Исследование и моделирование информационных процессов и систем. Учебное пособие

В качестве базисных функций jk(t) в задачах дискретизации чаще других применяются следующие: члены рядов Фурье, Котельникова, полиномы Чебышева, Лежандра, степенные функции и др.

3.2. Математическое описание сигналов

Сигналами называются физические процессы, определённое изменение параметров которых содержит некоторую информацию. Таким образом, сигналы являются материальными носителями информации. Во многих случаях сигнал отображает временные процессы, происходящие в некоторой системе. Поэтому описанием конкретного сигнала может быть функция времени.

Для образования сигналов используются в основном три типа функций (носителей) (рис. 3.2).

а)

б)

в)

Рис. 3.2. Виды носителей информации

1.Постоянная величина (рис. 3.2, а). Она имеет только один информационный параметр – значение этой величины, которое и определяет представляемое данное.

2.Гармоническое колебание (рис. 3.2, б). Информационными параметрами могут выступать амплитуда, частота, фаза.

51

3. Последовательность импульсов (рис. 3.2, в). Информационными параметрами могут выступать: амплитуда, частота и фаза импульсов или пауз между ними, а также число импульсов, комбинация импульсов и пауз.

При анализе сложного сигнала s(t) его представляют в виде взвешенной суммы базисных функций jk(t):

s(t) = åCkjk ( t ) , t Î[t1, t2],

k

где [t1, t2] – интервал существования сигнала. При выбранном наборе базисных функций сигналs(t) полностью определяется совокупностью безразмерных коэффициентов Сk. Такие совокупно-

сти чисел называют спектрами сигналов.

Вычисление спектральных составляющих сигнала существенно облегчается при выборе в качестве базиса системы ортого-

s(t) совокупностью ортогональных функций в виде

s(t) = åCkjk ( t ) , t Î[t1, t2].

k

Правую и левую части последнего равенства умножаем на jj(t) и интегрируем, на интервале [t1, t2]:

ò s( t )j j ( t )dt = åCk òjk ( t )j j ( t )dt .

В силу условия ортогональности все интегралы в правой части этого выражения при k ¹ j будут равны 0, останутся только интегралы при k = j. Следовательно,

52

Отсюда

t2

Периодические сигналы. Простейшим периодическим сигналом является гармоническое колебание(тока, напряжения, заряда), определяемое законом

при –¥ < t < +¥. Здесь A, T, w, Y – постоянные амплитуда, период, частота и фаза. Реальные сигналы имеют начало и конец. В дальнейшем под гармоническим сигналом будем подразумевать сигнал, определяемый функцией, совпадающей с A·cos(wt-Y) в некотором конечном интервале аргумента t.

Любой периодический сигнал может быть представлен (разложен) в виде суммы элементарных гармонических сигналов, действующих при –¥ < t < +¥. Это представление осуществляет-

ся с помощью ряда Фурье.

Пусть сигнал задан на интервалеt1 < t < t2 функцией s(t),

периодически повторяющейся с частотой w = 2p , где T – период

T

повторения. Пусть, кроме того, выполняются следующие условия (условия Дирихле):

1)в любом конечном интервале функцияs(t) непрерывна или имеет конечное число разрывов 1-го рода (конечные скачки)

–т. е. кусочно-непрерывна;

2)в пределах одного периода функцияs(t) имеет конечное число максимумов и минимумов.

Тогда s(t) может быть представлена рядом Фурье вида

53

cos(kwt), k = 1, 2,…, w = 2p } является ортогональной на любом

T

отрезке длиной T. Следовательно, коэффициенты ряда Фурье вычисляются на основе формулы (3.3):

Существуют также «альтернативные» формулы для коэффициентов Фурье в случае, когда функцию s(t) рассматривают на

Амплитуда и фаза k-й гармоники выражаются через ak и bk следующим образом:

Наборы Ak и Yk представляют собой амплитудную и фазовую ха-

рактеристики спектра.

Наконец, если воспользоваться формулой Эйлера eiwt = coswt + i sinwt, то можно получить комплексную форму ряда Фурье, часто более удобную, чем действительная форма:

54

Здесь за счёт комплексной сопряжённости мнимая часть ряда пропадает. Поэтому использование «отрицательных» частот – kw является формальным и связано с применением комплексной формы для представления действительной функции s(t).

Рис. 3.3. Спектр периодической функции

Структура частотного спектра периодического сигнала полностью определяется этими двумя характеристиками– амплитудной и фазовой. Наглядное представление о«ширине» спектра и об относительной величине его составляющих даёт график спектра (рис. 3.3). Здесь по оси абсцисс отложены частоты гармоник, по оси ординат – модули амплитуд. Для исчерпывающей характеристики спектра рис. 3.3 должен быть дополнен заданием фаз отдельных гармоник.

Спектр периодической функции состоит из отдельных линий, соответствующих дискретным частотам: 0, w, 2w, … Отсюда название – линейчатый или дискретный спектр. Значение рядов Фурье в современной технике очень велико. Основанный на формулах (3.3)–(3.10) гармонический анализ сложных периодических сигналов в сочетании с принципом суперпозиции(наложения) представляет собой эффективное средство для изучения

55

влияния линейных систем на прохождение сигналов. Так, условие линейности системы позволяет рассматривать эффект прохождения каждой гармоники независимо от остальных гармоник.

Пример разложения периодического сигнала. Проведём спектральный анализ импульсов тока, который протекает через нагреватель электрического утюга с автоматическим прерывателем нагрева. График этих импульсов имеет вид, представленный на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Импульсы тока, проходящего через нагреватель утюга

Как видно из рис. 3.4, утюг работает в следующем режиме: на 0,25 мин нагреватель включается, затем на 1,75 мин отключается. В результате получаем последовательность прямоугольных импульсов с периодом T = 2 мин. Проведём спектральный анализ этого сигнала, для чего разложим последовательность импульсов в ряд Фурье согласно формулам (3.4)–(3.6).

Аналитическое представление сигнала s(t) внутри периода имеет вид:

Для того чтобы аналитически вычислить интегралы(3.5)–(3.6) в системе MathCAD, преобразуем (3.11) с использованием функции Хевисайта: s(t) = Ф(t) – Ф(t – 0.25) либо используем представление (3.11) с разбиением отрезка интегрирования на две части

56

[0, 0.25] U [025; 2]. Основная частота w = 2p =p. Вычисляем ин-

T

тегралы:

.

График амплитудной характеристики, вычисленной по формуле (3.8) приведен на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Амплитуды гармоник спектра импульсов тока, проходящих через нагреватель утюга

57

учитывать примерно 20 гармоник, т.е. сходимость ряда очень медленная. Формулы коэффициентов это подтверждают. Судя по

æ 1 ö

ним Ak = Oç ÷ , т.е. убывают коэффициенты весьма медленно.

è k ø

Непериодические сигналы. Реальные сигналы, дейст-

вующие в системах передачи информации, всегда непериодические, хотя бы потому, что все они имеют конечную длительность. То есть если формально считать их функциямиt на бесконечном промежутке, то они обращаются в 0 за пределами некоторого конечного интервала. Рассмотрим способы гармонического анализа таких сигналов.

Пусть сигнал задан в виде функции времениs(t), удовлетворяющей условиям Дирихле на любом конечном интервале, а на бесконечном интервале будем считать её абсолютно интегрируемой. Последнее условие означает, что несобственный интеграл

¥

ò s(t) dt

-¥

сходится и равен некоторому конечному числу Q.

58

Рассмотрим s(t) на произвольном конечном отрезке [t1, t2], – Т/2 £ t1 £ t2 £ T/2. Для удобства рассуждений превратим непериодическую функцию s(t) в периодическую путём её бесконечного повторения с периодом T (рис. 3.7). Тогда для этой новой функции применимо разложение Фурье(3.4), (3.7) с основной часто-

той w = 2p :

T

Рис. 3.7. Превращение непериодической функции в периодическую.

Воспользуемся известными тригонометрическими формулами:

2cosA cosB = cos(A–B) + cos(A+B); 2sinA sinB = cos(A–B) – cos(A+B),

59

получим

T T

В силу абсолютной интегрируемости s(t) все слагаемые будут меньше Q/T. Устремим T® ¥. Тогда слагаемые устремятся к 0. Также при T® ¥ основная частота w стремится к 0. Это означает, что расстояние между спектральными линиями, равное w, становится бесконечно малым, а спектр непериодического сигнала – сплошным. В итоге получим сумму бесконечно малых слагаемых. Несложно доказать, что в результате сумма сойдётся к интегралу по dw, т.е. получим двойной интеграл вида:

Воспользовавшись формулой Эйлера

ewti e–wzi = ew(t–z)i = cosw(t–z) + i sinw(t–z),

формулу (3.12) можно представить в комплексной форме:

Внутренний интеграл, являющийся функцией w, обозначим

-¥

S(w) называется спектральной плотностью функции s(t).

После подстановки (3.14) в (3.13) получаем

Пара (3.14) и (3.15) называется прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Свойства преобразования Фурье. Преобразованиями Фу-

рье часто пользуются во многих приложениях. Отметим его важное свойство: изменение масштаба времени. Пусть сигнал s(t),

60