Исследование операций и методы оптимизации. Учебно-методическое пособие для студентов направления подготовки 09.03.03 Прикладная информатика

Таблица 4.2 - Исходные данные

Для построения производственной функции выбираем Данные, Анализ данных, Регрессия

Рисунок 4.1 – Окно Регрессия

Вокне диалога необходимо указать параметры: входной интервал для результативного показателя, входной интервал факторов производства, метки, уровень надежности, место вывода результатов расчета, вывод остатков, графиков остатков, подбора, графика нормальной вероятности.

Внашем примере вывод результатов расчета предусмотрен на текущий

лист.

51

Рисунок 4.2 – окно ввода данных

На рисунке 4.2 представлены результаты расчета по программе Регрессия.

.

Рисунок 4.3 – Вывод итогов

Множественный коэффициент корреляции R, равный 0,995, указывает на очень тесную связь между рассматриваемыми признаками в производственной функции. Коэффициент детерминации, равный R 2 = 0,991, показывает, что в среднем величина изменения результативного показателя (прибыли) на 99,1 % зависит от изменения факторов, включенных в производственную функцию.

Стандартная ошибка невелика и составляет 0,423. Производственная функция имеет вид:

У=10,32 + 0,19Х1 + 1,02Х2.

52

Наиболее важной характеристикой производственной функции является показатель средней производительности ресурсных факторов.

Средняя производительность ресурса показывает, на сколько единиц увеличится прибыль в среднем при увеличении объема используемого ресурса на единицу. Средняя производительность в нашем случае равна коэффициенту при Х.

Экономический смысл А1=0,19 состоит в том, что прирост стоимости ОПФ на единицу сопровождается приростом прибыли на 0,19 единиц при условии использования трудовых ресурсов на неизменном уровне. Увеличение среднегодовой численности работников на единицу обеспечивает прирост прибыли в среднем на 1,02 единиц при неизменной стоимости ОПФ.

Коэффициент эластичности равен отношению относительного прироста прибыли к относительному приросту фактора.

E1=(0,19*52,5)/(10,32+0,19*52,5 +1,02*7,6)= 0,36%

Прирост стоимости ОПФ на 1 % приводит к росту прибыли на 0,36 %.

Е2=(1,02*7,6)/(10,32+0,19*52,5 +1,02*7,6)= 0,28%

Прирост среднегодовой численности работников на 1 % увеличивает прибыль на 0,28 %.

Суммарная эластичность производства Е равна:

Е=Е1+Е2=0,36+0,28=0,64<1,00.

Различным образом комбинируя факторы-ресурсы, можно обеспечить одинаковый уровень производства. В определенных пределах можно говорить о возможности замещения одного ресурса другим.

Вопросы и задания для самоконтроля

1.Что такое эконометрическая модель и производственная функция?

2.Опишите основные этапы эконометрического моделирования.

3.Какие задачи решаются на стадии выбора показателей модели?

4.Как осуществляется сбор статистических данных и их проверка?

5.В чем состоит смысл нахождения параметров эконометрической модели?

6.Какие задачи решаются с использованием производственных функций?

7.Дайте формализованное представление производственной функции.

8.Какие виды аналитических зависимостей могут использоваться при построении производственных функций? Приведите их алгебраические выражения.

9.Перечислите требования, предъявляемые к выбору результативного и факторных показателей производственной функции.

10.Каким образом учитывается в модели качественный факторный признак?

53

11.Как осуществляется проверка информации на достоверность для производственной функции?

12.Какие существуют способы для определения вида производственной функции?

14.Что такое мультиколлинеарность и каковы ее характерные признаки?

15.Назовите методы устранения мультиколлинеарности.

16.В чем суть метода наименьших квадратов?

17. Что характеризует коэффициент парной корреляции, каков диапазон его возможных значений?

18. Дайте определение коэффициента детерминации.

19. Что характеризует критерий Фишера?

20. Для каких целей могут быть использованы производственные функции? 21.Что такое средняя производительность по данному фактору, как она

рассчитывается?

22. Каков экономический смысл коэффициента эластичности?

Задания в тестовой форме 1. Каким уравнением описывается многофакторная эконометрическая мо-

дель?

а) Yx = a0 + a1x1 + a2x2 + … + anxn; б) Yx = a0 + a1t;

в) Yx = y0 + a1t; г) Yx = y0 + еа0 а1t ;

2. Эконометрическая модель – это:

а) математическое неравенство, описывающее взаимосвязь факторов; б) формула, позволяющая определить значения факторных показателей; в) логическая схема, показывающая взаимосвязь факторов;

г) уравнение, в котором количественно определён результативный показатель в зависимости от одного или нескольких факторных показателей;

3.В зависимости от количества факторных показателей эконометрические модели подразделяются на:

а) однофакторные и многофакторные; б) линейные и многофакторные; в) однофакторные и степенные; г) линейные и параболы;

4.Этапы построения эконометрической) модели а) 1. выбор результативного и факторных показателей;

2.сбор информации и ее проверка на достоверность;

3.выбор вида модели;

4.расчет параметров и характеристик модели;

б) 1. выбор показателей модели;

2.сбор информации;

3.расчет параметров модели;

4.экономическая интерпретация параметров модели; в) 1. выбор показателей модели;

54

2.расчет параметров модели;

3.расчет характеристик модели;

4.экономическая интерпретация параметров модели; г) 1. выбор параметров модели;

2.расчет параметров модели;

3.расчет характеристик модели;

4.экономическая интерпретация параметров модели;

5.Какая из приведенных эконометрических моделей – двухфакторная?

а) yх = a0 + a1 x;

б) yх = a0 +а 1x + а2х2;

в) yх = a0 +а 1x1 + а2х2+а3х3;

г) yх = a0 +а 1x1 + а2х2+а3х3+а4х4;

6. Какая из приведенных эконометрических моделей линейная:

а) yх = a0 + a1 /x;

б) yх = a0 +а 1x1 + а2х2;

в) yх = a0 +а1х; г) yх = a0 +ха1;

7. Факторы эконометрической модели подразделяются на: а) количественные и абсолютные; б) единичные и относительные; в количественные и косвенные;

г) количественные и качественные; 8. Информация для построения эконометрической модели должна быть:

а) полной, однородной, репрезентативной; б) достоверной, однородной, репрезентативной;

в) количественной, достоверной, однородной; г) качественной, количественной, репрезентативной;

9. Теснота связи между результативным и факторным показателями однофакторной линейной эконометрической модели характеризуется коэффициентом:

а) эластичности; б) детерминации;

в) множественной корреляции; г) парной корреляции;

10. Теснота связи между результативным и факторными показателями многофакторной линейной эконометрической модели характеризуется коэффициентом:

а) эластичности; б) детерминации;

в) множественной корреляции; г) парной корреляции.

5. ЭЛЕМЕНТЫ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Решение задач линейного программирования мы находили как бы за один шаг. Такие задачи называют одношаговыми. В отличие от них задачи динами-

55

ческого программирования являются многошаговыми. Нахождение решения этих задач включает несколько этапов, на каждом из которых определяется решение некоторой частной задачи, обусловленной исходной. Динамическое программирование - метод оптимизации, приспособленный к операциям, в которых процесс принятия решений может быть разбит на отдельные этапы или шаги. Динамическое программирование начало развиваться в пятидесятых годах 20 века благодаря работам Р. Беллмана и его сотрудников. Практически метод динамического программирования стал применим в связи с развитием вычислительной техники и эффективно решает задачи оптимального управления запасами, распределения ресурсов, замены оборудования, маршрутизации.

Задача. Все предприятия периодически заменяют оборудование. При замене учитываются производительность используемого оборудования, затраты на содержание и ремонт оборудования, стоимость покупаемого и заменяемого оборудования. С учетом указанных факторов определяется оптимальный план замены оборудования, т.е. план, обеспечивающий максимум прибыли от замены оборудования в течение нескольких лет.

Задача. Некоторая сумма денежных средств распределяется в течение нескольких лет между рядом предприятий. Средства, выделяемые предприятиям, к концу года приносят доход, который может участвовать в последующем распределении. Требуется определить такой способ распределения средств, чтоб суммарный доход за ряд лет был максимальным.

Задача: Для увеличения объёмов выпуска продукции нескольким предприятиям выделены средства в объёме Z1 млн.руб. Использование каждым k- предприятием xk рублей позволяет получить прибыль, определяемую нелинейной функцией fx(xk). Найти распределение средств, обеспечивающее максимум прибыли.

Запишем математическую модель:

n

F= fx(xk) max;

k=1

n

xk=Z1 ;

k=1

xk 0, k=1,n

Рисунок 5.1 – Схема динамического программирования

В нашей задаче динамического программирования xk – объём средств, выделенных k- предприятию, является переменной управления;

Zk – остаток средств до выделения средств k-предприятию и оставшимся предприятиям, называется параметром состояния.

56

___

Zk=Zk-1 – xk-1, k=2, n – уравнение состояния

Изменяя управление и объем средств, получим различную суммарную прибыль: F=f(Z1,x).

Вектор Х*(x1*, …,xn*) – оптимальное управление, обеспечивающее получение максимальной прибыли.

Метод динамического программирования состоит в том, что оптимальное управление строится по шагам. На каждом шаге оптимизируется управление только этого шага. Но управление на каждом шаге должно быть оптимальным с точки зрения процесса в целом. Суммарный экономический эффект складывается из эффекта на данном шаге и эффекта на оставшихся шагах.

Беллман сформулировал принцип оптимальности:

Каково бы ни было состояние системы перед очередным шагом, надо выбрать управление на этом шаге так, чтобы выигрыш на этом шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным.

Fк*(Zk)=мах fx(xk)+F*k+1(Zk+1) - уравнение Беллмана

0 xk Zk

Вычислительная схема динамического программирования строится в зависимости от размерности задачи, характера модели (непрерывный или дискретный), вида функций, описывающих уравнение состояния и целевую функцию и других характеристик.

При решении задач методом динамического программирования рассматривают прямой ход вычисления или обратный.

Задача. Найти оптимальный план вложения средств в размере 100 млн.руб. в три предприятия, обеспечивающий максимум суммарной прибыли.

Таблица 5.1 - Исходные данные

Пусть х1 - объем средств, вложенных в 1 предприятие, млн.руб. х2 -объем средств, вложенных во 2 предприятие, млн.руб. х3 - объем средств, вложенных в 3 предприятие, млн.руб.

3

Тогда F = fк (хк) = f1 (х1) + f2 (х2) + f3 (х3) →мах

к=1

при условии х1 + х2 + х3 = 100 млн.руб.

Пусть Z1 - остаток средств перед вложением в 1, 2 и 3 предприятия, млн.руб. Z2 - остаток средств перед вложением во 2 и 3 предприятия, млн.руб.

57

Z3 - остаток средств перед вложением в 3 предприятие, млн.руб.

В таблице получено оптимальное решение.

Максимум прибыли составляет 85 млн.руб. Первому предприятию необходимо выделить 40 млн.руб. Из таблицы видно, что второму следует выделить 20 млн.руб. Учитывая, что всего имеется 100 млн.руб., находим, что третьему предприятию предназначено для использования 40 млн.руб.

Замечания

1.Основная сложность решения - 1 этап условной оптимизации.

2.Прямой и обратный ход вычислений есть реализация пошаговой оптимизации. Выбор хода вычислений зависит от условия задачи.

58

3.Основное достоинство метода динамического программирования заключается в применимости его при любом способе задания целевой функции и любом допустимом множестве значений параметра состояний и управлении.

4.При дискретном задании целевой функции происходит табулирование

функций F*к(Zк) для всех возможных значений параметра, но объем расчетов значительно меньше, чем при прямом переборе вариантов. Это связано с тем, что на этапе условной оптимизации неудачные варианты сразу отбрасываются.

5.Большое достоинство моделей динамического программирования заключается в возможности анализа чувствительности к изменению исходных данных.

6. Модель динамического программирования позволяет без пересчета всей задачи учесть изменение количества шагов.

Модель динамического программирования легко реализовать в электронных таблицах MS Еxcel.

Вопросы и задания для самоконтроля

1.Что такое динамическое программирование?

2.В чем отличие динамического программирования от линейного программирования?

3.Что такое прямой ход вычислений?

4.Что такое обратный ход вычислений?

5.Запишите рекуррентное уравнение Беллмана

6.Назовите особенности условной оптимизации в задаче динамического программирования.

7.Назовите особенности безусловной оптимизации в задаче динамического программирования.

8.Поясните принцип оптимальности.

Задания в тестовой форме 1.Назовите основоположника динамического программирования а) Нейман; б) Нейлор; в) Беллман; г) Новиков;

2.Метод динамического программирования используется а) при решении задач о замене оборудования; б) в эконометрическом моделировании; в) при построении производственной функции;

г) в задачах линейного программирования;

3.При динамическом программировании оптимизируется управление а) одного шага; б) нескольких шагов; в) всего процесса; г) части процесса;

59

4.Вычислительная схема динамического программирования зависит от а) характера модели; б) области применения;

в) точности вычислений; г) типа ЭВМ;

5.Вычислительная схема динамического программирования предусматривает такой ход вычислений, который называют

а) прямым; б) линейным;

в) нелинейным; г) абсолютным;

6.В задаче динамического программирования условия могут быть заданы

спомощью

а) таблицы; б) диаграммы;

в) блок-схемы; г) графика;

7.В задаче динамического программирования используется принцип а) оптимальности; б) целесообразности; в) эмерджентности; г) целостности;

8.При решении задачи динамического программирования необходимо построить уравнения, которые называются

а) рекуррентными; б) линейными; в) нелинейными;

г) регрессионными;

9.Первые работы по динамическому программированию опубликованы

а) в середине 20 века; б) в начале 20 века; в) в конце 20 века; г) в начале 21 века.

6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Принятие решений в условиях определенности и риска В условиях рыночной экономики степень неопределенности экономиче-

ского поведения хозяйствующих субъектов выше, чем при плановой. Управленческие решения приходится принимать, оценивая возможные ситуации и делая выбор из нескольких альтернативных вариантов. Теоретически существуют 4 типа ситуаций, в которых принимаются управленческие решения: определённость; риск; неопределённость; конфликт. Вероятность наступления события в условиях определённости равна 1. Сложность выбора определяется количеством альтернативных вариантов, которые просчитываются с выбором

60