Информационные технологии при управлении системами массового обслуживания. Учебно-методическое пособие
.pdfОтносительная пропускная способность системы характеризуется вероятностью того, что заявка, попавшая в систему, будет обслужена:
q = 1- Pн .
Очевидно, что пропускная способность системы с ожиданием, при тех же и , будет всегда выше; чем пропускная способность системы с отказами: в случае наличия ожидания необслуженными уходят не все заявки, заставшие n каналов занятыми, а только некоторые. Пропускная способность увеличивается при увеличении среднего времени ожидания mtож = 1/ .
Непосредственное пользование формулами (65), (66) и (68) несколько затруднено тем, что в них входят бесконечные суммы. Однако члены этих сумм быстро убывают.
Предположим, что < n и найдем предельные вероятности рk (0 < k < n) для чистой системы с ожиданием. Для этого положим, что в формулах (64), (65) и (66) → 0. Получим
0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
∑∞ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
! |
=1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
или, суммируя прогрессию (что возможно только при < n), |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
(69) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
+1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
!(− ) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Отсюда, пользуясь формулами (62) и (63), найдем |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(70) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
=0 |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
!(− ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
и аналогично для k = n + s (s > 0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(71) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
+ |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
=0 |
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
!(− ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Среднее число заявок, находящихся в очереди, определяется из фор- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
мулы (67) при → 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
∙ !(1− |
|
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
(72) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
∑ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
=0 |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
!( − ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Пример. На вход трехканальной системы с неограниченным временем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ожидания поступает простейший поток заявок с плотностью = 4 (заявки в час). Среднее время обслуживания одной заявки mtоб = 30 мин. Определить, существует ли установившийся режим обслуживания; если да, то найти вероятности р0, р1, р2, р3, вероятность наличия очереди и среднюю длину очереди ms.
Решение. Имеем = |
1 час |
= 2; |
= |
|
= 2. Так как < n, то установив- |
|
|
||||
|
об |
|
|
|
|
шийся режим существует. По формуле (70) находим
41
0 |
= |
1 |
= 0,111; 1 |
= |
2 |
= 0,222; |
2 |
= |
2 |
= 0,222; |
3 = |
8 |
= 0,148. |
|
9 |
9 |
9 |
54 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность наличия очереди:
Роч = 1- ( р0 + р1 + р2 + р3 ) = 0, 297.
Средняя длина очереди по формуле (72) будет
= 0,89 (заявки).
1.11. Система смешанного типа с ограничением по длине очереди
Ранее мы рассмотрели систему массового обслуживания с ограничением по времени пребывания в очереди. Здесь изучим систему смешанного типа с другим видом ограничения ожидания – по числу заявок, стоящих в очереди. Предположим, что заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь, только если в ней находится менее m заявок; если же число заявок в очереди равно m (больше m оно быть не может), то последняя прибывшая заявка в очередь не становится и покидает систему необслуженной. Остальные допущения – о простейшем потоке заявок и показательном распределении времени обслуживания – оставим прежними.
Итак, имеется n-канальная система с ожиданием, в которой количество заявок, стоящих в очереди, ограничено числом m. Составим дифференциальные уравнения для вероятностей состояний системы. Заметим, что в данном случае число состояний системы будет конечно, так как общее число заявок, связанных с системой, не может превышать n + m (n обслуживаемых и m стоящих в очереди). Перечислим состояния системы:
•х0 – все каналы свободны, очереди нет,
•х1 – занят один канал,
•хn – заняты все n каналов,
•хn+1 – заняты все n каналов, одна заявка стоит в очереди,
•хn+m – заняты все n каналов, m заявок стоят в очереди.
Очевидно, первые n уравнений для вероятностей p0(t), ..., pn–1(t) будут совпадать с уравнениями Эрланга. Выведем остальные уравнения. Имеем
|
( + ) = |
|
( ) ∙ + |
( )(1 − − − ) + |
|
( ) , |
|||||
|
|
−1 |
|
|
|
|
+1 |
|
|||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
( ) − ( + ) |
( ) + |
( ) |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
+1 |
|
|
|
|
Далее выведем уравнение для pn+s(t) (1 ≤ s < m)
|
( + ) = |
|
( ) + |
( )(1 − − ) + |
|
( ) , |
|||||||||
+ |
|
|
+ −1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ +1 |
|
|||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
|
( ) − ( + ) |
( ) + |
( ). |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
+ −1 |
|
|
+ |
|
+ +1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последнее уравнение будет |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
( ) − |
( ). |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ −1 |
|
+ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
42 |
|
|
|
|
|
Таким образом, получена система (n + m + 1) дифференциальных уравнений:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
( ) |
( ) + 1( ), |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − 0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… … … … … |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= |
|
( ) − ( − ) ( ) + |
( + 1) |
|
( ) |
(0 < ≤ − 1), |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… … … … … |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
( ) − ( − ) ( ) |
+ |
( ) |
(73) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… … … … … |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ |
|
= |
|
|
|
( ) − ( + ) |
|
|
( ) + |
|
|
( ) |
(1 ≤ ≤ ), |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+−1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
++1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… … … … … |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= |
|
( ) − |
|
( ). |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+−1 |
|
|
+ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Рассмотрим предельный случай при t → . Приравнивая все производные нулю, а все вероятности считая стационарными, получим систему алгебраических уравнений
|
|
|
|
|
0 + 1 = 0, |
|
|
|
|
||||
|
− ( − ) |
+ ( + 1) |
= 0 |
(0 < ≤ − 1), |
|
||||||||
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ( − ) + |
= 0, |
(74) |
|||||||
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
− ( + ) |
+ |
|
|
= 0 (1 ≤ ≤ ), |
|
||||||
+−1 |
|
|
|
+ |
|
|
++1 |
|
|
|
|||
{ |
|
|
|
|
− |
|
= 0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
+−1 |
|
+ |
|
|
|
|
||
и добавочное условие: |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
= 1. |
|
|
|
|
(75) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0
Уравнения (74) могут быть решены так же, как и аналогичные алгебраические уравнения в предыдущих лекциях. Не останавливаясь на этом решении, приведем только окончательные формулы:
= |
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
∑ |
|
+ |
|
∑ |
( |
|
) |
||||||||||||
|
|
|
=0 |
! |
|
|
! |
=1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ |
|
|
∑ |
|
|
+ |
|
|
∑ |
|
( |
|
) |
||||||||
|
|
|
=0 |
! |
|
|
|
|
! |
=1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(0 ≤ ≤ ), |
(76) |
(1 ≤ ≤ ). |
(77) |
Вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной, равна вероятности рn+m того, что в очереди уже стоят m заявок.
Нетрудно заметить, что формулы (76) и (77) получаются из формул (65), (66), если положить в них = 0 и ограничить суммирование по s верхней границей m.
Пример. На станцию текущего ремонта автомобилей поступает простейший поток заявок с плотностью = 0,5 (авт./ч). Имеется одно помещение
43
для ремонта. Во дворе станции могут находиться одновременно, ожидая очереди, не более трех автомобилей. Среднее время ремонта одного автомобиля
об |
= |
1 |
= 2 часа; |
= 0,5 |
авт |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
ч |
||
Определить:
а) пропускную способность системы; б) среднее время простоя станции;
в) насколько изменятся эти характеристики, если оборудовать второе помещение для ремонта.
Решение. Имеем: = 0,5; , = 0,5; = 1; m = 3.
а) По формуле (77), полагая n = 1, находим вероятность того, что пришедшая заявка покинет систему необслуженной:
1 Рн = р1+ 3 = 1+ 1+ 3 = 0, 20 .
Относительная пропускная способность системы q = 1- Рн = 0,80 . Абсолютная пропускная способность:
= ∙ = 0,5 ∙ 0,8 = 0,4 авт/ч.
б) Средняя доля времени, которое система будет простаивать, найдем по формуле (76):
1 р0 = 5 = 0, 20.
в) Полагая n = 2, найдем
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
н = 2 + 3 = |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
≈ 0,021. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 1 1 |
1 |
47 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 1 + |
2 + 4 + 8 + |
16 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
Относительная пропускная способность системы станет q = 1 – Рн 0,979
(т. е. удовлетворяться будет около 98 % всех заявок). Абсолютная пропускная способность станет
= ∙ ≈ 0,49 авт/ч.
Относительное время простоя: р0 = 0,34, т. е. оборудование будет простаивать полностью около 34 % всего времени.
44
ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
Задания для самостоятельной работы (15 вариантов)
Задача 1
Автотранспортное предприятие, имеющее N автомобилей, может заключить договор на автотранспортное обслуживание за время – T с двумя организациями. Характеристики договоров:
1)среднее число заявок из первой организации – n1 в день, из второй – n2;
2)время обслуживания одной заявки первой организации – τ1 часов, второй – τ2 часов;
3)доход от выполнения одной заявки первой организации – d1 рублей, второй – d2 рублей;
4)штраф за отказ от выполнения заявки первой организации – sh1 рублей, второй – sh2 рублей.
С какой организацией автотранспортному предприятию заключить договор? Принять, что рабочий день составляет t часов.
Вариант |
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
T год |
t час. |
n заявок |
n заявок |
d руб. |
d руб. |
sh руб. |
sh руб. |
τ час. |
τ час. |
N авто |
|
1 |
0,5 |
10 |
28 |
24 |
1500 |
2000 |
2000 |
2500 |
6 |
9 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0,5 |
11 |
28 |
25 |
1500 |
2000 |
2000 |
2500 |
6 |
8 |
18 |
3 |
0,5 |
12 |
29 |
25 |
1500 |
2000 |
2000 |
2500 |
7 |
9 |
18 |
4 |
0,5 |
10 |
28 |
24 |
1700 |
2200 |
2000 |
2500 |
6 |
9 |
18 |
5 |
0,5 |
11 |
28 |
25 |
1600 |
2100 |
2000 |
2500 |
6 |
8 |
18 |
6 |
0,5 |
12 |
28 |
25 |
1700 |
2200 |
2100 |
2600 |
6 |
8 |
18 |
7 |
0,5 |
10 |
28 |
24 |
1700 |
2200 |
2100 |
2500 |
6 |
9 |
18 |
8 |
0,5 |
11 |
28 |
24 |
1700 |
2200 |
2100 |
2500 |
6 |
9 |
18 |
9 |
0,5 |
12 |
29 |
24 |
1700 |
2200 |
2100 |
2500 |
7 |
9 |
18 |
10 |
0,5 |
9 |
28 |
24 |
1700 |
2200 |
2100 |
2500 |
6 |
9 |
18 |
11 |
0,5 |
10 |
29 |
25 |
1700 |
2200 |
2100 |
2500 |
6 |
9 |
18 |
12 |
0,5 |
12 |
28 |
24 |
1700 |
2200 |
2100 |
2500 |
6 |
9 |
16 |
13 |
0,5 |
12 |
28 |
24 |
1700 |
2200 |
2100 |
2500 |
6 |
9 |
17 |
14 |
0,5 |
9 |
28 |
24 |
1700 |
2200 |
2100 |
2500 |
6 |
9 |
20 |
15 |
0,5 |
9 |
28 |
24 |
1700 |
2200 |
2100 |
2500 |
6 |
9 |
19 |
Примечание к первой задаче. Пусть Р(1)отк – вероятность отказа в обслуживании первой организации. Тогда интенсивность потока обслуженных заявок равна 1(1 – Р(1)отк). Аналогично, интенсивность потока заявок, которым будет отказано в обслуживание для первой организации, равна 1 Р(1)отк.
Вероятность отказа в обслуживании Ротк можно получить из формул Эрланга (см. методичку).
45
Задача 2
В магазине самообслуживания установлены n кассовых автоматов. Интенсивности входного потока в будние дни составляет в среднем λ1 покупателя в минуту до обеда, λ2 покупателя / мин. после обеда. В субботу и воскресенье – в среднем λв покупателя / мин. Среднее время обслуживания покупателя кассиром τ секунды.
Найти:
1)долю времени простоя кассиров;
2)вероятности оказаться в очереди;
3)среднее число покупателей в очереди;
4)среднее число занятых кассовых аппаратов;
5)среднее число покупателей, находящихся на расчетно-кассовом узле;
6)среднее время пребывание в очереди;
7)среднее время пребывания покупателя на расчетно-кассовом узле;
8)коэффициент занятости каналов.
Вари- |
n |
λ1 |
λ2 |
λв |
τ |
|
число кассовых |
покупатель / |
покупатель / |
покупатель / |
|||
ант |
сек. |
|||||
автоматов. |
мин. |
мин. |
мин. |
|||
|
|
|||||
1 |
2 |
1,3 |
1,8 |
2,2 |
52 |
|
2 |
2 |
1,4 |
1,9 |
2,4 |
50 |
|
3 |
2 |
1,2 |
1,7 |
2,1 |
60 |
|
4 |
3 |
1,5 |
1,9 |
2,6 |
56 |
|
5 |
3 |
1,4 |
1,8 |
2,7 |
58 |
|
6 |
3 |
1,6 |
1,9 |
2,8 |
54 |
|
7 |
3 |
1,7 |
1,9 |
2,7 |
56 |
|
8 |
3 |
1,3 |
1,8 |
2,2 |
52 |
|
9 |
2 |
1,3 |
1,7 |
2,1 |
60 |
|
10 |
2 |
1,4 |
1,6 |
2,0 |
59 |
|
11 |
3 |
1,6 |
2,0 |
2,8 |
54 |
|
12 |
3 |
1,5 |
1,8 |
2,5 |
50 |
|
13 |
3 |
1,3 |
1,9 |
2,4 |
62 |
|
14 |
3 |
1,4 |
2 |
2,3 |
58 |
|
15 |
3 |
1,6 |
1,9 |
2,5 |
56 |
Примечание ко второй задаче. Поскольку для каждого случая число каналов больше приведенной нагрузки, то возможен стационарный режим, при котором доля времени простоя кассиров определяется вероятностью р0 застать систему свободной. Вероятность р0 застать систему свободной можно получить из формул Эрланга с ожиданием (см. методичку).
Задача 3
По автостраде в среднем за час проезжает N автомобилей, из которых n1 – легковые, n2 – грузовые, n3 – автобусы. Каждый пятый легковой, третий
46
грузовой и четвертый пассажирский автобус нуждаются в заправке горючего. Фирма хочет разместить на автостраде бензоколонки. Время заправки легкого авто – tлег., грузового – tгруз, пассажирского автобуса – tавт. Какое минимальное число колонок следует запланировать фирме, чтобы среднее время ожидания заправки не превышало τожид. минут?
|
N |
Доля |
Доля |
|
tлег. |
tгруз. |
tавт. |
τожид. |
|
|
легко- |
грузо- |
Доля |
время за- |
время |
Время |
|||
|
число |
время за- |
|||||||
|
вых ав- |
вых ав- |
авто- |
правки |
заправ- |
ожида- |
|||
Вариант |
автомо- |
правки |
|||||||
томо- |
томо- |
бусов |
легкого |
ки груз. |
ния за- |
||||
|
би- |
автобуса |
|||||||
|
билей |
билей |
(n3%) |
авто |
авто |
правки |
|||
|
лей/час |
(мин.) |
|||||||
|
(n1%) |
(n2%) |
|
(мин.) |
(мин.) |
(мин.) |
|||
|
|
|
|
||||||
1 |
200 |
70 |
20 |
10 |
3 |
5 |
4 |
5 |
|
2 |
240 |
60 |
30 |
10 |
4 |
6 |
5 |
6 |
|
3 |
180 |
65 |
25 |
15 |
3 |
5 |
4 |
5 |
|
4 |
190 |
55 |
20 |
25 |
4 |
6 |
5 |
5 |
|
5 |
210 |
60 |
35 |
5 |
3 |
6 |
4 |
5 |
|
6 |
220 |
65 |
20 |
25 |
3 |
5 |
4 |
5 |
|
7 |
230 |
75 |
15 |
10 |
4 |
6 |
6 |
5 |
|
8 |
250 |
80 |
10 |
10 |
3 |
6 |
4 |
5 |
|
9 |
260 |
85 |
10 |
5 |
3 |
6 |
6 |
6 |
|
10 |
270 |
90 |
5 |
5 |
4 |
6 |
5 |
6 |
|
11 |
280 |
85 |
5 |
10 |
3 |
7 |
5 |
6 |
|
12 |
290 |
75 |
5 |
20 |
4 |
7 |
6 |
6 |
|
13 |
300 |
77 |
8 |
15 |
3 |
8 |
6 |
6 |
|
14 |
170 |
80 |
8 |
12 |
3 |
5 |
4 |
5 |
|
15 |
165 |
85 |
7 |
8 |
3 |
6 |
4 |
5 |
Примечание к третьей задаче. Пусть n – число колонок, τожд. – сред-
нее время ожидания. Известно, из формулы Литла, что
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ожд = |
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
||
|
2 (1 − |
) |
||||
|
|
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
где 1 и 2 – первый и второй начальные моменты длительности обслуживания автомобилей, – интенсивность потока машин, нуждающихся в заправке. Начальные моменты для дискретных распределений
|
|
|
|
= ( ) = ∑ |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
Для непрерывных распределений |
|
|
|
|
= ( ) = ∫∞ |
( ) . |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Задача 4
Банк предполагает открыть несколько рабочих мест n для денежных операций с населением. Средний поток ожидаемых посетителей составляет N человек в день. Время обслуживания одного посетителя обс., сколько рабочих мест необходимо запланировать, чтобы время ожидания посетителя в очереди не превышало в среднем ожид.?
47
Длительность рабочего дня составляет Т часов. Считать, что время обслуживания одного посетителя имеет:
А) показательное распределение; В) равномерное распределение в интервале от 5 до 9 мин.;
С) нормированное распределение Эрланга второго порядка.
Вариант |
Число посетите- |
Длительность |
Время обслужи- |
Время ожида- |
|
лей в день (N) |
рабочего дня в |
вания одного |
ния в очереди |
|
|
банке (Т час) |
посетителя |
(обс. мин.) |
|
|
|
(ожид. мин.) |
|
1 |
170 |
8 |
7 |
5 |
2 |
175 |
8 |
6 |
5 |
3 |
180 |
8 |
7 |
5 |
4 |
190 |
8 |
7 |
5 |
5 |
195 |
8 |
7 |
5 |
6 |
200 |
8 |
7 |
5 |
7 |
205 |
8 |
7 |
5 |
8 |
210 |
8 |
7 |
5 |
9 |
220 |
8 |
6 |
5 |
10 |
225 |
8 |
6 |
5 |
11 |
230 |
8 |
6 |
5 |
12 |
235 |
8 |
6 |
5 |
13 |
230 |
9 |
7 |
5 |
14 |
215 |
9 |
7 |
5 |
15 |
200 |
9 |
7 |
5 |
Примечание к четвертой задаче. Начальные моменты обслужива-
ния посетителей определяются через непрерывные распределения.
48
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В учебно-методическом пособии изложены основные понятия и теоремы теории систем массового обслуживания. Приведены типовые примеры, которые поясняют использование теоретических положений и в дальнейшем используются для практической деятельности.
Данное пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям подготовки, входящих в укрупненную группу 38.00.00 «Экономика и управление» и рекомендовано в качестве одного из источников для изучения данного материала, а также самостоятельной работы студентов» при их подготовке к контрольным работам, прохождению тестирования, сдаче зачета и экзамена. Кроме того, учебно-методическое пособие может быть интересно для студентов других направлений подготовки, желающих самостоятельно получить практический опыт в решении вероятностных задач.
49
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Чернов В. Б. Теория массового обслуживания : учеб. пос. / В. П. Чернов, В. Б. Ивановский. – М. : Инфра-М, 2000. – 284 с.
2.Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам : учеб. пос. / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2008. – 287 с.
3.Вентцель Е. С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения : учеб. пос. / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. – 2-е изд., стереотип. – М. : Высшая школа. – 2000. – 480 с.
4.Васильев К. К. Математическое моделирование инфокоммуникаци-
онных систем : учеб. пос. / К. К. Васильев, М. Н. Служивый. – М. : Горячая линия – Телеком, 2018. – 236 с.
5.Лукьянов В. С. Надежность в АСОИУ : курс лекций : в 2 ч.
/В. С. Лукьянов, Е. С. Кузнецова. – Волгоград : РПК «Политехник», 2007. –
99 с.
50