Длинные линии. Основные положения и решения. Учебное пособие

Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Российский университет транспорта»

Кафедра «Электроэнергетика транспорта»

Г.Д. Чавчанидзе А.А. Артемов

Длинные линии. Основные положения и решения

Учебное пособие для электротехнических и электромеханических

специальностей

Москва - 2019

4

УДК 621.3 Ч51

Чавчанидзе Г.Д., Артемов А.А. Длинные линии. Основные положения и решения: Учебное пособие. - М.: РУТ (МИИТ), 2019. – 66 с.

В учебном пособии изложены основные параметры и понятия по линиям с распределенными параметрами, иначе, длинным линиям. Рассмотрены схемы замещения и уравнения линии, различные режимы ее работы с выводом соответствующих уравнений. На примерах рассмотрены методы решения задач по длинным линиям.

Учебное пособие предназначено для студентов электротехнических и электромеханических специальностей.

Рецензенты:

Доцент кафедры «Управление безопасностью в техносфере» РУТ (МИИТ) Волков А.В.

Кандидат технических наук АО «Всероссийский НИИ железнодорожного транспорта» Косарев И.А.

© РУТ (МИИТ), 2019

5

Содержание

Введение…………………………………………………....4 1.Первичные параметры однородной линии…………….4

2.Дифференциальные уравнения длинной линии……....7

3.Синусоидальный режим в однородной линии………..10

4.Вторичные параметры однородной линии……………18

5.Входное сопротивление и коэффициент отражения линии……………………………………………………….22

6.Линии без искажений…………………………………..26

7.Линии без потерь………………………………………..30

8.Стоячие волны…………………………………………..33

9.Отражение и преломление волн в месте соединения нескольких линий………………………………………….47

10.Примеры решения задач по длинным линиям……….54

3

Введение

Любая двухпроводная линия представляет собой линию с распределенными параметрами, которые зависят от сопротивлений и проводимостей, индуктивностей и емкостей по всей длине линии. В некоторых линиях, которые не обладают большой протяженностью, у которых длина линии l≤λ (λ-длина волны) эти параметры не учитываются. Такие цепи считаются линиями с сосредоточенными параметрами.

В таких линиях емкости сосредоточены в конденсаторах, индуктивности - в катушках, сопротивления – в резисторах. Для цепей с сосредоточенными параметрами сделаны большие допущения, реально такой цепи не существует.

Даже в простой R,L,C цепи, которая считалась цепью с сосредоточенными параметрами, активное сопротивление складывается из сопротивлений соединительных проводов, катушки, конденсатора и самого сопротивления R. Индуктивность в R,L,C цепи обусловлена не только индуктивностью катушки, но и переменным магнитным полем всей схемы, для емкости – переменным электрическим полем. Скорость и время прохождения сигнала также раньше не учитывались.

1.Первичные параметры однородной линии.

Принципиальную схему замещения длиной линии с распределенными параметрами можно получить, представив ее в виде бесконечно малых отрезков ∆х

(рис.1,а).

4

Всхеме (рис.1) z1, z3, z5 – продольные сопротивления, z2, z4, z6 – поперечные сопротивления. Мы будем рассматривать однородные линейные цепи с распределенными параметрами. Линия с распределенными параметрами является однородной при равенстве продольных z1=z3=z5 и поперечных сопротивлениях z1=z3=z5 на участках ∆х1=∆х2=∆х3 и равенстве поперечных сечений линии. Во всех других случаях линия является неоднородной. Линейность цепи определяется продольными и поперечными сопротивлениями, которые не являются функциями токов между ними.

Втеории электрических цепей такие линии называются «длинными линиями». Длина такой линии много больше длины электромагнитной волны тока или напряжения. К длинным линиям относятся различные воздушные и кабельные линии из области энергетики и проводной связи. Использование электрических линий различных конструкций и назначения характерно и для железнодорожного транспорта. Это контактная сеть электрифицированных участков железных дорог, питающие эти участки высоковольтные линии электропередачи, рельсовые цепи, линии автоблокировки, воздушные и кабельные линии связи.

5

Протяженность линий оказывает существенное влияние на протекание в них электромагнитных процессов. Поэтому, основные соотношения и уравнения линий содержат две независимые переменные – время и одну пространственную координату.

Модель двухпроводной однородной линии является простейшим представителем рассматриваемого класса цепей. При помощи подобных моделей можно изучать процессы в воздушных линиях электропередачи и электросвязи, в силовых и телефонных кабелях. Соотношения и закономерности, установленные для такой цепи, могут быть в случае необходимости перенесены на другие типы линий.

При расчете линии с распределенными параметрами необходимо учитывать все сопротивления, существующие по всей длине линии. Эти сопротивления определяются первичными параметрами длинной линии. К ним относятся продольные: активное сопротивление R0 (Ом/км) и индуктивность L0 (Гн/км); поперечные: емкость C0 (Ф/км)

ипроводимость G0 (См/км). Для большинства линий эти параметры задаются на километр длины (рис.1,б).

Активное продольное сопротивление R0 цепи обусловлено тепловыми потерями в проводах с учетом поверхностного эффекта и эффекта близости.

Индуктивность цепи L0 определяется магнитным потоком, который сцепляется с контуром тока.

Емкость C0 определяется емкостью между проводами, а также емкостью этих проводов по отношению к земле

идругим соседним проводам.

Поперечная активная проводимость G0 обусловлена несовершенством изоляции, проводимостью изоляции и диэлектрическими потерями, возникающими в ней.

6

Наличие поперечной проводимости и емкости между проводами обуславливают наличие утечки через изоляцию (например, гирлянды изоляторов) по всей длине линии. У воздушных линий такой изоляцией является воздух. Ток нагрузки iн из-за такой утечки не равен входному току iвх. Кроме того, фазы напряжений и токов изменяются вдоль линии, что также требует учитывать их в расчетах [3].

При протекании тока в проводах линии падение напряжения в активном сопротивлении создает переменное магнитное поле, которое вызывает э.д.с. самоиндукции. В линиях с распределенными параметрами из-за продольных и поперечных сопротивлений ток и напряжение изменяются непрерывно вдоль линии.

В линиях небольшой длины с частотой f=50 Гц и напряжением U 35 кВ можно пренебречь токами смещения, обусловленными емкостью между проводами и токами утечки, определяемые проводимостью изоляции.

При больших напряжениях и частотах в длинных линиях токами смещения и утечки пренебрегать нельзя, потому что ток в разных сечениях линий неодинаков. Через поперечные сопротивления происходит утечка тока, поэтому i1≠i3≠i5 и т.д.

2. Дифференциальные уравнения длинной линии. Напряжение и ток в линии являются функциями двух

независимых переменных: пространственной координаты x, определяющей место от начала линии, и времени t прохождения волны до этого места. Направление координатной оси x совпадает с направлением оси линии.

Рассмотрим процесс передачи электромагнитной энергии по линии, когда источник и приемник имеются на

7

обоих концах линии, т.е. найдем распределение тока в линии i(x,t) и напряжения между проводами u(x,t).

Разобьем однородную линию на отдельные участки бесконечно малой длины x со структурой, показанной на рис.1,б. Выберем положительное направление тока в линии слева на право и условимся называть левый конец «началом» линии, а правый – «концом» линии.

Представим рассматриваемый элементарный участок линии x, находящийся на расстоянии x от начала в виде последовательно включенных сопротивления R x и

Выражения записаны в частных производных, так как ток и напряжение являются функциями двух переменных.

Для контура 1234 и узла 3 схемы (риc.1,б) по законам Кирхгофа можно записать:

u R xi L x i u u x;

t x

i i i i x ;x

где: i - суммарное значение тока через поперечные сопротивления:

8

После подстановки i в уравнение токораспределения на участке x получаем:

Выделив из обоих уравнений слагаемые: u x и

x

Составляющие в квадратных скобках представляют собой величины второго порядка близкими к нулю, которыми можно пренебречь. Полученная система уравнений в частных производных представляет собой уравнения длинной линии с распределенными параметрами.

Независимыми переменными в этой системе являются время t и пространственная координата x, совпадающая с направлением линии. Эти дифференциальные уравнения описывают волновые процессы в линиях. Решение этих уравнений дает функциональные зависимости напряжения и тока в линии от переменных x и t.

9

Уравнения (2.1) могут быть решены однозначно при использовании начальных и граничных условий. Начальными условиями будут значения напряжения и тока в начале или в конце линии в момент времени, принятый за ноль. Граничные условия определяются связями между напряжением и током в начале или конце линии, зависящими от заданного режима работы линии [4].

3. Синусоидальный режим в однородной линии. При периодическом режиме под воздействием

приложенного к линии синусоидального напряжения напряжение и ток в любой точке линии изменяются синусоидально с частотой источника. Обозначим комплексы действующих значений напряжения и тока на

Запишем мгновенные значения тока и напряжения при заданной частоте «ω» и их соответствующие комплексы действующих значений:

i Im sin( t i ) I Ie j( t i ) ;

представляет собой функцию времени f(t), а другой – функцию расстояния f(x), позволяет перейти от частных производных к простым.

Подставив в (2.1) вместо мгновенных значений