Избранные вопросы методики преподавания математики. Сборник научно-методических статей

тельно присутствуют в диагностических работах и КИМах в формате ЕГЭ по математике. В ГИА для 9-х классов входят тексто-

вые задачи вида: число 952 составляет 85% от величины числа х. Чему примерно равно число х? Выпускникам 2012 года на госу-

дарственном экзамене по математике за курс среднего (полного) общего образования предстоит одной из первых решить текстовую задачу, например, такую как:

В1. Железнодорожный билет для взрослого стоит 720 руб. Стоимость билета школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 15 школьников и двух взрослых. Сколько стоят билеты на всю группу?

Какие задания можно предложить классу? Задания могут быть различными. Так как главной целью этапа является повторение, сложность заданий можно повышать постепенно по мере изучениятемы.Если«классслабый»,тонужнодаватьзаданияначиная с самых простых, постепенно двигаясь к усложненным заданиям, и, разумеется, если «класс сильный», то есть смысл при повторении сразу предлагать задания среднего уровня. Рассмотрим это на примере решения задач на процентное соотношение. Перед решением задач на процентное соотношение необходимо повторить с учениками:

1)понятие процента;

2)нахождение процента от целого;

3)нахождение процента от числа.

На этом этапе повторение проводится устно, при этом можно предложить решить ученикам следующие задачи:

1)Найдите,какойпроцентсоставляетчисло25отчисла60?

2)Найдите число x, если число 100 составляет 43% от чис-

ла x.

2)Найти 50% половины одного килограмма?

С помощью задач подобного типа учитель повторяет с классом как теоретическую, так и практическую части материала урока,которыепонадобятсяприизученииновойтемы.Задачинеобычного характера, такие как третья, должны усилить интерес и сконцентрировать внимание учеников на новой теме.

61

Переходя к следующему, и основному, этапу урока, полезно прибегнуть к использованию наглядного примера, например, такого как «опыт с простой губкой». Опыт и беседу можно построить таким образом:

Учитель: «Возьмем обыкновенную, идеально сухую губку (идеальную означает, что мы не будем учитывать влажность воздуха). Если губка сухая, то в ней нет воды, а если в ней нет воды, то она представляет собой просто небольшой кусочек поролона или, как мы будем говорить, сухое вещество. Сама губка представляет собой целую часть (100 процентов) или 100 процентов сухого вещества. Теперь опустим губку в воду (можно использовать емкость с водой или просто поднести губку к крану с водой), она впитала в себя воду. Теперь в губке содержится вода, иона«занимает»какую-тоеечасть,тоестьтеперьсухоевеще- ство и вода делят между собой исходные 100 процентов. Прикинем «на глазок», сколько воды сейчас в губке. Пусть будет 80%».

Вопрос к классу: сколько процентов составляет в губке сухое вещество?

Ученики: «Сухое вещество в губке составляет 20%» (Предположительный ответ).

Учитель: «Хорошо, теперь выжмем часть воды. Что мы видим?»

Ученики: «Воды в губке стало меньше» Учитель: «Правильно, воды в губке стало меньше, а как из-

менилось соотношение сухого вещества по отношению к воде?» Ученики: «Сухого вещества стало больше».

Учитель: «Да, вы ответили правильно. Таким образом, мы уменьшили содержание воды в губке где-то на 35 %, тогда каким стало процентное содержанием воды в губке?»

Ученики: «Процентное содержание воды в губке стало рав-

ным 45%».

Учитель: «Каким стало процентное содержание сухого вещества в губке?»

Ученики: «Процентное содержания сухого вещества в губке стало 55%».

62

Ученики, вероятнее всего, зададут вопрос: «Но сухое вещество само по себе, в отличие от воды, никуда не исчезает. Поче-

му же мы говорим, что его процентное содержание меняется?»

На этот вопрос учитель отвечает так: «Представьте себе, что мы помещаем губку в коробочку, плотно прилегающую ко всем ее сторонам, тогда эта «коробочка» и есть то целое, о котором мы с вами говорили, а сухое вещество — это сама губка. Таким образом, предложенные процентные соотношения ищутся как бы внутри этой «коробочки».

Это,пожалуй,являетсяосновойнаглядно-описательногопод- хода к изучению решения текстовых задач на процентное соотношение.

После проведения «опыта с простой губкой» и беседы следует для закрепления материала урока еще раз объяснить ученикам, что же рассматривается в задачах на процентное соотношение: в задачах на процентное содержание рассматриваются предметы, содержащие влагу: трава (сено), абрикос (курага), грибы (сушеные грибы), виноград (изюм), арбузы и тому подобные пары. Целесообразно объяснить ученикам: «Как получить курагу (сено, изюм)?» — это в дальнейшем поможет сэкономить время урока при анализе условия задачи.

Рассматривая решение задач, необходимо придерживаться определенного плана: плана, составленного в прямом направлении, и плана, составленного в обратном направлении. Первый план составляется от условий дано к тому, что надо найти, второй — от того, что надо найти, к тому, что дано в условии задачи. План второго вида используется преимущественно для задач на доказательство. Тогда как для решения задач необходимо использовать план первого типа. Составление плана решения любой задачи происходит в процессе анализа ее условия [2].

Для упрощения составления плана полезно использовать таблицы и/или схемы. В зависимости от типа задачи учитель с учениками заполняет таблицу или строит схему.

63

Рассмотрим на примере, как можно использовать подобные схемы.

Задача.

Собрали 100 кг грибов. Оказалось, что их влажность 99%. Когда грибы подсушили, влажность снизилась до 98%.

Какой стала масса этих грибов после подсушивания?

Рассуждения учителя и класса:

Учитель: что нам известно из условий задачи?

Ученики: у нас есть 100 килограмм грибов, их влажность 99%.

Учитель: если влажность 100 килограммов грибов 99%, тогда сколько процентов составляет сухое вещество?

Ученики: сухого вещества в 100 килограммах грибов будет 100% – 99% = 1%.

Учитель: заполним такую таблицу (см. табл №). Какова влажность грибов?

Ученики: влажность грибов 99%.

Учитель: занесем эти данные в таблицу. Сухое вещество, как вы уже сказали, составляет 1%, запишем этот результат. На какой вопрос нам надо ответить?

Ученики: какой стала масса этих грибов после подсушивания?

Учитель: для ответа на этот вопрос нам нужно определить сколько килограммов сухого вещества содержится в 100 килограммах грибов? Составим пропорцию:

64

100 кг — это 100%

х кг — это 1%

Решим пропорцию, получим: x = 100100∙ 1 = 1 кг — сухого

вещества в 100 кг грибов при 99% влаги.

По условию задачи грибы подсушили, и их влажность стала 98%, сколько % теперь составляет сухое вещество?

Ученики: сухого вещества в 100 килограммах грибов будет: 100% – 98% = 2%.

Учитель: занесем эти значения в таблицу. Обратите внимание, что из грибов испарилась вода, а сухое вещество никуда не делось, то есть 1 килограмм сухого вещества теперь будет составлять 2%, вновь составим пропорцию:

1кг — это 2% х кг — это 100%

Примечание: * Отмечено, что дано.

Решение:

1)100% – 99% = 1% — сухого вещества было.

2)100% – 98% = 2% — сухого вещества стало.

3)100 кг — это 100%

х кг — это 1%

65

Ответ: 50 кг грибов стало после подсушивания.

99% влаги 1% сухого вещества 98% влаги 2% сухого вещества

Учитель может предложить ученикам самим придумать задачу, составить план ее решения и оформить его. Такая работа поможет ученикам лучше понять цель решения задачи, укрепить интерес, сформировать желание искать новые, еще более рациональные способы ее решения. Задачу недостаточно просто решить и записать ее ответ, необходимо оглянуться назад на найденное решение, провести анализ результата и пути, по которому кнемупришли.Всеэтопозволитнетольколишнийразпроверить правильность решения, но и закрепить навыки, необходимые для решения задач, сделать свои знания более глубокими. «Хороший учитель обязан понимать, что никакую задачу нельзя исчерпать до конца» (Д. Пойа) [1].

Использованная литература

1.ПойаД.Какрешатьзадачу.–М.:Учпедгиз,1959.–С.40–43, 200–204.

2.Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание / Пер. В.С. Бермана. – 2-е изд., стереотип. – М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. – С. 448, ил.

66

Азаров В.

Некоторые методические особенности элементов стохастической линии в курсе математики основной школы

Современная концепция школьного математического образования ориентирована прежде всего на учет индивидуальности ребенка, его интересов и склонностей. Этим определяются критерии отбора содержания, разработка и внедрение новых, интерактивных методик преподавания, изменения в требованиях к математической подготовке ученика. И с этой точки зрения, когда речь идет не только об обучении математике, но и формировании личности с помощью математики, необходимость развития у всех школьников вероятностной интуиции и статистическо-

го мышления становится насущной задачей. Причем речь сегодня идет об изучении вероятностно-статистического материала в обязательном основном школьном курсе «математика для всех» в рамках самостоятельной содержательно-методической линии на протяжении всех лет обучения.

Исследования психологов (Ж. Пиаже, Е. Фишбейн) показывают, что человек изначально плохо приспособлен к вероятностной оценке, к осознанию и верной интерпретации вероятностно-ста- тистической информации. Работы психологов утверждают, что наиболее благоприятен для формирования вероятностных представлений возраст 10–13 лет (это 5–7 классы). Экспериментальная работа в 5 и 6 классах по пропедевтике вероятностных представлений, проведению экспериментов со случайными исходами

иобсуждению на качественном уровне их результатов показало, что этот не закрепленный формальными «обязательными результатами» период дает хорошее развитие вероятностной интуиции

истатистических представлений детей [1].

Согласно данным ученых-физиологов и психологов в среднем звене школы заметно падение интереса к процессу обучения в целом и к математике в частности. На уроке математики в ос-

67

новной школе, в 5–9-х классах, проводимых по привычной схеме и на традиционном материале, у ученика зачастую создается ощущение непроницаемой стены между изучаемыми объектами и окружающим миром. Именно вероятностно-статистическая линия, или, как ее стали называть в последнее время, — стохастическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету «математика», пропаганде его значимости и универсальности [1].

Знакомство школьников с очень своеобразной областью математики, где между черным и белым существует целый спектр цветов и оттенков, возможностей и вариантов, а между однозначными «да» и «нет» существует еще и «быть может» (причем это «можетбыть»поддаетсястрогойколичественнойоценке),способствует устранению укоренившегося ощущения, что происходящее на уроке математики никак не связано с окружающим миром, с повседневной жизнью. Учащиеся видят непосредственную связь математикисокружающейдействительностью,реальнойжизнью.

Один из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования состоит во включении в школьные программы элементов статистики и теории вероятностей. Это обусловлено ролью, которую играют вероятностно-статистические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Без минимальной вероятностно-статистической грамотности трудно адекватно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на ее основе обоснованные решения.

Анализ статей из журналов «Математика в школе»

Журналы «Математика в школе» содержат ряд статей, в которых рассматриваются различные вопросы по данной теме.

О необходимости изучения в школе элементов теории вероятностей и статистики речь идет очень давно. И авторы многих статей говорят о необходимости введения стохастической линии в основную школу.

68

Бунимович Е.А [1] в защиту этой необходимости приводит следующие аргументы:

1. Социально-экономическая ситуация.

«Нужно научить детей жить в вероятностной ситуации. То есть нужно научить их извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами. Ориентация на многовариантность возможного развития реальных ситуаций и событий, на формирование личности, способной жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно-статистического мышления у подрастающего поколения».

2. Универсальность вероятностных законов.

«Они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономиче- ских наук построен и развивается на вероятностно-статистиче- ской базе.

Подросток в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями. Игра и азарт составляют существенную частьжизниребенка.Кругвопросов,связанныхссоотношениями понятий “вероятностьˮ и “достоверностьˮ, проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, представление о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях — все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов подростка».

3. Взаимосвязь математики с действительностью.

ПомнениюСелютинаВ.Д.,5–6-еклассыявляютсяподготови- тельным этапом перед изучением стохастики, здесь идет процесс «интуитивныхнакоплений»[3].Какжеследуеторганизоватьэтот процесс? Прежде всего путем эксперимента, проводимого самими учащимися. Как утверждает А. Плоцки, «из-за своей специфики стохастика может быть математикой, понимаемой каждым учеником как математика, открытая им самим». Одна из важнейших целей обучения школьников элементам стохастики состоит

69

в целенаправленном развитии идеи о том, что в природе наличествуют статистические закономерности. Важно помочь учащимся правильно осознать реальную действительность, открыть для себя вероятностную природу окружающего мира, показать, что в мире случайностей можно не только хорошо ориентироваться, но

иактивно действовать.

Спомощью каких же средств можно организовать формирование первоначальных стохастических представлений школьников? К таковым можно отнести: стохастические игры, эксперименты со случайными исходами, статистические исследования, мысленные статистические эксперименты и моделирование.

Проводя эксперименты, учащиеся могут заметить, что те или иные события происходят чаще или реже относительно других. Таким образом, можно перейти к понятию частоты, а затем и к статистическому определению вероятности.

Методические аспекты обучения школьников статистике

По мнению Селютина В.Д., одно из главных отличий школьного изучения стохастики состоит в тесной связи отвлеченных понятий и структур с окружающим миром [2]. Поэтому математическая деятельность школьников не должна ограничиваться изучением только готовых вероятностных моделей. Напротив, процессы построения и истолкования моделей рассматриваются как ведущие формы ученической деятельности. Учитель призван правильно направлять такую деятельность, а для этого он сам должен владеть методами формализации и интерпретации. Выполнение учащимися заданий, связанных с принятием решений в реальных (в нематематических) ситуациях, играет очень важную роль и требует умелого управления со стороны учителя.

Особенность стохастических умозаключений проявляется прежде всего в ходе интерпретаций результатов решения математической задачи, возникшей на базе статистической информации. По этой причине во многих случаях одну и ту же статистическую информацию разные люди могут трактовать по-разному. Примером может служить следующая ситуация:

70