Исследование и моделирование информационных процессов и систем. Учебное пособие

изображённый на рис. 3.8 сплошной линией, подвергся сжатию во времени при сохранении его формы и амплитуды.

Рис. 3.8. Сжатие сигнала во времени

Новый сжатый сигналs2(t) (пунктир) связан с исходным соотношением

s2(t) = s(nt), n > 1.

Длительность импульса s2(t) в n раз меньше, чем исходного. Для спектральных плотностей имеет место соотношение

S2 ( w ) = 1 S æç w ö÷ . n è n ø

Таким образом, при сжатии сигнала в n раз во времени во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в n раз.

Вывод: увеличение скорости передачи информации путём сжатия во времени неизбежно ведёт к необходимости расширения частотного диапазона системы передачи.

Данное свойство позволяет выявить связь между временными и частотными характеристиками непериодического сигнала: чем короче сигнал по времени, тем шире его частотный спектр. Такая формулировка не является строгой, т.к. теоретически любой сигнал конечной длительности обладает бесконечно широким спектром. Речь идёт о диапазоне частот, в котором сосредоточена основная доля энергии сигнала.

61

3.3. Равномерная дискретизация. Теорема Котельникова

Котельников Владимир Александрович – совет-

ский инженер-радиотехник, вице-президент Академии наук СССР. В 1933 г. вышла его статья «Пропускная способность эфира и проволоки», где он сформулировал нижеприведенную теорему, а в дальнейшем им была разработана фундаментальная теория потенциальной помехоустойчивости.

Теорема Котельникова. Если наивысшая частота в спектре функции s(t) не превосходит wmax, то функция s(t) полностью определяется последовательностью своих значений в моменты, отстоящие друг от друга не более чем на p/wmax.

Доказательство. Пусть сигнал, описываемый непрерывной функцией времени s(t), имеет ограниченный спектр, т.е. преобра-

Функция частоты S(w) определена на отрезке [–wmax, wmax]. Продолжим её периодически с периодом2wmax, как делали ранее с функцией t. Тогда S(w) можно разложить в комплексный ряд Фурье (3.10):

где коэффициенты разложения равны

Сравнивая (3.16) и (3.18), замечаем, что эти выражения очень похожи. Если положить в (3.16) t = p/wmax, получим соотношение

62

Подставим это выражение в(3.17), положив Dt = p/wmax – шаг дискретизации. Получим выражение для спектральной плотности

Подставим (3.20) в (3.16), поменяв порядок операций суммирования и интегрирования и заменив –kDt на kDt, т.к. суммирование по k идёт от – ¥ до +¥:

Перейдя в вещественной форме, легко вычислить интеграл:

вал между двумя отсчётными точками на оси времени.

Таким образом, непрерывная функция s(t) с ограниченным спектром теоретически может быть точно представлена своими отсчётами s(kDt), взятыми через равные интервалы. Выражения

jn ( t ) = sinwmax ( t - nDt ) wmax ( t - nDt )

называются функциями отсчётов (рис. 3.9).

63

Напомним, что теорема Котельникова применима к сигналам с ограниченным спектром. Реальные сообщения имеют конечную длительность, их спектр, таким образом, не ограничен.

Следовательно, реальные сигналы не соответствуют принятой модели, и применение теоремы Котельникова связано с погрешностями при восстановлении сигнала по формуле(3.21) и неопределённостью выбора шага дискретизации. Поэтому для функций с неограниченным спектром принятую модель надо рассматривать как приближённую. Практически всегда можно определить максимальную частоту спектраfmax так, чтобы «хвосты» функции времени, обусловленные отсеканием частот, превышающих fmax, содержали пренебрежимо малую часть энергии по сравнению с энергией исходного сигнала s(t).

jn(t)

t

Рис. 3.9. Функции отсчётов

Рис. 3.10. Разложение в частичный ряд Котельникова: исходная функция; 7 слагаемых;

11 слагаемых

64

Пример 3.1. Разложим в ряд Котельникова функцию

Несмотря на неограниченность спектра, основная доля его энергии сосредоточена в диапазоне w Î [–4, 4], поэтому положим

wmax = 4, Dt = p = 0,785. На рис. 3.10 приведены разложения с 7 и 4

11 слагаемыми суммы (3.21) на временном интервалеtÎ[–5, 5]. Для вычисления суммы (3.21) использован оператор MathCAD

,

где s(x) – функция исходного сигнала; w_m = wmax = 4, d_t = Dt.

3.4. Сглаживание сигнала

Описание метода. Данные, снятые непосредственно с объекта, как правило, бывают сильно зашумлены различными помехами. Поэтому перед записью на носитель их часто подвергают первичной обработке, в частности – сглаживанию.

Помехи обычно описываются высокочастотными функциями, хаотично меняющими своё значение. Сглаживание же позволяет отсечь подобные составляющие сигнала и получить -на боры данных, более медленно меняющиеся во времени. Такие функции называют гладкими, отсюда и название процедуры.

Всовременных информационных технологиях используются как аппаратные, так и программные методы сглаживания. Первые методы работают непосредственно с электрическими сигналами на выходе датчиков. С помощью специальных фильтров в сигнале подавляются высокочастотные составляющие. Вторые методы применяются к уже оцифрованным сигналам посредством их математической обработки. Ознакомимся с простейшими из этих методов.

Воснове методов сглаживания, как и ряда других методов

аппроксимации функций, содержащих помехи, лежит метод наи-

65

меньших квадратов (МНК). Простейший способ сглаживания состоит в циклическом выборе трёх последовательных точек из набора данных и линейной среднеквадратичной аппроксимации этого набора.

Вспомним, что искомые оценки коэффициентов аппроксимирующей функции в МНК определяются как решение линейной системы уравнений

где Ф – регрессионная матрица, составленная из значений базисных функций. В случае линейной аппроксимации матрицаФ имеет вид

Пусть значения xi совпадают с номерами точек xi = i = 0, 1, 2. Тогда

Решение системы (3.22) можно записать в явном виде:

В системе MathCAD легко определить нужную матрицу:

и вычислить с её помощью коэффициенты уравнения регрессии.

66

Однако нам надо найти не коэффициенты, а формулы для

)

расчета значений аппроксимирующей функцииyi . Для этого

) )

воспользуемся формулой y = Φb , в которую подставим(3.23). Получим искомые расчётные формулы для сглаженных данных:

3

Рис. 3.11. Пример 3-точечного линейного сглаживания: 1 – исходные данные; 2 – сглаженные данные;

3 – набор данных без помех

) )

Обычно формулы для y0 и y2 используют при вычислении самой первой и самой последней точек сглаженного набора, а для

)

вычисления остальных точек применяют формулу дляy1 , поскольку она имеет наименьшую погрешность аппроксимации. Такой способ называется методом скользящей медианы. При нём каждая точка, кроме первой и последней, обрабатывается по

67

средней формуле, и ансамбль обрабатываемых точек перемещается от начала к концу всего сглаживаемого набора.

Пример использования описанной процедуры3-точечного линейного сглаживания дан на рис. 3.11. Пунктирная прямая – набор данных без помех. Помимо линейного используется нелинейное сглаживание, при котором применяется нелинейная аппроксимирующая функция. Обычно нелинейное сглаживание использует большее число точек, чем линейное – 7 и более.

1

2

3

Рис. 3.12. Использование функций MathCAD для сглаживания: 1 – линейное по 9 точкам; х1:= medsmooth (Y,9);

2 – по распределению Гаусса х2:= ksmooth (с, Y, 10); 3 – адаптивный x3:= supsmooth (с, Y)

В системе MathCAD есть несколько встроенных функций, реализующих различные варианты линейного и нелинейного сглаживания данных (рис. 3.12):

·medsmooth (y, b) – сглаживание алгоритмом "скользящей медианы";

·ksmooth (x, y, b) – сглаживание на основе нормального распределения помех;

68

· supsmooth (x, y) – локальное сглаживание адаптивным алгоритмом, основанное на анализе ближайших соседей каждой пары данных;

х – вектор действительных данных аргумента (для supsmooth его элементы должны быть расположены в поряд-

ке возрастания); у – вектор действительных значений того же размера, что и х;

b – ширина окна сглаживания.

Эффект подавления гармоник при сглаживании. В пре-

дыдущем пункте мы по умолчанию считали, что помехи присутствуют в каждом данном, причём они предполагались чисто случайными. Такое поведение помех имеет место, когда их единственной причиной являются ошибки измерения. Однако зашумлённость может быть обусловлена влиянием какого-нибудь паразитического физического процесса, в котором присутствует некая детерминированная составляющая. В этих условиях актуальной становится задача об оптимальном шаге съёма данных. При чисто случайных помехах такого вопроса не может возникнуть, . . ошибка присутствует в каждом данном и изменение шага ничего не меняет.

Пример 3.2. Ошибка имеет вид гармонического высокочастотного сигнала u(t) = coswt. Обозначим h – шаг по времени съёма данных. Выясним зависимость эффекта3 точечного линейного сглаживания от h.

Имеем: y0 = cosw(t–h); y1 = coswt; y2 = cosw(t+h). Посколь-

ку подавляющее число сглаженных данных получаются по фор-

)

муле для y1 , то рассмотрим только эту формулу:

= coswt 1 + 2coswh .

3

Иными словами, при сглаживании ордината каждой обработан-

ной точки умножается на величину 1 + 2coswh . График её модуля

3

69

при малых wh приведён на рис. 3.13. Как видим, 1 + 2coswh £1 ,

3

т.е. происходит уменьшение гармонической помехи.

Рис. 3.13. Множитель, появляющийся в результате сглаживания

Несложно вычислить, что при wh = 2p множитель равен 0, 3

т.е. помеха полностью подавляется. Так как частота колебаний w

связана с их периодом T зависимостью w = 2p , то несложно оп-

T

ределить, что эффект полного подавления наступает при h = T . 3

Рис. 3.14. Полное подавление помехи при сглаживании

70