Исследование операций и методы оптимизации. Учебно-методическое пособие для студентов направления подготовки 09.03.03 Прикладная информатика

Свойства двойственных оценок

1.Двойственные оценки являются мерой дефицитности ресурсов и продуктов. Так как два вида сырья используются полностью, то их двойственные оценки больше 0 (соответственно 0,5 и 2,5).

2.Двойственные оценки являются устойчивыми. Это свойство свидетельствует о том, что при изменении параметров задачи в определённых пределах значения оценок не изменяются.

3.Двойственные оценки являются мерой влияния ограничения на целевую функцию.

Нулевые оценки ресурсов и продуктов показывают, что изменение объёма ограничения на единицу не повлияет на значение целевой функции, т.к. ресурс избыточен, а продукт производится сверх плана. В нашем случае сырье третьего вида имеется в избытке.

Ненулевые оценки по ресурсам и продуктам показывают изменение значения целевой функции при изменении объёмов ограничения на единицу. Если количество сырья 1 и 2 видов увеличить на единицу, то прибыль увеличится соответственно на 0,5 и 2,5 ден.ед.

4.Двойственные оценки показывают взаимозаменяемость ресурсов или продуктов по их влиянию на целевую функцию:

U2/U1=2,5/0,5=5

Пять единиц первого сырья эквивалентны единице второго вида сырья по степени воздействия на целевую функцию.

5.Двойственные оценки – мера рентабельности отдельных способов производства. Если переменная, обозначающая способ производства, вошла в оптимальный план, то затраты ресурсов в оценках оптимального плана равны планируемому эффекту. Если способ производства не включён в оптимальный план, то оценка ресурсов больше намечаемого эффекта.

Вопросы и задания для самоконтроля

1.Какие общие требования предъявляются к задачам, решаемым методами линейного программирования?

2.Какова суть основных видов алгоритмов линейного программирования?

3.Сформулируйте основные части модели линейного программирования.

4.Приведите общий вид системы ограничений задачи линейного программирования.

5.Каким образом задача линейного программирования может быть приведена к каноническому виду (представлению)?

6.Какова процедура построения первой симплексной таблицы?

7.Каковы признаки опорного решения при использовании симплексного метода?

8.Каковы признаки оптимального решения при использовании симплексного метода?

9.Назовите основные свойства двойственных оценок.

10.Каким образом двойственные оценки используются в экономическом анализе?

31

Задания в тестовой форме

1.При решении экономико-математической задачи симплексным методом опорное (допустимое) решение будет, если:

а) в столбце свободных членов отсутствуют положительные коэффициенты; б) в строке целевой функции отсутствуют положительные коэффициенты; в) в столбце свободных членов отсутствуют отрицательные коэффициенты; г) в строке целевой функции отсутствуют отрицательные коэффициенты;

2.При решении задачи на максимум симплексным методом оптимальное решение будет, если:

а) в столбце свободных членов отсутствуют положительные коэффициенты; б) в строке целевой функции отсутствуют положительные коэффициенты; в) в столбце свободных членов отсутствуют отрицательные коэффициенты; г) в строке целевой функции отсутствуют отрицательные коэффициенты;

3.При решении задачи на минимум симплексным методом оптимальное решение будет, если:

а) в столбце свободных членов отсутствуют положительные коэффициенты; б) в строке целевой функции отсутствуют положительные коэффициенты; в) в столбце свободных членов отсутствуют положительные коэффициенты; г) в строке целевой функции отсутствуют отрицательные коэффициенты;

4.В новой симплексной таблице вместо старого разрешающего коэффициента записывают:

а) единицу; б) нуль;

в) обратную величину; г) противоположную величину;

5.Новые коэффициенты разрешающей строки новой симплексной таблицы определяют путём:

а) деления старых коэффициентов разрешающей строки на разрешающий коэффициент;

б) умножения старых коэффициентов разрешающей строки на разрешающий коэффициент;

в) сложения старых коэффициентов разрешающей строки с разрешающим коэффициентом;

г) вычитания старых коэффициентов разрешающей строки из разрешающего коэффициента;

6.Новые коэффициенты разрешающего столбца новой симплексной таблицы определяются путём:

а) деления старых коэффициентов разрешающего столбца на разрешающий коэффициент, взятый с противоположным знаком;

б) умножения старых коэффициентов разрешающего столбца на разрешающий коэффициент, взятый с противоположным знаком;

в) сложения старых коэффициентов разрешающего столбца с разрешающим коэффициентом, взятым с противоположным знаком;

г) вычитания старых коэффициентов разрешающего столбца из разрешающего коэффициента, взятого с противоположным знаком;

32

7. Коэффициенты, не стоящие в разрешающем столбце и разрешающей строке в новой симплексной таблице находятся по правилу:

а) треугольника; б) прямоугольника; в) трапеции; г) цилиндра;

8. Если в строке целевой функции последней симплексной таблицы стоит хотя бы один нуль, то:

а) задача не имеет решения; б) задача имеет единственное решение;

в) задача имеет множество решений; г) решение задачи не завершено;

9. Для решения задач линейного программирования используется: а) метод наименьших квадратов; б) симплексный метод; в) метод половинных средних; г) правило «трех сигм»;

10. Двойственная экономико-математическая оценка показывает величину изменения:

а) объёма ресурса; б) переменной задачи;

в) целевой функции задачи в результате изменения объёма ресурса на единицу сверх имеющегося его запаса;

г) свободного члена задачи; 11. Двойственная экономико-математическая задача составляется на основе: а) логической задачи; б) транспортной задачи; в) обратной задачи; г) прямой задачи;

12. Избыточные в данной производственной ситуации ресурсы получают двойственную экономико-математическую оценку:

а) равную нулю; б) положительную; в) отрицательную; г) относительную;

3. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО

ПРОГРАММИРОВАНИЯ

3.1 Постановка задачи Из нескольких пунктов отправления требуется перевезти определённое ко-

личество однородного груза в несколько пунктов назначения. Известно имеющееся количество груза в каждом пункте отправления и требуемое количество в пунктах назначения, а также расстояние (себестоимость) перевозки единицы груза из пунктов отправления в каждый пункт назначения. Требуется опреде-

33

лить, какое количество груза и по какому маршруту надо перевезти, чтобы в каждый пункт было доставлено требуемое количество груза и при этом затраты на перевозку были минимальны.

Введём обозначения:

i – индекс поставщиков, i=1…m; j – индекс потребителей, j=1…n;

Ai – количество груза у поставщика i;

Bi – количество груза, требуемое потребителю j;

Cij – расстояние (себестоимость) перевозки единицы груза от поставщика i к потребителю j;

Xij – искомый объём перевозимого груза от поставщика i к потребителю j; Z – минимальные затраты на перевозку

Z = Cijxij min при условиях:

i j

1. Общий объём перевозимого груза от каждого поставщика ко всем потребителям равен запасу этого груза

xij=Ai

j

2. Общий объём доставляемого груза потребителю j равен его потребности

xij=Bj

i

3.Общий запас равен общей потребности

Ai= Bj

ij

4.Неотрицательность xij 0, где i=1…m, j=1…n

Транспортная задача, для которой выполняется условие 3, называется закрытой. Если условие 3 не выполняется, то задача является открытой. Открытая транспортная задача сводится к закрытой путём введения фиктивных поставщиков или потребителей. Для них стоимость перевозки Cij=0.

Транспортные (распределительные) задачи выделены в отдельный подкласс задач линейного программирования в связи со следующими особенностями:

1)ограничения задачи представлены только уравнениями (в симплексном методе ограничения задачи описывались и неравенствами);

2)во всех ограничениях коэффициенты при переменных равны единице;

3)каждая переменная встречается только в двух ограничениях системы (по использованию ресурсов и удовлетворению потребностей);

4)все переменные выражаются в одних и тех же единицах измерения.

В некоторых задачах величины сij могли бы выражать не транспортные

издержки, а, например, прибыль от транспортных операций. В этом случае также возможна постановка задачи такого же типа, но с максимизацией целевой функции. Сфера применения транспортных моделей очень широка. С их помощью можно моделировать реальные задачи различного содержания. Суще-

34

ствуют такие методы решения транспортной задачи, как метод потенциалов, метод Фогеля, симплексный метод и др.

3.2 Решение задачи в MS Excel

Задача. На двух хлебокомбинатах ежедневно производится 100 т и 120 т муки. Мука потребляется двумя хлебозаводами, ежедневная потребность которых 115 т и 105 т. Стоимость перевозок задается матрицей:

Это закрытая транспортная задача, так как общий запас равен общей потребности.

Введем обозначения:

х1 - искомое количество муки, перевозимой с 1 хлебокомбината на 1 хлебозавод, т;

х2 - искомое количество муки, перевозимой с 1 хлебокомбината на 2 хлебозавод, т;

х3 - искомое количество муки, перевозимой со 2 хлебокомбината на 1 хлебозавод, т;

х4 - искомое количество муки, перевозимой со 2 хлебокомбината на 2 хлебозавод, т;

Запишем условия:

1. Условие по перевозке муки с 1 хлебокомбината на хлебозаводы

х1 + х2 = 100

2. Условие по перевозке муки со 2 хлебокомбината на хлебозаводы

х3 + х4 = 120

3. Условие по доставке муки на 1 хлебозавод

х1 + х3 = 115

4. Условие по доставке муки на 2 хлебозавод

х2 + х4 = 105

5. Неотрицательность х1, х2 , х3 , х4 0

Z = 2 х1 + 5 х2 + 4 х3 + 3 х4 мiп

Для решения транспортной задачи в среде табличного процессора MS Excel

Вячейку Д2 введем формулу: =В2+С2

Вячейку Д3 введем формулу: =В3+С3

Вячейку В4 введем формулу: =В2+В3

Вячейку С4 введем формулу: =С2+С3

35

Рисунок 3.1-Форма для решения задачи

Рисунок 3.2 – Ввод условий задачи

Рисунок 3.3 – Оптимальное решение

В результате решения задачи получен оптимальный план:

Z = 575; х1 = 100; х2 = 0; х3 = 15; х4 = 105. Минимальная стоимость перевозки составит 575 денежных единиц. Необходимо перевезти с 1 хлебокомбината на 1 хлебозавод 100 т, со 2 хлебокомбината на 1 хлебозавод 15 т и на 2 - 105 т.

3.3 Моделирование инвестиционных процессов

Рассмотрим задачу оптимального использования инвестиций.

Постановка задачи. Денежные средства вкладываются в три объекта А, В и С в течение четырех периодов. Известны объемы вкладываемых средств и потребности объектов, а также граничные условия для объемов и периодов, экономический эффект от вложений финансовых средств. Найти оптимальное распределение денежных средств, обеспечивающее максимальную эффективность вложения.

36

Введём обозначения:

i – индекс объектов, i=1…m;

j – индекс периодов, j=1…n; Ai – потребность объекта i;

Bi – объем требуемых средств в период j;

Cij –эффект от вложения средств в объект i в период j;

Xij – искомый объём вкладываемых средств в объект i в период j; Z – максимальный экономический эффект от вложения средств

Z = Cijxij мах при условиях:

i j

1. Общий объём вкладываемых средств по периодам равен потребности в них каждого объекта

xij=Ai

j

2.Общий объём средств в период j равен суммарной потребности объектов

вданном периоде

xij=Bj

i

3. Общий объем средств равен общей потребности в них

Ai= Bj

ij

4.Неотрицательность xij 0, где i=1…m, j=1…n

Данную задачу об использовании финансовых ресурсов можно решать как транспортную задачу линейного программирования.

Отличие состоит в том, что при вводе граничных условий в C11:F16 необходимо ввести отличные от нуля нижние и верхние границы для всех переменных задачи.

Рисунок 3.4 – Ввод условий задачи

Необходимо ввести условия: С3≥50, …D4≥10, D4≤70 и т.д. В ячейку G3 следует ввести формулу: =СУММ(C3:F3) и т.д.

37

В ячейку G23 следует ввести формулу: =суммпроизв(C3:F5;C19:F21).

Рисунок 3.5 – Оптимальное решение

По оптимальному решению, в объект А следует вкладывать в течение четырех периодов соответственно 50, 30, 20 и 400 ден. ед., в объект В – 85, 10, 25 и 180 ден. ед. соответственно, в объект С – 25, 30, 45 и 100 ден.ед. соответственно. Суммарный эффект от использования имеющихся средств составит 7500 денежных единиц.

3.4Элементы многокритериальной оптимизации

Впрактической деятельности в сфере государственного и муниципального управления часто встречаются задачи, заключающиеся в поиске лучшего решения при наличии различных несводимых друг к другу критериев оптимальности (стоимость и надежность оборудования, здоровье и доходы и др.).

Если такие задачи решаются методами исследования операций, то их называют задачами многокритериальной оптимизации. Эти задачи могут быть линейными или нелинейными.

Вслучае, если в подобных задачах речь идет не о разнородных критериях некоторой системы, а о сопоставлении однородных критериев разных ее подсистем (отрасли, региона, группы населения и т.п.), то эти задачи называют задачами векторной оптимизации.

Обозначим i-частный критерий через Zi(X*), где Х* - допустимое решение,

аобласть допустимых решений – через S. Так как изменением знака функции можно всегда свести задачу минимизации к задаче максимизации, то задача многокритериальной оптимизации имеет вид:

Z(X*)= {Z1(X*), Z2(X*),…Zm(X*)}→мах,

Х* € S.

В общем случае множество, являющееся пересечением множеств опти-

38

мальных решений частных задач задачи многокритериальной оптимизации, является пустым множеством. Поэтому рассматривают так называемое «переговорное» множество эффективных решений. Критерий оптимальности В. Парето применяется при решении таких задач, когда оптимизация означает улучшение одних показателей при условии, чтобы другие при этом не ухудшились.

Вектор Х* € S называется эффективным (оптимальным по Парето) решением задачи, если не существует такого вектора Х´€S, что

___

Zi(X´) ≥ Z(X*), i=1,m,

причем, хотя бы для одного значения i имеет место строгое неравенство. Множество допустимых решений, для которых невозможно одновременно

улучшить хотя бы один частный показатель, не ухудшая при этом оставшиеся показатели, называют областью Парето. Принадлежащие ей решения называют оптимальными по Парето.

Отдельные частные критерии могут противоречить друг другу, другие действуют в одном направлении, третьи безразличны друг к другу. Поэтому при решении подобных задач необходимы экспертные оценки самих критериев, взаимоотношений между ними.

Существует несколько методов решения задач многокритериальной оптимизации:

-оптимизация по наиболее важному критерию (оставшиеся критерии вводят в виде дополнительных ограничений);

-упорядочение множества критериев с последующей оптимизацией по каждому из них (метод последовательных уступок);

-сведение множества критериев к одному, обобщенному, путем введения экспертных оценок (коэффициентов веса).

В этом случае обобщенная целевая функция будет иметь вид:

s – число целевых функций;

a k -коэффициент веса к – целевой функции.

Если частная целевая функция максимизируется, то перед ней в обобщенной целевой функции ставят знак «+», если минимизируется, то ставят знак «-».

Задача. На предприятии используются трудовые ресурсы в количестве 16 единиц, сырье в объеме 110 единиц и финансовые ресурсы в количестве 100 единиц. Определить план выпуска четырех видов продукции, обеспечивающий получение максимума прибыли при условии использования финансовых ресурсов на минимальном уровне (коэффициент веса прибыли а1=0,75, финансов а2=0,25). Для решения задачи многокритериальной оптимизации с обобщенной целевой функцией необходимо создать форму.

39

Рисунок 3.6 – Условие задачи

ЦФ1 – максимум прибыли; ЦФ2 - минимум финансов в процессе производства. При решении многокритериальной задачи необходимо ввести нижние границы значений переменных, равные 1.

Следует указать, что В3≥1; С3≥1; D3≥1; Е3≥1.

Вводим формулы в ячейки F4, F6, F9, F10, F11. Так, в ячейку F4 =СУММПРОИЗВ(B3:E3;B11:E11);

Вячейку F6 =СУММПРОИЗВ(B3:E3;B6:E6);

Вячейку F9 =СУММПРОИЗВ(B3:E3;B9:E9) и т.д.

После ввода формул следует вначале решить данную задачу многокритериальной оптимизации на максимум прибыли.

Для этого Данные, Поиск решения. Установить, что в ячейке F6 – максимум. Изменяемые ячейки В3:Е3. Вводим необходимые ограничения: В3≥1; …F9≤H9…

Выполнить.

Рисунок 3.7 – Оптимальное решение задачи на максимум прибыли.

Максимум прибыли составляет 1290 денежных единиц. Затем следует решить задачу на минимум финансов. Для этого Данные, Поиск решения.

Установить в ячейке F4 – минимум. Выполнить.

40