Исследование и моделирование информационных процессов и систем. Учебное пособие

лом находящихся в нём заявок, то состояние сети описывается всевозможными комбинациями различных состояний отдельных приборов. Поэтому число состояний сети может быть очень большим.

Обозначим левый прибор П1, а правый – П2. Пусть l – интенсивность входного потока заявок, m1 – интенсивность их обслуживания каналом прибора П1 и m2 – интенсивность их обслуживания каналом прибора П2. Левый прибор имеет состояния0, 1, 2, 3, правый – 0, 1, 2. Обозначим (i, j) – состояние системы, при котором П1 находится в состоянии i, а П2 – в состоянии j. Вершины графа состояний СеМО расположим в виде матрицы:

(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (3, 1), (0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2).

В этой матрице горизонтальные стрелки переходов соответствуют смене состояний П1, а вертикальные – П2. Переходы, увеличивающие номер состояния 1П (стрелки слева направо), обусловлены приходом новой заявки и имеют интенсивность l.

Рис. 1.8. Граф смены состояний СМО примера 1.2

31

Стрелки справа налево означают переход заявки, обслуженной П1 на П2. При этом, очевидно, номер состояния П2 увеличивается, поэтому такие стрелки на самом деле будут направлены по диагонали. Исключение составляют состояния в последней строке матрицы. При окончании обслуживания в П1 заявка не может перейти в П2, т.к. он полностью занят, и теряется. В

этом случае переход происходит по горизонтальной стрелке справа налево (рис. 1.8).

Наконец, после завершения обслуживания заявки прибором П2 уменьшается номер состояния П2, а состояние прибора П1 не меняется. Поэтому соответствующие стрелки направлены вертикально вверх. Полный граф состояний СеМО на рис. 1.8.

Подобный приём позволяет алгоритмизировать процесс построения графа для любых типов приборов, соединённых последовательно. В случае трёх приборов получим уже«трёхмерную» матрицу, но принцип построения не изменится.

Не составляя матрицу интенсивностей переходов и не выписывая систему уравнений для определения стационарных вероятностей, получим математические выражения для определения узловых и сетевых характеристик данной СеМО при известных значениях стационарных вероятностей состояний pij , i = 0,…,3,

j = 0,…, 2.

1. Узловые характеристики СеМО рассчитываются в та-

кой последовательности.

1) Загрузки узлов определяются как суммы вероятностей состояний, в которых соответствующий узел занят обслуживанием заявок, поскольку в каждом узле всегда работает только один канал:

k р1 = p10 + p20 + p30 + p11 + p21 + p31 + p12 + p22 + p32; k р2 = p01 + p11 + p21 + p31 + p02 + p12 + p22 + p32.

2) Среднее число заявок в очередях:

l1 = p20+p21+p22 + 2(p30+p31+p32); l2 = p02+p12+p22 +p32.

3) Производительности узлов (интенсивность обслуженных заявок на выходе узлов): l (1)1 = k р1 ×m1, l (1)2 = k р2 ×m2.

32

l2 – интенсивности поступления заявок в узлы1 и 2 СеМО, для расчёта которых необходимо выполнить анализ потоков в -рас сматриваемой сети. В данном случае интенсивность l1 совпадает

с интенсивностью входного потока l, а l2 = l (1)1 – интенсивность

выходного потока прибора П1.

Окончательно после преобразований выражения для расчёта вероятностей потери заявок в узлах СеМО примут вид:

сумме загрузок отдельных узлов:

k рС = k р1 + k р2.

2)Суммарное число заявок в очередях равно сумме длин очередей перед каждым узлом.

3)Суммарное число заявок в узлах равно сумме количества заявок в каждом узле.

4)Суммарное время ожидания в узлах равно сумме времени ожидания в каждом узле.

5)Производительность СеМО равна интенсивности обслу-

женных заявок на выходе сети, т.е. l (1)2 .

6) Вероятность обслуживания заявки в сети определяется как отношение интенсивностей выходного потока сети к интен-

33

l(1)

сивности входа: p = 2 . Соответственно вероятность отказа в

оС

l

1.7. Неэкспоненциальные СМО

Напомним, что основная причина популярности использования экспоненциального распределения при описании многих стохастических систем, в том числе и СМО, заключается в наличии у него свойства отсутствия последействия. Благодаря этому для многих моделей различных систем удается достаточно просто получить конечные результаты в виде явных аналитических зависимостей для расчета характеристик исследуемой системы. Поэтому часто при исследовании систем, в которых временные процессы отличаются от экспоненциальных, стремятся свести эти процессы к экспоненциальному представлению.

Как известно, для экспоненциального закона распределения случайных величин, определённых в области неотрицательных значений, коэффициент вариации равен единице. Если реальные временные интервалы имеют значения коэффициента вариации, значительно отличающиеся от единицы, использование экспоненциального распределения может привести к большимпо грешностям конечных результатов. В этих случаях в качестве аппроксимирующих функций законов распределений могут использоваться вероятностные законы, представляющие собой комбинацию экспоненциальных распределений, а именно:

•распределение Эрланга и гипоэкспоненциальное распределение, когда коэффициент вариации временного интервала меньше единицы: 0 < V < 1;

•гипереэкспоненциальное распределение, когда коэффициент вариации временного интервала больше единицы: 1 < V .

При этом подбор параметров аппроксимирующего распределения в простейшем случае может выполняться по совпадению двух первых моментов распределения:

•математическому ожиданию;

•коэффициенту вариации.

Рассмотрим два простейших примера такой аппроксимации.

34

СМО с эрланговским входом. Распределением Эрланга r-го порядка называется распределение, описывающее непрерывную случайную величину x, принимающую значения в полубесконечном интервале [0; +∞) и представляющую собой сумму r независимых случайных величин, распределенных по одному и тому же экспоненциальному закону с параметром l.

При эранговском входе входной поток условно разбивается на r последовательных фаз, по которым поступает заявка в систему. Очередная заявка попадает на вход только после прохождения предыдущей заявки всех фаз. В каждый конкретный момент заявка может находиться только в одной из фаз. Далее заявка поступает в накопитель прибора. Если он заполнен, то заявка теряется, если есть свободное место, то заявка становится в очередь.

Рассмотрим пример системы с эрланговским потоком на входе из 2 фаз с интенсивностями l соответственно с одним каналом и 1-м местом в накопителе. Пусть m – интенсивность обслуживания. Обозначим состояния следующим образом: (i, k), где

i – номер фазы, через которую заявка проходит или готова к прохождению; k – число заявок в системе на реальной фазе обслуживания (k = 1 – заявка в канале, k = 2 – одна заявка в канале, вторая в очереди). Получаем граф

35

СМО с эрланговским выходом. Выходной поток условно разбивается на r последовательных фаз, по которым поступает заявки в систему. Очередная заявка покидает систему обслуженной только после прохождения предыдущей заявки всех фаз. В каждый конкретный момент заявка может находиться только в одной из фаз.

Рассмотрим пример системы с эрланговским потоком на выходе из 2 фаз с интенсивностями m, соответственно, с одним каналом и 1-м местом в накопителе. Пусть l – интенсивность входного потока.

Обозначим состояния следующим образом: (i, k), где i – номер фазы, через которую заявка проходит; k – число заявок в системе на реальной фазе обслуживания (k = 1 – заявка на обслуживании в каком-либо канале, k = 2 – одна заявка на обслуживании, вторая в очереди). Получаем граф

Для обоих построенных графов составляем систему уравнений Колмогорова и решаем её.

36

2. МОДЕЛИ ПЛАНИРОВАНИЯ ПРОЦЕССА ОБРАБОТКИ ДАННЫХ

2.1. Постановка задачи планирования: задача Джонсона

Модели обслуживания, рассмотренные выше, позволяют получить аналитические выражения для оценки характеристик вычислительной системы при различных потоках заявок, отдельных законах обслуживания, наличии абсолютных и относительных приоритетов. Таким образом, модель обработки данных базируется на процессе обслуживания заявок по решению вычислительных задач. Однако для реальных задач управления необходимо решение вычислительных задач во временной последовательности, зависящей от требований производственного процесса. Стратегия обработки информации в автоматизированных системах должна исходить из того, что для каждой вычислительной задачи существует наиболее благоприятное время ее решения, что приводит к необходимости определения оптимального плана организации вычислительного процесса. Задача может в виде заявки обращаться в вычислительную систему в произвольный момент времени, однако возможности для ее решения должны определяться в соответствии с разработанным планом вычислительного процесса. Поэтому составной частью модели обработки данных является модель планирования вычислительных работ в системе.

Для решения каждой задачи должен быть выделен определенный ресурс – объем оперативной памяти, время работы процессора, размер области на диске, время ввода-вывода информации и т.д. Естественно, что ограниченность вычислительных ресурсов может не позволить решать вычислительные задачи -па раллельно во времени. Исходя из этого, необходимо составить план последовательного запуска задач. Процесс назначения порядка решения задач во времени называется планированием.

Критерии, используемые при планировании вычислительного процесса, могут выбираться в зависимости от требований к решаемым вычислительным задачам. Можно идти по пути уменьшения среднего времени решения задач в вычислительной системе или увеличивать производительность. Рассмотрим мо-

37

дель планирования вычислительного процесса по критерию минимума времени обработки.

Имеем m задач J1 - J m , каждая из которых должна последовательно пройти n стадий (фаз) решения S1 - Sn . Пусть vi j –

время, требуемое i-й задаче на j-й стадии и V – матрица трудоемкостей решения всех задач:

решение типовых примеров и моделям обслуживания. Имеют место следующие ограничения:

1)для любого устройства вычислительной системы(фазы обработки данных) каждая последующая работа не может -на чаться до окончания предыдущей;

2)каждое устройство на данной фазе может выполнять только одну информационно-вычислительную работу;

3)начавшаяся работа не должна прерываться до полного ее завершения.

В этих условиях задача планирования вычислительного процесса эквивалентна известной задаче Джонсона или задаче о станках.

Обозначим Ti j – время окончания стадии S j задачи Ji .

Пусть значение pi указывает номер задания, выполняемого i-м по порядку (в данной очереди). Тогда общее время выполненияm работ для заданной очереди p1, p2 ... pm вычисляется по следую-

щим рекуррентным формулам:

38

Суммарное время выполнения равноTm, n = Q . Требуется

определить оптимальную очередность выполнения работ по критерию минимума Q при заданной матрице V.

Пример 2.1. Дана матрица V из 4 строк и 5 столбцов.

Дана очередь ( J 4 J1 J3 J2 ). Рассчитаем по ней время прохождения всех стадий исходной матрицыV по формулам(*). Первую строчку, т.е. время прохождения стадий задания J4, определим как нарастающую сумму элементов 4-й строки матрицы V: [17 27 41 47 67].

Далее T2,1 = V1,1 + max(0, T1,1) = 6+17=23. T2,2 = V1,2 + max(T2,1, T1,2) = 14+max{23, 27} = 41. И т.д. 2-я строка Т: [23 41 51 66 74].

Получим следующую матрицу T.

2.2. Алгоритмы решения задачи Джонсона

Эффективный алгоритм для частного случая задачи.

Алгоритм используется в случаях, когда n = 2 (две стадии). Он состоит из следующих шагов.

1)Определяется минимальный элемент VKL матрицы V. Если минимальных элементов несколько, то берется первый из них. Если это элемент 1-го столбца, т.е. L=1, то работу JK ставим первой

вочереди, если L=2, то работу JK ставим последней в очереди.

2)Поставленная в очередь работа исключается из матрицы V (вычёркивается K-я строка).

3)Для полученной матрицы шаги 1–2 повторяются для заполнения средней части очереди.

Сложность данного алгоритма m·(m–1)/2 вариантов. После того,

39

как все виды работ будут упорядочены в очереди, по формулам

(*) рассчитывается общее время их выполненияQ, которое является минимальным.

Пример 2.2. Установить оптимальную очередность выполнения работ для известной матрицы трудоемкости

В соответствии с алгоритмом оптимального планирования выполняем следующие действия.

1)Из матрицы находим, что минимальный элемент равен V12 = 1. В конец очереди ставится работа J1.

2)Из матрицы V исключается 1-я строка:

S1 S2

J 2 4 5

J3 1 3

J 4 1 2 .

J5 2 4

J6 3 1

3)Следующий минимальный элемент – V31 = 1. В начало очереди ставится работа J3 .

4)Из матрицы V исключается 3-я строка:

S1 S2

J 2 4 5

J 4 1 2 .

J5 2 4

J6 3 1

40