Исследование и моделирование информационных процессов и систем. Учебное пособие

что и требовалось доказать.

Отметим, что загрузка системы в отличие от нагрузки определяется через интенсивность только обслуженных заявок, поскольку потерянные заявки не обслуживаются в приборах и, следовательно, не загружают систему.

2) Получим ещё одну полезную формулу для расчёта вероятности потери заявок по известному значению загрузки СМО. Из (1.4) следует, что вероятность потери заявок в СМО с накопителем ограниченной ёмкости может быть рассчитана как

В то же время из (1.9) вытекает, что интенсивность обслуженных заявок

l(1) = nk p .

b

Подставляя последнее выражение в предыдущее, получим:

где r = lb – нагрузка системы. Вероятность обслуживания поступившей в систему заявки:

pо =1 – pп = kp n . r

3) Важной характеристикой СМО являетсяw – среднее время ожидания заявок в очереди. Для неё получено следующее уравнение, связывающее её со средней длиной очереди заявок:

11

Можно предложить следующее объяснение формулы(1.11): l(1) представляет собой скорость, с какой обслуживаются заявки, а w

– время, в течение которого все l заявок, стоящие в очереди, будут обслужены. Таким образом, (1.11) представляет собой некий аналог известной формулы, связывающей пройденный путь, скорость и время в пути.

4) Среднее время пребывания заявокв системе, склады-

вающееся из времени ожидания w и времени обслуживания b:

Этот показатель по аналогии с предыдущей формулой можно связать со средним числом заявок в системе:

Зависимости (1.11) и (1.13), связывающие средние значения временных (w, u) и безразмерных (l, v) характеристик, известны как формулы Литтла и вместе с формулой(1.12) представляют собой фундаментальные зависимости, справедливые для широкого класса моделей массового обслуживания.

5) Запишем ещё одну формулу для определения загрузки системы. Предположим, что загруженность системы, т.е. период, когда СМО занята непосредственно обслуживанием заявки, возможна только в состояниях с номерамиk1, k2, …, ks, при этом число работающих каналов равно nk1 , nk2 ,...,nks , соответственно.

Тогда загрузка системы определяется по формуле

То есть загрузка системы определяется как взвешенная сумма вероятностей состояний, в которых СМО занята обслуживанием заявок.

Приведённые в этом разделе основные зависимости связывают между собой различные показатели, характеризующие СМО. Как видно из полученных формул, далеко не все характеристики могут быть получены непосредственно из исходных данных: l, m, n и др. Для поиска недостающих данных необходи-

мо применять моделирование СМО.

12

Контрольные вопросы и задания

1.Какие параметры используются для описания СМО в простейшем случае?

2.В чём особенность СМО с накопителем неограниченной ёмкости? Каковы должны быть условия работы такой системы, чтобы в ней не возникали перегрузки?

3.В чём различие между детерминированным и регулярным потоком заявок? Какой поток заявок является альтернативой детерминированного потока?

4.Поясните физический смысл понятия интенсивности потока и укажите ее размерность. Что характеризует величина обратная интенсивности?

5.В систему поступают заявки с интервалом 80 секунд.

6.Что понимается под обслуживанием заявок в СМО? Что такое интенсивность обслуживания заявок в СМО, и какова её размерность?

7.Что характеризуют нагрузка и загрузка СМО? В чём отличие загрузки от нагрузки? В каких случаях нагрузка совпадает с загрузкой?

8.Что такое и чем характеризуется перегрузка системы? При каких условиях возникают перегрузки системы? В каких СМО не возникают перегрузки?

13

1.2. Дискретный марковский процесс с непрерывным временем

При изучении систем со стохастическим характером функционирования полезной математической моделью является случайный (стохастический) процесс, который развивается в зависимости от ряда случайных факторов. Примерами случайных процессов могут служить процессы поступления и передачи данных в телекоммуникационной сети, процессы выполнения задач и обмена данными с внешними устройствами в вычислительной системе и т.п.

Пространством состояний случайного процесса называют множество возможных состояний процесса, иными словами, множество значений параметров, определяющих состояния системы и соответственно процесса. Если это множество дискретно, то процесс называют дискретным процессом. Обычно состояния дискретного случайного процесса определяются таким образом, чтобы каждое возможное состояние могло быть обозначено -по рядковым номером, при этом число возможных состояний системы может быть конечным.

Для случайных процессов с непрерывным временем время между переходами из одного состояния в другое случайно. Это означает, что вероятность перехода из одного состояния в другое точно в произвольный момент времениt равна нулю. Для описания переходов между состояниями случайного процесса с непрерывным временем вместо вероятностей переходов вводится параметр, называемый интенсивностью перехода.

Интенсивность перехода li j из состояния Si в состояние Sj

определяется как предел отношения вероятности Pi j (∆t) перехода за промежуток времени от t до t + Dt системы из Si в Sj к длине этого промежутка:

Так как вероятность P – величина безразмерная, то li j имеет размерность 1/с и физически равна среднему количеству переходов из состояния Si в состояние Sj, происходящих в единицу времени (в секунду).

14

Из (1.15) следует, что вероятность перехода за бесконечно малый промежуток времени ∆t равна li j ∆τ + o(∆τ). В дальнейшем будем предполагать, что в исследуемом случайном процессе вероятность двух и более переходов за время ∆t имеет порядок (∆t)2 и выше, т.е. предполагается бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем ∆t. Это свойство вероятностного процесса называется ординарностью.

Если интенсивности переходов постоянны и не зависят от того, в какой момент начинается промежуток t∆, то случайный процесс называется однородным. Если интенсивности представляют собой функции времениt, процесс называется неоднородным. В дальнейшем будем рассматривать только однородные процессы. Интенсивности переходов задаются в виде квадратной матрицы L.

Марков (старший) Андрей Андреевич (18561922) – русский математик, доктор физикоматематических наук, профессор, академик Петербургской академии наук. Работал профессором Петербургского университета, опубликовал около 70 работ по теории чисел, теории приближенных функций, дифференциальных уравнений, теории вероятностей. В цикле работ, опубликованных в 1906-1912 годах, заложил основы одной из общих схем естественных процессов, которая была названа процессами Маркова.

В 1907 г. А. А. Марков опубликовал работу, в которой определил и исследовал случайные процессы, известные сейчас как марковские. Он рассмотрел простую и очень полезную для практики форму зависимости между случайными величинами, образующими стохастический процесс.

Определяющим свойством марковских процессов является отсутствие последействия, которое означает, что для любого момента времени t вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный моментt и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Примером такого процесса является прогнозирование возможной протяжённости пути, который может пройти автомобиль

15

после того, как уже прошёл определённое расстояние. Главным фактором, определяющим длину этого пути, является, очевидно, текущий запас топлива в баке, а история его расходования, какое расстояние было при этом пройдено, за какое время, очевидно, не играет существенной роли (если, конечно, автомобиль остался к текущему моменту в исправном состоянии).

Примером же нарушения этого свойства может служить ситуация, когда один телефонный звонок определённому абоненту может повлечь за собой большое число звонков к другим абонентам. Иными словами, процесс может развиваться по принципу цепной реакции.

Аналитически это свойство для дискретного процесса может быть записано в виде (1.16):

P[(xt+1 = xj) |(x1 = xi1), …, (xt = xit)] = P[(xt+1 = xj)) |(xt = xit)], (1.16)

где xt – состояние процесса в момент t, xk – численное значение параметра, определяющее k-е состояние.

Рис. 1.2. Граф дискретного марковского процесса с непрерывным временем

Наглядным представлением дискретного марковского процесса с непрерывным временем является его граф– ориентированный граф G = (V, E), вершинами которого являются состояния процесса, а дуги соответствуют разрешенным переходам из Si в Sj в случае li j ¹ 0, снабженные весами, равными значениям интенсивностей переходов li j. Пример графа марковского процесса – на рис. 1.2.

Вероятностные свойства процесса задаются системой функций pj(t), j = 1,…, n – вероятностей того, что в момент t сиcтема будет находиться в состоянии Sj. При описании дискрет-

16

ного случайного процесса с непрерывным временем необходимо указать начальное распределение вероятностей – значения pj(0), j = 1,…, n вероятностей того, что в момент t = 0 система находится в состоянии Sj. При этом в любой момент t выполняется условие нормировки:

j=1

Распределение длительностей пребывания в данном со-

стоянии. Обозначим t = ti j – случайное время пребывания системы в некотором фиксированном состоянииSi перед её переходом в некоторое другое состояниеSj. Пусть известно, что до момента начала отсчёта система находилась в состоянииSi некоторое время z. Нас интересует, как долго система ещё пробудет в этом состоянии, и мы хотим узнать вероятность того, что это время пребывания будет не меньше некоторогоt. То есть надо найти условную вероятность P(t ≥ t + z | t ≥ z).

В силу отсутствия последействия, эта вероятность не зависит от z, а зависит только отt, т.е. является некоторой функцией h(t). По формуле условной вероятности получаем

h(t) = P(t ≥ t + z | t ≥ z) = P[(t ³ t + z) Ù (t ³ z)] = P(t ³ t + z) .

P(t ³ z) P(t ³ z)

Последнее равенство имеет место потому, что событие t ≥ z является следствием t ≥ t + z. Отсюда

P(t ≥ t + z) = P(t ≥ z)×h(t).

Найдём h(t). Поскольку при z = 0 P(t ≥ z) = P(t ≥ 0) = 1, то

По определению функции распределения F(t) случайной величины t

F(t) = P(t < t) = 1 – P(t ≥ t).

Следовательно, P(t ≥ t) = 1 – F(t) и по аналогии

P(t ≥ z) = 1 – F(z) , P(t ≥ t+z) = 1 – F(t+z).

Подставим полученные выражения в (1.18):

1 – F(t+z) = (1 – F(z))× (1 – F(t)) = 1 – F(t) – F(z) + F(z)× F(t).

17

Прибавим к обеим частям полученного равенстваF(t) – 1, поменяем знаки обеих частей и поделим на z:

F (t + z) - F (t) = F (z) [1 - F (t)]. z z

Устремим z к 0. Так как F(0) = P(t < 0) = 0, то при взятии предела

Остаётся выяснить теоретико-вероятностный смысл параметра m. Для этого с помощью F(t) определим предел отношения вероятности Pi j (x) перехода за промежуток времени отt до t + x системы из Si в Sj к длине этого промежутка. Согласно (1.15) этот предел равен интенсивности соответствующего перехода. Так как

Pi j(x) = P(t < x) = F(x), получим:

В последнем равенстве получаем неопределённость, которую раскроем по правилу Лопиталя:

Таким образом, длительность пребывания системы в определённом состоянии Si перед её переходом в некоторое иное состояние Sj имеет показательное распределение с параметром m = li j, который определяет интенсивность соответствующего перехода. Этот факт мы получили исходя только из условия отсут-

18

ствия последействия, значит, показательное распределение – единственное непрерывное распределение, удовлетворяющее этому условию.

Поскольку время пребывания системы в определённом состоянии совпадает с интервалами времени между соседними переходами из состояния в состояние, получаем следующую фундаментальную теорему.

Теорема 1.1. Для того чтобы дискретный случайный процесс с непрерывным временем был марковским, необходимо и достаточно, чтобы интервалы времени между соседними переходами из состояния в состояние были распределены по экспоненциальному закону.

Контрольные вопросы и задания

1.Что такое пространство состояний случайного процесса? Каким бывает это пространство и как по его типу различают случайные процессы?

2.Дайте формальное определение и поясните физический смысл понятия интенсивности переходов в случайном процессе и укажите её размерность.

3.Как называется процесс, в котором вероятность перехода из одного состояния в другое зависит только от состояния, в котором находится процесс в текущий момент?

4.Какое свойство марковского процесса является определяющим?

5.На рисунке изображён график изменения состояний случайного процесса во времени. К какому типу процессов он относится?

19

6.По какому закону должны быть распределены интервалы времени между соседними переходами, чтобы дискретный случайный процесс был марковским? Ответ обосновать.

7.В чём отличие дискретного случайного процесса от непрерывного?

8.Система представляется в виде технического устройства, которое имеет три узла. Для функционирования устройства достаточно, чтобы работал хотя бы один узел. Система может находиться в следующих четырех состояниях:

- e1 – все узлы системы работают исправно;

- e2 – только один узел системы вышел из строя и подлежит восстановлению;

- e3 – два узла системы вышли из строя и восстанавливаются;

- e4 – все три узла системы вышли из строя и восстанавливаются.

Интерпретируя функционирование устройства как марковский процесс, построить его граф.

1.3. Уравнения Колмогорова

Колмогоров Андрей Николаевич(1903 – 1987) –

советский математик, один из крупнейших математиков XX века. Один из основоположников современной теории вероятностей, им получены фундаментальные результаты о-т пологии, математической логики, механики, теории сложности алгоритмов, теории информации, теории множеств, теории динамических систем, функционального анализа и ряде других областей математики и её ипрложений.

Система уравнений А. Н. Колмогорова позволяет при заданных начальных вероятностях pj(0), j = 1,…, n для любого интервала времени t вычислить вероятности pj(t) того, что по прошествии времени t система будет находиться в состоянии Sj.

Обозначим Г + (Si) и Г – (Si) – множества вершин графа марковского процесса, смежных с Si и таких, что

" r Î Г + ( Si ) $ ( r, Si ) Î E,

20