Избранные вопросы методики преподавания математики. Сборник научно-методических статей

Джафарова Э.

Возможности применения оригами при изучении геометрии в школе

Главной целью применения оригами при изучении геометрии в школе является всестороннее развитие геометрического мышления и формирование геометрических знаний средствами оригами, которые помогают преодолеть указанные трудности и позволяют учащимся «войти в пространство». Использование искусства оригами в школе при изучении некоторых тем геометрии позволяет разнообразить учебную деятельность, что способствует развитию у детей не только памяти, но и внимания, воображения, разных форм мышления. Оригами является одним из эффективных средств развития познавательного интереса школьников.

Оригами (от япон. ори — складывать, сгибать, загибать; гами (ками) — бумага) — древнее японское искусство складывания из бумаги. Искусство оригами зародилось в Древней Японии. Оно и по сей день занимает очень многих творческих людей. В классическом виде оригами — это только складывание из бумаги, но с развитием технологии к древнему искусству добавились новые виды материалов: картон, пленка, а также способы ее обработки, такие как клей и ножницы.

Взаимосвязь между оригами и геометрией нащупал дизайнер оригами Адзума Хидэаки. Эту связь можно передать его словами: «Разверните фигурку оригами и посмотрите на складки — вы увидите лишь обилие многоугольников, соединенных друг с другом. В сложенном виде оригами представляет собой многогранник, фигуру с множеством плоских поверхностей, а когда фигура разложена и показаны все складки, мы, математики, называем ее двухмерным множеством. Если предположить, что произведение оригамиявляетсямножеством,можнооткрытьнемалоинтересного. Именно это побудило меня заняться оригами». Адзума сумел сделать спираль, которая основывается на принципе «изменения

51

Фурье», оригами, сделанные им, наделены особой красотой, рожденной из законов математики.

Применение оригами при изучении геометрии в школе включает в себя три этапа: 1) программа рассчитана для учащихся 1–4 классов; 2) для учащихся 5–9 классов; 3) для учащихся 10–11 классов.

Содержательной основой первого этапа является ознакомление с основными геометрическими фигурами, такими как квадрат, треугольник, прямоугольник; ознакомление с понятиями точка, прямая, отрезок, угол, диагональ, вертикальная линия, горизонтальная линия. На основе изучения этих понятий учатся основам техники оригами. Данный этап стимулирует мышление и фантазию, развивает творческую деятельность.

Содержанием второго этапа являются работа учащихся по схемам и процесс складывания учащимися плоскостных фигур. Особое место занимает метод решения задач на построение без помощи циркуля и линейки. Он позволяет построить правильные многоугольники, построение которых с помощью циркуля и линейки затруднительно, а в некоторых случаях невозможно. Учащиеся знакомятся с орнаментами, складывая которые можно получить многогранники. На данном этапе у учащихся развивается пространственное мышление.

Содержанием третьего этапа является построение правильных, полуправильных и неправильных многогранников, их сечения, нахождение площадей боковых поверхностей и объемов геометрических тел. Здесь учащиеся определяют этапы складывания при «разворачивании» готовой модели в отсутствии схемы, такая идея используется на некоторых олимпиадных задачах, и также конструируют объемные фигуры. На этом этапе у учащихся формируется содержательное логико-математическое мышление.

Применение оригами при изучении геометрии в школе способствует повышению интереса учащихся к геометрии, формированию системных знаний по этому предмету, обеспечивает условия для развития творческих способностей учащихся. Оригами

52

служит мощным средством формирования положительной мотивации к изучению геометрии.

На основе геометрических преобразований условные знаки в оригамислужатуказаниемкдействияминаправленынасоздание реальных изделий, а в геометрии — отражением свойств объекта и представляют абстрактные модели.

Преподавание геометрии с применением оригами представляет теоретическую, методическую и практическую значимость.

Рассмотрим задачи на построение.

В курсе геометрии, при построениях, мы пользуемся циркулем и линейкой, с помощью которых мы можем:

1.Провести прямую через две данные точки.

2.Построить окружность с данным центром и радиусом.

3.Найти точку пересечения двух данных прямых, точку пересечения прямой с окружностью или двух окружностей.

Припостроенияхсприменениеморигамимыпользуемсяследующими правилами:

Прямая задана, если на листе имеется соответствующая складка. На рисунках пунктиром показаны складки.

1.Пусть заданы две точки А и В, тогда лист можно сложить так, что данные две точки будут на складке.

53

2. Пусть заданы две точки, тогда лист можно сложить так, что одна точка перейдет в другую.

3. Пустьзаданыдвепрямыеmиp,тогдалистможносложить так, что одна прямая перейдет в другую.

54

4. Пусть задана прямая p и точка А, тогда лист можно сложить так, что точка попадает на складку, а прямая перейдет в себя (т.е. линия складки будет ей перпендикулярна).

5. Пусть заданы прямая p и две точки А и В, тогда лист можносложитьтак,чтоточкаАпопадаетнаскладку,аВнапрямуюp.

6. Пусть заданы две прямые p и q и две точки А и В, тогда лист можно сложить так, что точка А попадает на прямую p, а точка В попадает на прямую q.

55

7. Пусть заданы две прямые p и q и две точка А, тогда лист можно сложить так, что точка А попадает на прямую р, а прямая q перейдет в себя (т.е. линия складки будет ей перпендикулярна).

Данные правила придумали оригамисты: итальянец Бенедетто Скимеми и японец Хамяки Худзита. Седьмое правило позже добавил японский оригамист Косиро Хатори.

Бенедетто и Хамяки заметили, что складка листа бумаги — этопрямая.Есливзятьналистеотрезокисогнутьлисттак,чтобы концы соединились, а потом на столе аккуратно разгладить лист, то перегиб образует серединный перпендикуляр.

Построение серединного перпендикуляра в курсе геометрии, без применения оригами, включает в себя несколько этапов. Для этого построения нужны циркуль и линейка.

Рассмотрим построение правильного треугольника:

56

Построение высоты треугольника:

Использованная литература

1.www.оrigama.ru

2.http://fine.ap.teacup.com/foldings/

3.Гусев В.А. Методика изучения геометрии. – М.: Академия,

2004.

4.http://www.origami.ru/lab/tech/vl02.htm

5.Виктор Выгонов «Геометрия и оригами»

6.http://dorigami.narod.ru

58

Фофлина А.

Наглядно-описательный подход к обучению решению текстовых задач на процентное соотношение

«Ученик должен понять задачу. Но не только понять; он должен хотеть решить ее» Д. Пойа

Решение текстовых задач во все времена вызывало определенные трудности у учащихся, а ведь текстовые задачи считают средствомпередачиматематическихзнаний(долгоевремятекстовыезадачииприлагающиесякнимрешенияслужилиисточником знаний). Первыми текстовыми задачами были задачи, взятые из обыденной жизни, то есть у человека возникала какая-то проблема (например, какова площадь земельного участка, как посчитать скот или как определить стоимость покупки и т.д.), которую необходимо было решить. Следовательно, можно сказать, что текстовые задачи — это первооснова всей математики.

В настоящее время текстовые задачи не потеряли своей актуальности, ведь и в наше время людям часто надо знать, как найти, например, площадь участка земли (городского или дачного) или определить стоимость покупки, исходя из цены за единицу товара, поэтому учащимся необходимо усвоить тему: «Решение текстовых задач». Полезно обратить их внимание на необходимость развития этого умения, так как каждый учащийся регулярно встречается с задачами в жизни (например, как определить выплату по банковскому кредиту, вычислить процент годовой прибыли по вкладу, скидку на товар в магазине и т.п.). Решая текстовуюзадачу,учащийсядолженуметьхорошоанализироватьусловие, обобщать результат и делать заключительный вывод. При обучении математике решение текстовых задач имеет образовательное, развивающее и воспитательное значение. Такие задания развивают логическое и алгоритмическое мышление учащихся, вырабатывают практические навыки применения математики.

59

Первая и, возможно, основная задача учителя — обеспечить усвоение нового материала и сформировать и закрепить навыки математического решения задач, а также научить учащихся грамотно анализировать, делать выводы и обобщать. От верного и грамотного анализа условия задачи зависит дальнейший процесс непосредственного ее решения.

Обучение учеников анализу и решению текстовых задач проходит с большими трудностями. Это зависит от уровня подготовки учеников, от того, насколько у них развито логическое мышление, воображение, умение анализировать, и, разумеется, от умения учителя объяснить новый для учащихся материал. Учитель должен уметь подобрать задачу нужного уровня; задача должна быть интересной, не слишком трудной и не слишком легкой. Математик и педагог Дьердь Пойа (1887–1985) называл математику школой мышления и говорил, что хороший учитель должен помочь ученику развить вкус к самостоятельным логическим рассуждениям [1]. Этого можно добиться с помощью творческого подхода к преподаванию. Учитель может доказать учащимся на практических примерах, что все, чем они занимаются на уроках математики, понадобится им в жизни независимо от выбранной профессии. Описание одного подхода представляем далее.

Каждая новая тема должна основываться на рациональном, простом и доступном объяснении. Если у учащегося нет базовых знаний, то обучение начинать бесполезно, поэтому перед началом введения темы: «решение текстовых задач» следует провести актуализацию знаний. Актуализация знаний помогает учащимся систематизировать и вспомнить нужный материал, включиться в работу.Этоначальныйэтапурока,учительдляэтогоэтапаподбирает вопросы и задания так, чтобы ученики смогли вспомнить и повторить все разделы учебного материала, которые понадобятся при изучении новой темы. Актуализация знаний так же необходима ученикам, как и учителю, так как этот этап позволяет обозначить проблемные места у учащихся.

Рассмотрим более подробно задачи на процентное содержание. Задачи на проценты, как и любые текстовые задачи, обяза-

60