Исследование и моделирование информационных процессов и систем. Учебное пособие

" q Î Г - ( Si ) $ (Si , q ) Î E.

Иными словами, Г + (Si) – это множество начальных вершин дуг, входящих в Si, а Г – (Si) – множество конечных вершин дуг, выходящих из Si.

Теорема 1.2. Для дискретного марковского процесса с непрерывным временем функции pi (t), i = 1, ..., n удовлетворяют системе линейных дифференциальных уравнений А. Н. Колмогорова:

что за отрезок времени [t1, t2] система перешла из состояния Si в Sj. Найдем при некотором маломh вероятность pi(t + h). Очевидно, что оказаться в момент t + h в состоянии Si система может:

- либо если в момент t она была в состоянии Si и в нем же оставалась в течение времени [t, t + h] (это могло произойти с вероятностью P i i (t, t + h)),

- либо в момент t она была в каком-то из состояний Sj, j Î Г + (Si), а в течение времени [t, t + h] перешла в Si (это могло произойти с вероятностью P i j (t, t + h)).

В силу малости интервала [t, t + h] вероятность многократной смены состояний за времяh является бесконечно малой величиной o(h) (см. комментарии к формуле (1.15)

Отсюда по формуле полной вероятности получим:

pi(t + h)=pi (t) P i i (t, t + h) + å p j(t) Pji (t, t + h) + o(h). (1.20)

jÎG+ ( Si )

Очевидно, что, находясь в состоянии Si, процесс в любой следующий момент может либо остаться в нем, либо перейти в какое-либо из состояний Sk, kÎ Г – (Si). Следовательно,

Pii (t, t + h) + å Pi k (t,t + h) = 1,

kÎG- (Si )

21

отсюда

pi (t + h)=pi (t) – pi (t)× å li k (t)h + å pj (t)lji (t)h + o(h).

kÎG- ( Si ) jÎG+ (Si )

Далее перенесём pi(t) налево, поделим уравнение на h и перейдём к пределу при h ® 0. Получим искомое уравнение Колмогорова. Теорема доказана.

Отметим одно свойство системы (1.19). Член pi(t)li k(t) входит со знаком “–” в уравнение, соответствующее производной

dpi , как вес ребра, иcходящего из Si, и со знаком “+” – в уравне- dt

ние, соответствующее производной dpk , как вес ребра, входяще- dt

го в Sk. Для наглядности запишем это уравнение:

Это означает, что, сложив все уравнения (1.19), получим, что сумма их правых частей (а, следовательно, и левых) равна 0.

Для нестационарного режима это означает, что в любой момент времени выполняется равенство åpj(t) = åpj(0) = const, и если в начальный момент сумма вероятностей равна 1, то это будет выполняться при всех t.

В теории случайных процессов доказывается, что если число n состояний системы конечно и из каждого из них можно за конечное число шагов перейти в любое другое, то существуют финальные (установившиеся, стационарные) вероятности pj(¥). Необходимым условием их существования является постоянство интенсивностей li j(¥) = li j. Для построения модели стационар-

22

ного режима марковского процесса положим все производные в системе (1.19) равными нулю. В результате получим систему алгебраических уравнений

В силу свойства уравнений(1.19), данная алгебраическая система вырождена, т.к. сумма правых частей равна нулю. Чтобы получить невырожденную систему необходимо любое из уравнений (1.23) заменить условием нормировки: åpj = 1. Полученная система уравнений будет моделью стационарного режима дискретного марковского процесса с непрерывным временем.

1.4. Простейший случайный поток

Рассмотрим один важный класс дискретных случайных процессов с непрерывным временем, называемых случайными потоками.

Случайный поток – последовательность некоторых событий, моменты наступления которых случайны. Если поток отождествлять со случайным процессом, то номером его состояния можно считать количество наступивших событий.

Поток называется однородным, если все события в нём равноценны, т.е. он характеризуется только моментами наступления этих событий t1, … tn, ….

Однородный случайный поток называетсяпростейшим, если он обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия. Эти свойства были рассмотрены в п. 1.2. Таким образом, простейший поток является частным случаем марковского процесса. Отсюда сразу же можно сделать вывод, что длительность ожидания наступления следующего события в простейшем потоке распределена по показательному закону: F(t) = 1– e–lt, где l – параметр потока, называемый его интенсивностью. В начальный момент, когда не наступило ещё ни одно событие, процесс, очевидно, с вероятностью 1 находится в 0-м

состоянии. Граф состояний потока имеет следующий вид

(рис. 1.3).

23

Рис. 1.3 Граф состояний простейшего потока

Простейший поток обладает рядом важных свойств. Наиболее важное из них – аддитивность. Она формулируется так: сумма простейших потоков с интенсивностямиl1 и l2 снова является простейшим потоком с интенсивностью l1 + l2. Например, если заявки от двух разных независимых источников представляют собой простейшие потоки, и оба поступают на общий вход системы, то общий поток заявок, поступающих на вход, равен сумме этих потоков.

Доказательство. Пусть t1 и t2 – случайное время ожидания очередного события в1-м и 2-м потоках, соответственно, t12 – время ожидания очередного события в суммарном потоке. Очевидно, что очередное событие в суммарном потоке совпадёт с событием того исходного потока, в котором это событие наступит раньше. Это означает, что t12 = min{t1, t2}, т.е. длительность ожидания очередного события в суммарном потоке равно минимальному из двух исходных длительностей. Отсюда

P(t12 ≥ x) = P(t1 ≥ x)× P(t2 ≥ x),

т.к. событие (t12 ≥ x) наступит, если только наступят и (t1 ≥ x), и (t2 ≥ x). Но P(tj ≥ x) = 1 – Fj(x) = e-l j x . Следовательно,

P(t12 ≥ x) = e-l1x × e-l2 x = e-(l1 +l2 ) x ,

а отсюда F12(x) = 1 – e-(l1 +l2 ) x , что и требовалось доказать.

Контрольные вопросы и задания

1.Что означает понятие "стационарная вероятность состояния случайного процесса"?

2.Какой поток называется простейшим?

3.Всегда ли задача Коши для системы уравнений Колмогорова имеет решения pj(t), сумма которых равна 1?

24

4.Состояние случайного процесса называется невозвратным, если система, покинув это состояние, не сможет в него вернуться. Есть ли в случайном потоке невозвратные состояния? Если да, то какие именно?

5.Напишите систему уравнений Колмогорова для -про стейшего потока. Каким начальным условиям эта система удовлетворяет?

1.5.Примеры аналитических моделей однофазных СМО

Одноканальная СМО без накопителя. Рассмотрим про-

стейшую одноканальную систему массового обслуживания без накопителя с отказами, в которую поступает случайный поток заявок, задерживаемых в приборе на случайное время (рис. 1.4).

Рис. 1.4 Схема одноканальной СМО без накопителя

Предположения и допущения.

1.Поступающие в систему заявки образуют простейший поток с интенсивностью λ.

2.Длительность обслуживания заявок в приборе образуют простейший поток с интенсивностью µ.

3.Дисциплина буферизации – с отказами: заявка, поступившая в систему и заставшая прибор занятым обслуживанием другой заявки, теряется.

4.Дисциплина обслуживания – в естественном порядке: заявка, поступившая в систему и заставшая прибор свободным, принимается на обслуживание.

Рис. 1.5. Граф состояний одноканальной СМО без накопителя

25

В качестве параметра, описывающего состояние случайного процесса, будем рассматривать количество заявокk, находящихся в СМО. Очевидно, что система в любой момент времени может находиться в одном из двух состояний:

S0: 0 = k – в системе нет заявок (прибор простаивает);

S1: 1 = k – в системе (на обслуживании в приборе) находится 1 заявка (прибор работает).

Граф состояний имеет вид, как на рис. 1.5.

Система дифференциальных уравнений Колмогорова для данной системы имеет вид

ìïdp0 = -l p0 + m p1 ïí dt

ïdp1 = l p0 - m p1 .

ïî dt

Для построения модели стационарного режима СМО положим все производные в системе равными нулю. Так как при этом получатся два одинаковых уравнения, то система будет вырожденной. Заменим второе уравнение условием нормировки. В результате получим систему алгебраических уравнений

Полученная система имеет решение:

где λ/m = r – нагрузка системы.

Расчет характеристик СМО. Для расчета характеристик СМО можно воспользоваться следующими математическими зависимостями, вытекающими из уравнений (1.1) – (1.14).

1)Нагрузка: r = λ /m = λb (по определению).

2)Загрузка определяется как вероятность работы прибора: kp

=p1 и не совпадает с нагрузкой даже в случае r < 1, что характерно для систем с отказами и потерями заявок, причём всегда kp < ρ.

3)Коэффициент простоя системы определяется как вероятность отсутствия заявок в системе или по определению через

загрузку системы: kп = 1 – kp = p0.

26

4) Среднее число заявок v в системе, определяемое как математическое ожидание случайной величины: в системе может находиться 0 или 1 заявка и v = 0×p0+1×p1 = p1.

5) Вероятность потери заявок в результате отказа в обслуживании из-за занятости прибора в соответствии с (1.10) совпадает с вероятностью того, что система занята обслуживанием других заявок:

ожидать, равно средней длительности обслуживания заявок.

Многоканальная система с ограничением на длину очереди. В систему, содержащую n обслуживающих каналов, поступает простейший поток заявок интенсивностиl. Если заявка поступает в момент, когда канал обслуживания свободен, а накопитель пуст, то СМО приступает к обслуживанию заявки. Если заявка поступает в момент обслуживания, то заявка становится в очередь и помещается в ячейку накопителя. Если все ячейки заняты, заявка покидает систему необслуженной. Как только закончится обслуживание заявки, система приступает к обслуживанию заявки из накопителя, ячейка при этом освобождается. Если после окончания обслуживания накопитель пуст, то СМО

27

переходит в состояние ожидания. Поток обслуженных заявок также является простейшим с интенсивностью m.

На основании свойства аддитивности простейшего потока интенсивность обслуживания заявок k параллельно работающими каналами равна km. Иными словами, если в данный момент загружено k каналов, то интенсивность освобождения одного занятого канала равна km (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Граф состояний СМО с ограничением на длину очереди

Пример 1.1. Пусть m = 3; n = 2, т.е. система имеет 2 обслуживающих канала и накопитель с 3 ячейками:

Граф состояний представлен на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Граф состояний СМО с ограничением на длину очереди при m = 3, n = 2

Система дифференциальных уравнений Колмогорова для данной СМО имеет вид(1.24). Для построения модели стационарного режима СМО положим все производные в системе(1.24) равными нулю. В результате получим систему алгебраических

28

уравнений. Для того чтобы система не была вырожденной, заменим в ней последнее уравнение условием нормировки åPj = 1:

ïdt = l P1 - (l + 2m ) P 2 + 2 m P 3

í

ïdP3 = l P2 - (l + 2m ) P 3 + 2m P 4

ïdtï 2

.

По найденным Рi вычислены следующие значения основных и вспомогательных характеристик СМО:

29

Полностью документ MathCAD решения системы (1.25) приведён в приложении 1.

Контрольные вопросы и задания

1.В одноканальной СМО без накопителя вероятность потери заявок совпадает с p1 – вероятностью того, что в системе находится ровно одна заявка. Чем обусловлено такое совпадение?

2.В одноканальной СМО без накопителя среднее время пребывания заявок в системе равно средней длительности обслуживания заявок. Чем обусловлено такое совпадение? В каких СМО такого совпадения не будет?

3.Поясните значения весов дуг графа на рис. 1.7. В частности, почему все дуги, направленные справа налево, кроме дуги

(1, 0), имеют интенсивности 2m?

4. Поясните, почему в СМО примера 1.1 невозможен переход из состояния S5 в S3, когда две заявки одновременно заканчивают обслуживаться.

5. Написать с пояснениями и обоснованием расчётные формулы для вычисления характеристик (1.26).

1.6. Модели сетей массового обслуживания (СеМО)

Мы рассмотрели способ построения модели прибора наиболее общего типа – прибор с ожиданием и несколькими параллельно работающими каналами обслуживания. Однако СМО, как правило, состоят из нескольких приборов, связанных между собой, т.е. образуется сеть массового обслуживания(СеМО). Рассмотрим алгоритм построения графа состояний СеМО на типичном примере.

Пример 1.2. Пусть имеем два прибора, соединённых последовательно, т.е. двухфазную СМО.

Сложность составления графа состояний сети в том, что если состояние отдельного прибора полностью определяется чис-

30