Информационные технологии при управлении системами массового обслуживания. Учебно-методическое пособие

Отсюда

ются как математическое ожидание, так и дисперсия промежутка времени между событиями, а плотность потока падает.

Выясним, как будет изменяться поток Эрланга при k → , если его плотность будет сохраняться постоянной. Пронормируем величину Т так, чтобы ее математическое ожидание (и, следовательно, плотность потока) оставалось неизменным. Для этого изменим масштаб по оси времени и вместо T рассмотрим величину

Закон распределения промежутка Т между событиями этого потока будет

где – плотность потока, совпадающая при любом k с плотностью исходного простейшего потока. Дисперсия величины ̃ равна

и неограниченно убывает с возрастанием k. Таким образом, приходим к выводу: при неограниченном увеличении k нормированный поток Эрланга приближается к регулярному с постоянными интервалами, равными 1/ .

Это свойство потоков Эрланга удобно в практических применениях: оно дает возможность, задаваясь различными k, получить любую степень последействия: от полного отсутствия (k = 0) до жесткой функциональной связи между моментами появления событий (к = ). Таким образом, порядок потока Эрланга может служить как бы «мерой последействия», имею-

21

щегося в потоке. В целях упрощения часто бывает удобно заменить реальный поток заявок, имеющий последействие, нормированным потоком Эрланга с примерно теми же характеристиками промежутка между заявками: математическим ожиданием и дисперсией.

Пример. В результате статистической обработки промежутков между заявками в потоке получены оценки для математического ожидания и дисперсии величины Т:

Необходимо заменить этот поток нормированным потоком Эрланга с теми же характеристиками.

Решение. Имеем:

Поток можно приближенно заменить нормированным потоком Эрланга четвертого порядка.

1.6. Время обслуживания в системе массового обслуживания

Кроме характеристик входного потока заявок режим работы системы зависит еще от характеристик производительности самой системы: числа каналов n и быстродействия каждого канала. Одной из важнейших величин, связанных с системой, является время обслуживания одной заявки Тоб. Эта величина может быть как неслучайной – детерминированной, так и случайной. Очевидно, более общим является случайное время обслуживания

Рассмотрим случайную величину Тоб и обозначим G(t) ее функцию распределения:

a g(t) – плотность распределения:

Для практики особый интерес представляет случай, когда величина Тоб имеет показательное распределение

где параметр – величина, обратная среднему времени обслуживания одной заявки:

Особая роль, которую играет в теории массового обслуживания показательный закон распределения величины Тоб, связана со следующими его

22

свойствами: стационарностью, ординарностью и отсутствием последействия. В применении к данному случаю можно сформулировать: если в ка- кой-то момент t0 происходит обслуживание заявки, то закон распределения оставшегося времени не зависит от того, сколько времени обслуживание уже продолжалось.

На первый взгляд допущение о том, что время обслуживания распределено по показательному закону, представляется довольно искусственным. В ряде практических задач кажется естественнее предположить его либо совсем не случайным, либо распределенным по нормальному закону. Однако существуют условия, в которых время обслуживания действительно распределяется по закону, близкому к показательному.

Это прежде всего все задачи, в которых обслуживание сводится к ряду «попыток», каждая из которых приводит к необходимому результату с ка- кой-то вероятностью р.

Пусть, например, «обслуживание» состоит в обстреле какой-то цели и заканчивается в момент ее поражения. Обстрел ведется независимыми выстрелами с некоторой средней скорострельностью X выстрелов в единицу времени. Каждый выстрел поражает цель с вероятностью р. Чтобы не связывать себя необходимостью точного учета момента каждого выстрела, предположим, что они происходят в случайные моменты времени и образуют простейший поток П с плотностью (рис. 13).

Выделим мысленно из этого потока другой – поток «успешных», или «поражающих», выстрелов (они отмечены кружками на рисунке 13). Выстрел будем называть «успешным», если он приводит к поражению цели (если только цель не была поражена ранее).

Рис. 13. Модельный эксперимент

Нетрудно убедиться, что успешные выстрелы тоже образуют простейший поток П* с плотностью = р (исходный поток П – простейший, а каждый выстрел может стать поражающим, независимо от других, с вероятностью р). Вероятность того, что цель будет поражена до момента t равна

( ) = ( < ) = 1 − −Λ ,

откуда плотность распределения времени «обслуживания»

( ) = Λ −Λ ,

а это есть показательный закон с параметром = .

Показательным законом распределения времени обстрела до поражения цели можно приближенно пользоваться и в случае, когда выстрелы не образуют простейшего потока, а отделены, например, строго определенными промежутками времени t1, если только вероятность поражения одним

23

выстрелом р не очень велика. Для иллюстрации приведем на одном и том же графике (рис. 14) функцию распределения момента поражающего выстрела (ступенчатая линия) для случая р = 0,4, t1 = 1 и функцию распределения показательного закона с параметром = р = 0,4 (плавная кривая). Как видно на рисунке 14, непрерывное показательное распределение хорошо соответствует характеру нарастания функции распределения для дискретного случая. Естественно, если моменты выстрелов не будут строго определены, соответствие с показательным законом будет еще лучше.

Рис. 14. Иллюстрация соответствия дискретного распределения с показательным

Случай стрельбы – не единственный, когда обслуживание осуществляется рядом «попыток». К такому типу можно отнести обслуживание по устранению неисправностей технических устройств, когда поиски неисправной детали или узла осуществляются рядом тестов или проверок. К такому же типу можно отнести задачи, где «обслуживание» заключается в обнаружении какого-либо объекта радиолокатором, если объект с какой-то вероятностью может быть обнаружен при каждом цикле обзора.

Показательным законом хорошо описываются и те случаи, когда плотность распределения времени обслуживания по тем или иным причинам убывает при возрастании аргумента t. Это бывает, когда основная масса заявок обслуживается очень быстро, а значительные задержки наблюдаются редко.

Рассмотрим, например, окно почтового отделения, где продаются марки и конверты, а также принимаются почтовые отправления и переводы. Основная масса посетителей покупает марки или конверты и обслуживается очень быстро. Реже встречаются заявки на отправление заказных писем, они обслуживаются несколько дольше. Переводы посылаются еще реже и обслуживаются еще дольше. Наконец, в самых редких случаях представители организаций отправляют сразу большое количество писем. Гистограмма распределения времени обслуживания имеет вид, представленный на рис. 15. Так как плотность распределения убывает с возрастанием t, можно без особой погрешности выровнять распределение с помощью показательного закона, подобрав соответствующим образом его параметр .

24

Рис. 15. Гистограмма распределения времени обслуживания в почтовом отделении

Разумеется, показательный закон не является универсальным законом распределения времени обслуживания. Часто время обслуживания лучше описывается, например, законом Эрланга. Однако, к счастью, пропускная способность и другие характеристики системы массового обслуживания сравнительно мало зависят от вида закона распределения времени обслуживания, а зависят главным образом от его среднего значения mtоб. Поэтому в теории массового обслуживания чаще всего пользуются допущением, что время обслуживания распределено по показательному закону. Эта гипотеза позволяет сильно упростить математический аппарат, применяемый для решения задач массового обслуживания, и в ряде случаев получить простые аналитические формулы для характеристик пропускной способности системы.

1.7. Марковский случайный процесс

Допущения о пуассоновском характере потока заявок и показательном распределении времени обслуживания ценны тем, что позволяют применить в теории массового обслуживания аппарат так называемых марковских случайных процессов.

Процесс, протекающий в физической системе, называется марковским (или процессом без последействия), если для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящий момент (t0) и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние.

Рассмотрим элементарный пример марковского случайного процесса. По оси абсцисс Ох случайным образом перемещается точка X.

В момент времени t = 0 точка X находится в начале координат (х = 0) и остается там в течение одной секунды. Через секунду бросается монета; если выпал герб – точка X перемещается на одну единицу длины вправо, если цифра – влево. Через секунду снова бросается монета и производится такое же случайное перемещение и т. д. Процесс изменения положения точки (или,

25

как говорят, «блуждания») представляет собой случайный процесс с дискретным временем (t = 0, 1, 2, ...) и счетным множеством состояний

0 = 0; 1 = 1; −1 = −1; −2 = −2; …

Схема возможных переходов для этого процесса показана на рисунке 16.

Рис. 16. Схема возможных переходов

Покажем, что этот процесс марковский. Действительно, представим себе, что в какой-то момент времени t0 система находится, например, в состоянии х1 – на одну единицу правее начала координат. Возможные положения точки через единицу времени будут х0 и х2 с вероятностями 1/2 и 1/2 через две единицы — х-1, х1, х3 с вероятностями 1/4, 1/2, 1/4 и т. д. Очевидно, все эти вероятности зависят только от того, где находится точка в данный момент t0, и совершенно не зависят от того, как она пришла туда.

Рассмотрим другой пример. Имеется техническое устройство X, состоящее из элементов (деталей) типов а и б, обладающих разной долговечностью. Эти элементы в случайные моменты времени и независимо друг от друга могут выходить из строя. Исправная работа каждого элемента безусловно необходима для работы устройства в целом. Время безотказной работы элемента – случайная величина, распределенная по показательному закону; для элементов типа а и б параметры этого закона различны и равны соответственно а и б. В случае отказа устройства немедленно принимаются меры для выявления причин и обнаруженный неисправный элемент немедленно заменяется новым. Время, потребное для восстановления (ремонта) устройства, распределено по показательному закону с параметром а (если вышел из строя элемент типа а) и б (если вышел из строя элемент типа б).

В данном примере случайный процесс, протекающий в системе, является марковским с непрерывным временем и конечным множеством состояний:

•х0 – все элементы исправны, система работает,

•х1 – неисправен элемент типа а, система ремонтируется. Предполагается, что детали могут выходить из строя только во время

работы системы; выход из строя одновременно двух или более деталей практически невозможен;

• х2 – неисправен элемент типа б, система ремонтируется. Схема возможных переходов дана на рисунке 17.

Действительно, процесс обладает марковским свойством. Пусть, например, в момент t0 система находится в состоянии х0 (исправна). Так как время безотказной работы каждого элемента показательное, то момент отказа каждого элемента в будущем не зависит от того, сколько времени он уже работал (когда поставлен). Поэтому вероятность того, что в будущем система останется в состоянии х0 или уйдет из него, не зависит от «предыстории» процесса. Предположим теперь, что в момент t0 система находится в

26

состоянии х1 (неисправен элемент типа а). Так как время ремонта тоже показательное, вероятность окончания в любое время после t0 не зависит от того, когда начался ремонт и когда были поставлены остальные (исправные) элементы. Таким образом, процесс является марковским.

Рис. 17. Схема возможных переходов

Заметим, что показательное распределение времени работы элемента и ремонта – существенные условия, без которых процесс не был бы марковским. Действительно, предположим, что время исправной работы элемента распределено не по показательному закону, а по какому-нибудь другому – например, по закону равномерной плотности на участке (t1, t2). Это значит, что каждый элемент с гарантией работает время t1, а на участке от t1 до t2 может выйти из строя в любой момент с одинаковой плотностью вероятности. Предположим, что в какой-то момент времени t0 элемент работает исправно. Очевидно, вероятность того, что элемент выйдет из строя на какомто участке времени в будущем, зависит от того, насколько давно поставлен элемент, т. е. зависит от предыстории, и процесс не будет марковским.

Аналогично обстоит дело и с временем ремонта Тр; если оно не показательное и элемент в момент t0 ремонтируется, то оставшееся время ремонта зависит от того, когда он начался; процесс снова не будет марковским.

Вообще показательное распределение играет особую роль в теории марковских случайных процессов с непрерывным временем. Легко убедиться, что в стационарном марковском процессе время, в течение которого система остается в каком-либо состоянии, распределено всегда по показательному закону (с параметром, зависящим от этого состояния). Предположим, что в момент t0 система находится в состоянии хk и до этого уже находилась в нем какое-то время. Согласно определению марковского процесса, вероятность любого события в будущем не зависит от предыстории; в частности, вероятность того, что система уйдет из состояния хk в течение времени t, не должна зависеть от того, сколько времени система уже провела в этом состоянии. Следовательно, время пребывания системы в состоянии хk должно быть распределено по показательному закону.

В случае, когда процесс, протекающий в физической системе со счетным множеством состояний и непрерывным временем, является марковским, можно описать этот процесс с помощью обыкновенных дифференциальных

27

уравнений, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний p1(t), p2(t),… pn(t). Составление и решение таких уравнений продемонстрируем ниже на примере простейшей системы массового обслуживания.

1.8. Система массового обслуживания с отказами. Уравнения Эрланга

Системы массового обслуживания делятся на два основных типа: а) системы с отказами, б) системы с ожиданием.

Всистемах с отказами заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, немедленно получает отказ, покидает систему

ив дальнейшем процессе обслуживания не участвует.

Всистемах с ожиданием заявка, заставшая все каналы занятыми, не покидает систему, а становится в очередь и ожидает, пока не освободится какой-нибудь канал. В данном пособии рассмотрим систему с отказами как наиболее простую.

Пусть имеется n-канальная система массового обслуживания с отказами. Рассмотрим ее как физическую систему Х с конечным множеством состояний:

•х0 – свободны все каналы,

•х1 – занят ровно один канал,

•хк – занято ровно k каналов,

•xn – заняты все n каналов.

Схема возможных переходов дана на рисунке 18.

Рис. 18. Схема возможных переходов в рассматриваемой системе

Поставим задачу: определить вероятности состояний системы pk(t) (k = 0, 1, ..., n) для любого момента времени t. Задачу будем решать при следующих допущениях:

1)поток заявок простейший, с плотностью ;

2)время обслуживания Тоб подчиняется показательному закону, с па-

Заметим, что параметр в формуле (35) полностью аналогичен параметру показательного закона распределения промежутка Т между соседними событиями простейшего потока:

Параметр имеет смысл «плотности потока заявок». Аналогично, величину можно истолковать как «плотность потока освобождений» занятого

28

канала. Действительно, представим себе канал, непрерывно занятый (бесперебойно снабжаемый заявками); тогда, очевидно, в этом канале будет идти простейший поток освобождений с плотностью . А если поток заявок редкий, то поток освобождений будет скорее всего определяться потоком заявок.

Так как оба потока – заявок и освобождений – простейшие, процесс, протекающий в системе, будет марковским.

Рассмотрим возможные состояния системы и их вероятности

=0

Составим дифференциальные уравнения для всех вероятностей (37), начиная с p0(t). Зафиксируем момент времени t и найдем вероятность p0(t + t) того, что в момент t + t система будет находиться в состоянии х0 (все каналы свободны).

Это может произойти двумя способами (рис. 19):

А – в момент t система находилась в состоянии х0, а за время t не перешла из нее в х1 (не пришло ни одной заявки);

В – в момент t система находилась в состоянии х1 а за время t канал освободился, и система перешла в состояние х0).

Рис. 19. Переход из состояния х0 в состояние х1

Возможностью «перескока» системы через состояние (например, из х2 в х0 через х1) за малый промежуток времени можно пренебречь, как величиной высшего порядка малости по сравнению с Р(А) и Р(В). В дальнейшем все время будем пренебрегать слагаемыми высших порядков малости по сравнению с t. В пределе при t → 0 приближенные равенства перейдут в точные.

По теореме сложения вероятностей имеем

На рисунке 19 возможные способы появления состояния х0 в момент t + t показаны стрелками, направленными в х0. Стрелка, направленная из х0 в х1 перечеркнута в знак того, что система не должна выйти из состояния х0.

Найдем вероятность события А по теореме умножения. Вероятность того, что в момент t система была в состоянии х0, равна р0(t). Вероятность того, что за время t не придет ни одной заявки – − ∆. С точностью до величин высшего порядка малости, используя разложение экспоненты в ряд, получим

Следовательно,

( ) = 0( )(1 − ∆ ).

29

Найдем Р(В). Вероятность того, что в момент t система была в состоянии х1 равна р1(t). Вероятность того, что за время t канал освободится – 1 − − ∆; с точностью до малых величин высшего порядка

1 − − ∆ ≈ ∆ .

Следовательно,

( ) = 1( ) ∆ .

Отсюда

Аналогичные дифференциальные уравнения могут быть составлены и для других вероятностей состояний.

а) б)

Рис. 20. Переходы из состояний хк–1 и хк+1 в состояния хк (а), из состояния хn–1 в состояние хn (б)

Возьмем любое k (0 < k < n) и найдем вероятность pk(t + t) того, что в момент t + t система будет в состоянии хk (рис. 20а). Эта вероятность вычисляется как вероятность суммы уже не двух, а трех событий (по числу стрелок, направленных в состояние xk):

( + ∆ ) = ( ) + ( ) + ( ),

А – в момент t система была в состоянии хk (занято k каналов), а за

время t не перешла из него ни в хk+1, ни в хk–1 (ни одна заявка не поступила, ни один канал не освободился);

В – в момент t система была в состоянии хk–1 (занято k–1 каналов), а за время t перешла в состояние хk (пришла одна заявка);

С – в момент t система была в состоянии хk+1 (занято k+1 каналов), а за время t один из каналов освободился.

Найдем Р(А). Вычислим сначала вероятность того, что за время t не придет ни одна заявка, первый сомножитель, и не освободится ни один из k каналов, второй сомножитель:

− ∆ ( − ∆ ) ≈ −( + )∆ .

Степень k, которая появилась во втором сомножителе, характерна только для СМО с параллельным расположением каналов. В этом случае может освободиться либо первый, либо второй, либо k-ый канал, а вероятность этого составного события равна вероятности освобождения одного канала в степени k.

30