Информационные технологии при управлении системами массового обслуживания. Учебно-методическое пособие

Пренебрегая малыми величинами высших порядков в разложение экспоненты, имеем

−(+)∆ ≈ 1 − ( + )∆ ,

откуда

( ) ≈ ( )[1 − ( + )∆ ].

Аналогично,

( ) ≈ −1( ) ∆ ;

( ) ≈ +1( )( + 1) ∆

и

( + ∆ ) ≈ ( )[1 − ( + )∆ ] + −1( ) ∆ + +1( )( + 1) ∆ .

Отсюда получаем дифференциальное уравнение для pk(t) (0 < k < < n):

( ) = −1( ) − ( + ) ( ) + ( + 1) +1( ).

Составим уравнение для последней вероятности pn(t) (рис. 20б). Имеем

( + ∆ ) ≈ ( )[1 − ( + )∆ ] + −1( ) ∆ ,

где (1 – n t) – вероятность того, что за время t не освободится ни один канал; t – вероятность того, что за время t придет одна заявка. Получаем дифференциальное уравнение для pn(t):

( ) = −1( ) − ( ).

Таким образом, получена система дифференциальных уравнений для вероятностей p0(t), p1(t), ..., pn(t):

Уравнения (42) называются дифференциальными уравнениями состояний Колмогорова. Интегрирование системы уравнений (42) при начальных условиях

р0(0) = 1; р1(0) = = р (0) = 0

(в начальный момент все каналы свободны) дает зависимость рk(t) для любого k. Вероятности pk(t) характеризуют среднюю загрузку системы и ее изменение с течением времени. В частности, pn(t) – вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, застанет все каналы занятыми и, следовательно, получит отказ:

отк = ( ).

Величина q(t) = 1- pn (t) называется относительной пропускной спо-

собностью системы. Для данного момента t – отношение среднего числа обслуженных за единицу времени заявок к среднему числу поданных.

Система линейных дифференциальных уравнений (42) может быть проинтегрирована при любом конкретном числе каналов n.

31

Заметим, что при выводе уравнений (42) мы нигде не пользовались допущением о том, что величины и (плотности потока заявок и «потока освобождений») постоянны. Поэтому уравнения (42) остаются справедливыми и для зависящих от времени (t), (t), лишь бы потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, оставались пуассоновскими (без этого процесс не будет марковским).

1.9. Установившийся режим обслуживания. Формулы Эрланга

Рассмотрим n-канальную систему массового обслуживания с отказами, на вход которой поступает простейший поток заявок с плотностью ; время обслуживания показательное, с параметром . Возникает вопрос: будет ли стационарным случайный процесс, протекающий в системе? Очевидно, что вначале, сразу после включения системы в работу, протекающий в ней процесс еще не будет стационарным: в системе массового обслуживания (как и в любой динамической системе) возникнет так называемый «переходный», нестационарный процесс. Однако спустя некоторое время этот переходный процесс затихнет, и система перейдет на стационарный, так называемый «установившийся» режим, вероятностные характеристики которого уже не будут зависеть от времени.

Во многих задачах практики нас интересуют именно характеристики предельного установившегося режима обслуживания.

Можно доказать, что для любой системы с отказами такой предельный режим существует, т. е. при t → все вероятности p0(t), р1(t), p2(t), ... , pnt) стремятся к постоянным пределам р0, p1,.., рn а все их производные – к нулю.

Чтобы найти предельные вероятности р0, p1,.., рn (вероятности состояний системы в установившемся режиме), заменим в уравнениях (4.8) все вероятности pkt) (0 <к < n) их пределами рk, а все производные положим равными нулю. Получим систему уже не дифференциальных, а алгебраических уравнений:

=0

Разрешим систему (43) относительно неизвестных р0, p1,.., рn. Из первого уравнения имеем

32

и назовем величину приведенной плотностью потока заявок. Это ни что иное, как среднее число заявок, приходящееся на среднее время обслуживания одной заявки.

Действительно, где mtоб = M(Tоб) – среднее время обслуживания одной заявки. В новых обозначениях формула (47) примет вид

Формула (49) выражает все вероятности рk через р0. Чтобы выразить их непосредственно через , воспользуемся условием (44). Подставив в него (49), получим

=0 !

Формулы (51) называются формулами Эрланга. Они дают предельный закон распределения числа занятых каналов в зависимости от характеристик потока заявок и производительности системы обслуживания. Полагая в формуле (51) k = n, получим вероятность отказа (вероятность того, что поступившая заявка найдет все каналы занятыми):

=0 !

В частности, для одноканальной системы (n = 1)

33

а относительная пропускная способность

Формулы Эрланга (51) и их следствия (52)–(54) выведены для случая показательного распределения времени обслуживания. Однако проведенные исследования показали, что эти формулы остаются справедливыми и при любом законе распределения времени обслуживания, лишь бы входной поток был простейшим.

Пример 1. Автоматическая телефонная станция имеет 4 линии связи. На станцию поступает простейший поток заявок с плотностью = 3 (вызова в минуту). Вызов, поступивший в момент, когда все линии заняты, получает отказ. Предполагается, что вторичные вызовы абонентов, получивших отказ, не нарушают пуассоновского характера потока заявок. Средняя длительность разговора 2 минуты. Найти: а) вероятность отказа; б) среднюю долю времени, в течение которой телефонная станция вообще не загружена.

Решение. Имеем mtоб = 2 (мин.), тогда интенсивность потока освобождений = 1/ mtоб равна

Несмотря на то, что формулы Эрланга в точности справедливы только при простейшем потоке заявок, ими можно с известным приближением пользоваться и в случае, когда поток заявок отличается от простейшего (например, является стационарным потоком с ограниченным последействием). Расчеты показывают, что замена произвольного стационарного потока с не очень большим последействием простейшим потоком той же плотности , как правило, мало влияет на характеристики пропускной способности системы.

Наконец, можно заметить, что формулами Эрланга можно приближенно пользоваться и в случае, когда система массового обслуживания допускает ожидание заявки в очереди, но когда срок ожидания мал по сравнению со средним временем обслуживания одной заявки.

Пример 2. Станция наведения истребителей имеет 3 канала. Каждый канал может одновременно наводить один истребитель на одну цель. Среднее время наведения истребителя на цель mtоб = 2 мин. Поток целей простейший, с плотностью = 1,5 (самолетов в минуту). Станцию можно считать «системой с отказами», так как цель, по которой наведение не началось в

34

момент, когда она вошла в зону действия истребителей, вообще остается не атакованной. Найти среднюю долю целей, проходящих через зону действия не обстрелянными.

Решение. Имеем

= 12 ; = 1,5; = = 3.

По формуле (52)

Вероятность отказа 0,346; она же выражает среднюю долю необстрелянных целей.

Заметим, что в данном примере плотность потока целей выбрана такой, что при их регулярном следовании одна за другой через определенные интервалы и при точно фиксированном времени наведения Тоб = 2 мин. номинальная пропускная способность системы достаточна для того, чтобы обстрелять все без исключения цели. Снижение пропускной способности происходит из-за наличия случайных сгущений и разрежений в потоке целей, которые нельзя предвидеть заранее.

1.10. Система массового обслуживания с ожиданием

Система массового обслуживания называется системой с ожиданием, если заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал.

Если время ожидания заявки в очереди ничем не ограничено, то система называется «чистой системой с ожиданием». Если оно ограничено ка- кими-то условиями, то – «системой смешанного типа». Это промежуточный случай между чистой системой с отказами и чистой системой с ожиданием.

Для практики наибольший интерес представляют именно системы смешанного типа.

Ограничения, наложенные на ожидание, могут быть различного типа. Часто бывает, что ограничение накладывается на время ожидания заявки в очереди. Считается, что оно ограничено сверху каким-то сроком Тож, который может быть как строго определенным, так и случайным. При этом ограничивается только сроком ожидания в очереди, а начатое обслуживание доводится до конца независимо от того, сколько времени продолжалось ожидание (например, клиент в парикмахерской, сев в кресло, обычно уже не уходит до конца обслуживания). В других задачах естественнее наложить ограничение не на время ожидания в очереди, а на общее время пребывания заявки в системе (например, воздушная цель может пробыть в зоне стрельбы лишь ограниченное время и покидает ее независимо от того, кончился обстрел или нет). Наконец, можно рассмотреть и такую смешанную систему (она ближе всего к типу торговых предприятий, торгующих предметами не

35

первой необходимости), когда заявка становится в очередь только в том случае, если длина очереди не слишком велика. Здесь ограничение накладывается на число заявок в очереди.

В системах с ожиданием существенную роль играет так называемая «дисциплина очереди». Ожидающие заявки могут вызываться на обслуживание как в порядке очереди (раньше прибывший раньше и обслуживается), так и в случайном, неорганизованном порядке. Существуют системы массового обслуживания «с преимуществами», где некоторые заявки обслуживаются предпочтительно перед другими («генералы и полковники вне очереди»).

Каждый тип системы с ожиданием имеет свои особенности и математическую теорию. Многие из них описаны, например, в книге Б. В. Гнеденко «Лекции по теории массового обслуживания».

Здесь остановимся только на простейшем случае смешанной системы, являющемся естественным обобщением задачи Эрланга для системы с отказами. Для этого случая выведем дифференциальные уравнения, аналогичные уравнениям Эрланга, и формулы для вероятностей состояний в установившемся режиме, аналогичные формулам Эрланга.

Рассмотрим смешанную систему массового обслуживания X с n каналами при следующих условиях. На вход системы поступает простейший поток заявок с плотностью . Время обслуживания одной заявки Тоб показательное, с параметром

= 1 .

об

Заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания. время ожидания ограничено некоторым сроком Тож; если до истечения этого срока заявка не будет принята к обслуживанию, то она покидает очередь и остается необслуженной. Срок ожидания Тож будем считать случайным и распределенным по показательному закону

( ) = − 1 ,

ож

где параметр – величина, обратная среднему сроку ожидания:

= 1 .

ож

Параметр полностью аналогичен параметрам и потока заявок и «потока освобождений». Его можно интерпретировать как плотность «потока уходов» заявки, стоящей в очереди. Представим себе заявку, которая только и делает, что становится в очередь и ждет в ней, пока не кончится срок ожидания Тож, после чего уходит и сразу же снова становится в очередь. Тогда «поток уходов» такой заявки из очереди будет иметь плотность .

Очевидно, при → система смешанного типа превращается в чистую систему с отказами; при → 0 – в чистую систему с ожиданием.

Заметим, что при показательном законе распределения срока ожидания пропускная способность системы не зависит от того, обслуживаются ли заявки в порядке очереди или в случайном порядке: для каждой заявки закон

36

распределения оставшегося времени ожидания не зависит от того, сколько времени заявка уже стояла в очереди.

Благодаря допущению о пуассоновском характере всех потоков событий, приводящих к изменениям состояний системы, процесс, протекающий в ней, будет марковским. Напишем уравнения для вероятностей состояний системы. Для этого перечислим эти состояния. Будем их нумеровать не по числу занятых каналов, а по числу связанных с системой заявок. Заявку будем называть «связанной с системой», если она находится в состоянии обслуживания либо ожидает очереди. Возможные состояния системы будут:

•х0 – ни один канал не занят (очереди нет),

•х1 – занят ровно один канал (очереди нет),

•хк – занято ровно k каналов (очереди нет),

•х – заняты все n каналов (очереди нет),

•х+1 – заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди,

•х + – заняты все n каналов, s заявок стоят в очереди.

Число заявок s, стоящих в очереди, в наших условиях может быть сколь угодно большим. Таким образом, система X имеет бесконечное (хотя и счетное) множество состояний. Соответственно число описывающих ее дифференциальных уравнений тоже будет бесконечным.

Очевидно, первые n дифференциальных уравнений ничем не будут отличаться от соответствующих уравнений Эрланга:

0( ) = −0( ) + 1( );

( ) = −1( ) − ( + ) ( ) + ( + 1) +1( );

−1( ) = −2( ) − ( + ( − 1) ) −1( ) + ( ).

Отличие новых уравнений от уравнений Эрланга начнется при k = n. Действительно, в состояние хn система с отказами может перейти только из состояния хn-1; что касается системы с ожиданием, то она может перейти в состояние хn не только из хn-1, но и из хn+1 (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди).

Составим дифференциальное уравнение для pn(t). Зафиксируем момент t и найдем pn(t + t) – вероятность того, что система в момент t + t будет в состоянии хn. Это может осуществиться тремя способами:

1)в момент t система уже была в состоянии хn, а за время t не вышла из него (не пришла ни одна заявка и ни один из каналов не освободился);

2)в момент t система была в состоянии хn-1, а за время t перешла в состояние хn (пришла одна заявка);

3)в момент t система была в состоянии хn+1 (все каналы заняты, одна

заявка стоит в очереди), а за время t перешла в хn (либо освободился один канал и стоящая в очереди заявка заняла его, либо стоящая в очереди заявка ушла в связи с окончанием срока).

37

Имеем:

в момент t + t все n каналов будут заняты и ровно s заявок будут стоять в очереди. Это событие снова может осуществиться тремя способами:

1) в момент t система уже была в состоянии xn+s, а за время t это состояние не изменилось (значит, ни одна заявка не пришла, ни один канал не

освободился и ни одна из s стоящих в очереди заявок не ушла);

2)в момент t система была в состоянии хn+s-1 и а за время t перешла

всостояние xn+s (т. е. пришла одна заявка);

3)в момент t система была в состоянии xn+s+1 , а за время t перешла в состояние xn+s (для этого либо один из каналов должен освободиться, и тогда

одна из s + 1 стоящих в очереди заявок займет его, либо одна из стоящих в очереди заявок должна уйти в связи с окончанием срока).

Следовательно,

Уравнения (55) являются естественным обобщением уравнений Эрланга на случай системы смешанного типа со временем ожидания. Параметры , , в этих уравнениях могут быть как постоянными, так и переменными. При интегрировании системы (55) нужно учитывать, что хотя теоретически число возможных состояний системы бесконечно, но на практике вероятности pn+s(t) при возрастании s становятся пренебрежимо малыми и соответствующие уравнения могут быть отброшены. Выведем формулы,

38

аналогичные формулам Эрланга для вероятностей состояний системы при установившемся режиме обслуживания (при t →). Из уравнений (55), полагая все рk (k = 0, ..., n, ...) постоянными, а все производные – равными нулю, получим систему алгебраических уравнений

=0

Найдем решение системы (57).

Для этого применим тот же прием, которым пользовались в случае системы с отказами: разрешим первое уравнение относительно р1, подставим во второе и т. д. Для любого k < n, как и в случае системы с отказами, получим

Перейдем к уравнениям для k > n (k = n + s, s > l). Тем же способом получим

и вообще при любом s > 1

В обе формулы (58) и (59) в качестве сомножителя входит вероятность р0. Определим ее из условия (57). Подставляя в него выражения (58) и (59) для k < n и s > 1, получим