются как часть входных данных.

Этапы разработки имитационной модели:

1.Исследование фактического протекания реального процесса.

2.Выбор систем показателей, достаточной для описания процесса и разработки имитационной модели.

3.Построение исходной (концептуальной) модели.

4.Исследование свойств имитационной модели.

5.Составление программы для ЭВМ.

6.Проведение серии расчетов с анализом результатов.

7.Оценка пригодности системы показателей и структуры модели, корректировка модели при необходимости и повторение расчетов.

При использовании имитационных моделей в системном анализе возникает проблема обоснования возможности перенесения на реальную систему выводов, полученных в результате машинного эксперимента, т.е. оценки доверия

кполученным результатам.

70