Информационные технологии при управлении системами массового обслуживания. Учебно-методическое пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ АСТРАХАНСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

АСТРАХАНСКОЙ ОБЛАСТИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «АСТРАХАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АРХИТЕКТУРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРИ УПРАВЛЕНИИ СИСТЕМАМИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Электронное учебно-методическое пособие

©И. В. Аксютина, составление, 2021

©ГАОУ АО ВО «Астраханский государственный архитектурно-строительный университет»

ISBN 978-5-93026-130-1

Об издании: 1, 2

2

УДК 004; 519.653 (086.76) ББК 22.17я73

И741

Рекомендован к изданию редакционно-издательским советом Астраханского государственного архитектурно-строительного университета

Составитель

Аксютина Ирина Владимировна,

доцент кафедры систем автоматизированного проектирования и моделирования Астраханского государственного архитектурно-строительного университета

Рецензенты:

доктор технических наук, профессор кафедры «Информационная безопасность»

Астраханского государственного технического университета

Г. А. Попов;

доктор технических наук, декан факультета цифровых технологий и кибербезопасности, профессор

кафедры информационной безопасности и цифровых технологий Астраханского государственного университета

И. М. Ажмухамедов

Информационные технологии при управлении системами массового обслуживания [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие / сост. И. В. Аксютина. – Электрон. текстовые данные (1,07 Мб). – Астрахань : Астраханский государственный архитектурно-строительный университет, 2021. – 1 опт. диск (CD-R).

Изложены элементарные сведения по теории систем массового обслуживания, знание которых необходимо любому экономисту, занимающемуся вопросами оптимальной организации производства и услуг в любой области народного хозяйства и промышленности.

Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки, входящих в укрупненную группу 38.00.00 «Экономика и управление» и рекомендовано в качестве одного из источников для изучения данного материала, а также самостоятельной работы студентов» при их подготовке к контрольным работам, прохождению тестирования и сдаче зачета и экзамена. Кроме того, данное пособие может быть интересно для студентов других направлений подготовки, желающих самостоятельно получить практический опыт в решении вероятностных задач.

ISBN 978-5-93026-130-1

Минимальные системные требования для воспроизведения электронного издания:

Процессор с тактовой частотой 1,5 ГГц и выше, Windows 7 SP1/8, 8.1/10, 1 ГБ ОЗУ, 380 МБ свободного пространства на жестком диске; программа для чтения файлов формата PDF, наличие CD\DVD-привода.

©И. В. Аксютина, составление

©ГАОУ АО ВО «Астраханский государственный архитектурно-строительный университет»

ДАЛЕЕ

3

Редактирование и техническая правка

П. С. Нетудыхатко, С. С. Кострыкиной

Подготовлено к изданию 28.04.2021 г.

Астраханский государственный архитектурно-строительный университет 414056, г. Астрахань, ул. Татищева, 18 Тел./факс: (8512) 49-42-15

Е-mail: iic@aucu.ru

Заказ № 4362 Тираж 200 экз. (первый завод – 10 экз.)

Записано на материальный носитель в Астраханском государственном

архитектурно-строительном университете (Информационно-издательский центр) 414056, г. Астрахань, ул. Татищева,18 Тел./факс: (8512) 66-72-24; 66-72-26

Е-mail: iic@aucu/ru

4

5

ВВЕДЕНИЕ

За последние десятилетия в самых разных областях практики возникла необходимость в решении своеобразных вероятностных задач, связанных с работой так называемых систем массового обслуживания. Примерами таких систем могут служить банки, телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, парикмахерские и т. п. Каждая система состоит из какого-то числа обслуживающих единиц, которые будем называть «каналами» обслуживания. В качестве каналов могут фигурировать линии связи; лица, выполняющие те ли иные операции; различные приборы и т. п. Системы массового обслуживания могут быть как одно-, так и многоканальными.

Работа любой системы массового обслуживания связана с выполнением поступающего на нее потока требований или заявок. Заявки следуют одна за другой в некоторые, вообще говоря, случайные моменты времени. Обслуживание поступившей заявки продолжается какое-то время, после чего канал освобождается и снова готов для приема очередной заявки. Каждая система массового обслуживания в зависимости от числа каналов и их производительности обладает какой-то пропускной способностью, позволяющей ей более или менее успешно справляться с потоком заявок. Предмет теории массового обслуживания – установление зависимости между характером потока заявок, производительностью отдельного канала, числом каналов и успешностью (эффективностью) обслуживания. В качестве характеристик эффективности обслуживания – в зависимости от условий задачи

ицелей исследования – могут применяться различные величины и функции. Например, средний процент заявок, получающих отказ и покидающих систему необслуженными; среднее время «простоя» отдельных каналов и системы в целом; ожидания в очереди; вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию; длина очереди и т. д. Каждая из этих характеристик описывает степень приспособленность системы к выполнению потока заявок, иными словами – ее пропускную способность.

Под пропускной способностью в узком смысле слова обычно понимают среднее число заявок, которое система может обслужить в единицу времени. Наряду с нею часто рассматривают относительную пропускную способность – среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поданных. Пропускная способность (как абсолютная, так и относительная) в общем случае зависит не только от параметров системы, но и от характера потока заявок. Если бы заявки поступали регулярно, через точно определенные промежутки времени, и обслуживание каждой заявки тоже имело строго определенную длительность, расчет пропускной способности системы не представлял бы никакой трудности. На практике обычно моменты поступления заявок случайны, как и длительность обслуживания заявки. В связи с этим процесс работы системы протекает нерегулярно: в потоке заявок образуются местные сгущения

иразрежения. На рисунке 1 приведены случайные значения интервалов поступления заявок при среднем интервале следования заявок, составляющем 60 секунд и при показательном законе распределение интервалов следования.

6

Рис. 1. Случайные значения интервалов следования заявок при показательном законе распределения интервалов следования; реализации 0 и 1 – разряжение в следовании заявок; реализации 13 и 14 – сгущение в следовании заявок

Сгущения могут привести к отказам в обслуживании либо образованию очередей, разрежения – к непроизводительным простоям отдельных каналов или системы в целом. На эти случайности, связанные с неоднородностью потока заявок, накладываются еще случайности, связанные с задержками обслуживания отдельных заявок. Таким образом, процесс функционирования системы массового обслуживания представляет собой случайный процесс. Чтобы дать рекомендации по рациональной организации системы, выяснить ее пропускную способность и предъявить к ней требования, необходимо изучить случайный процесс, протекающий в системе, и описать его математически. Этим и занимается теория массового обслуживания.

Заметим, что за последние годы область применения математических методов теории массового обслуживания непрерывно расширяется и все больше выходит за пределы задач, связанных с «обслуживающими организациями» в буквальном смысле слова. Многие задачи автоматизации производства оказываются близкими к теории массового обслуживания: потоки деталей, поступающих для выполнения над ними различных операций, могут рассматриваться как «потоки заявок», ритмичность поступления которых нарушается за счет случайных причин. Своеобразные задачи теории массового обслуживания возникают в связи с проблемой организации транспорта и системы сообщений. Близкими к теории массового обслуживания оказываются

изадачи, относящиеся к надежности технических устройств: характеристики, среднее время безотказной работы, потребное количество запасных деталей, среднее время простоя в связи с ремонтом и т. д., определяются методами, непосредственно заимствованными из теории массового обслуживания.

Трудно даже перечислить все области практики, в которых находят применение методы теории массового обслуживания. За последние годы она стала одной из самых быстро развивающихся ветвей теории вероятностей.

Внастоящем пособии изложены элементарные сведения по теории систем массового обслуживания, знание которых необходимо любому экономисту, занимающемуся вопросами оптимальной организации производства

иуслуг в любой области народного хозяйства и промышленности.

7

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

1.1. Случайный процесс со счетным множеством состояний

Случайный процесс, протекающий в системе массового обслуживания, состоит в том, что система в случайные моменты времени переходит из одного состояния в другое: меняется число занятых каналов, заявок, стоящих в очереди, и т. п. Система массового обслуживания представляет собой физическую систему дискретного типа с конечным (или счетным) множеством состояний. В математике «счетным» называется конечное или бесконечное множество, члены которого можно перенумеровать, т. е. записать в виде последовательности а1, а2, а3,…аk,… Переход системы из одного состояния в другое происходит скачком, в момент, когда осуществляется какоето событие (приход новой заявки, освобождение канала, уход заявки из очереди и т. п.).

Рассмотрим физическую систему Х со счетным множеством состоя-

ний x1, x2, x3,…xn (рис. 2).

В любой момент времени t система X может быть в одном из этих состояний. Обозначим pk(t) (k = 1, 2, ..., n,...) вероятность того, что в момент t система будет находиться в состоянии хk. Очевидно, для любого t

(1)

Совокупность вероятностей pk(t) для каждого момента времени t характеризует данное сечение случайного процесса, протекающего в системе. Эта совокупность не является исчерпывающей характеристикой процесса (она, например, совсем не отражает зависимости между сечениями), но все же достаточно хорошо описывает процесс и для ряда практических применений оказывается достаточной.

Случайные процессы со счетным множеством состояний бывают двух типов: с дискретным или непрерывным временем. Первые отличаются тем, что переходы из состояния в состояние могут происходить только в строго определенные, разделенные конечными интервалами моменты времени t1 t2,

...tk. Случайные процессы с непрерывным временем заключаются в том, переход системы из состояния в состояние возможен в любой момент времени t.

Для n-канальной системы такого же типа схема возможных переходов показана на рисунке 2. Состояние х0 – все каналы свободны; х1 – занят ровно один канал, х2 – занято ровно два канала и т. д.

Рис. 2. Схема возможных переходов в многоканальной системе

8

Для того чтобы описать случайный процесс, протекающий в дискретной системе с непрерывным временем, прежде всего нужно проанализировать причины, вызывающие переход системы из состояния в состояние. Для системы массового обслуживания основным фактором, обусловливающим протекающие в ней процессы, является поток заявок. Поэтому математическое описание любой системы массового обслуживания начинается с описания потока заявок.

1.2. Поток событий. Простейший поток и его свойства

Под потоком событий в теории вероятностей понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени. Примерами могут служить потоки вызовов на телефонной станции; включений приборов в бытовой электросети; заказных писем, поступающих в почтовое отделение; сбоев (неисправностей) электронной вычислительной машины; выстрелов, направляемых на цель во время обстрела, и т. п. События, образующие поток, в общем случае могут быть различными, но мы будем рассматривать лишь поток однородных событий, оличающихся только моментами появления. Такой поток можно изобразить как последовательность точек t1, t2, ..., tк ... на числовой оси (рис. 3), соответствующих моментам появления событий.

Рис. 3. Случайный поток событий

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается в реальных системах, но представляет интерес как предельный случай. Типичным для системы массового обслуживания является случайный поток заявок.

Рассмотрим потоки событий, обладающие простыми свойствами. Для этого введем ряд определений.

1.Поток событий называется стационарным, если вероятность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной (см. рис. 3) зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси Qt расположен этот участок. Иными словами, это можно охарактеризовать следующим образом – средняя интенсивность потока событий должна быть постоянной величиной, то есть не зависеть от времени.

2.Поток событий называется потоком без последействия, если для любых неперекрывающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

9

3.Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок t двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Если поток событий обладает всеми тремя свойствами (т. е. стационарен, ординарен и не имеет последействия), то он называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Название «пуассоновский» связано с тем, что при соблюдении условий 1–3 число событий, попадающих на любой фиксированный интервал времени, будет распределено по закону Пуассона.

Теперь подробнее остановимся на условиях 1–3. Посмотрим, чему они соответствуют для потока заявок и за счет чего могут нарушаться.

1.Условию стационарности удовлетворяет поток заявок, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. В частности, для стационарного потока характерна постоянная плотность (среднее число заявок

вединицу времени). На практике часто встречаются потоки заявок, которые (по крайней мере, на ограниченном отрезке времени) могут рассматриваться как стационарные. Например, поток вызовов на городской телефонной станции на участке времени от 12 до 13 часов может считаться стационарным. Тот же поток в течение целых суток уже не может считаться стационарным (ночью плотность вызовов значительно меньше, чем днем). Заметим, что так обстоит дело и со всеми физическими процессами, которые называем «стационарными»: в действительности все они стационарны лишь на ограниченном участке времени, а распространение этого участка до бесконечности – лишь удобный прием, применяемый в целях упрощения анализа. При решении многих задач теории массового обслуживания особое внимание уделяется анализу работы системы при постоянных условиях (находим значения для стационарного потока заявок).

2.Условие отсутствия последействия – наиболее существенное для простейшего потока – означает, что заявки поступают в систему независимо друг от друга. Например, поток пассажиров, входящих на станцию метро, можно считать потоком без последействия, потому что причины, обусловившие приход отдельного пассажира именно в тот, а не другой момент, как правило, не связаны с аналогичными причинами для других пассажиров. Однако условие отсутствия последействия может быть легко нарушено за счет появления такой зависимости. Например, поток пассажиров, покидающих станцию метро, уже не может считаться потоком без последействия, так как моменты выхода пассажиров, прибывших одним и тем же поездом, зависимы между собой.

Вообще нужно заметить, что выходной поток (или поток обслуженных заявок), покидающий систему массового обслуживания, обычно имеет последействие, даже если у входного его нет. Чтобы убедиться к этом, рассмотрим одноканальную систему, для которой время обслуживания одной

10