Длинные линии. Основные положения и решения. Учебное пособие

где: R j L - комплексное продольное сопротивление на единицу длины линии,

G j C - комплексная поперечная проводимость

на единицу длины линии.

Продифференцировав первое уравнение системы (2.2) по «x» и, подставив в него второе уравнение, получим уравнение относительно напряжения:

Аналогично, продифференцировав второе уравнение системы (2.2) по «x» и, подставив в него первое уравнение системы получим уравнение относительно тока:

Квадратный корень из комплексного множителя, известно как уравнение Гельмгольца и представляет собой комплексное число:

где: γ - коэффициент распространения электромагнитной волны вдоль линии.

После подстановки коэффициента «γ» в уравнения

(2.3) и (2.4) получим:

Каждому из уравнений (2.6) соответствует характеристическое уравнение:

Уравнения (2.6) представляют однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Решение первого из них имеет вид:

11

Таким образом, мгновенное значение напряжения в любой точке состоит из двух функций. Рассмотрим каждую из них.

Если считать точку «x» фиксированной и рассматривать изменение напряжения в данной точке в зависимости от времени, то первая составляющая выражения (2.10) представит собой синусоидальную функцию с постоянной амплитудой.

Если же считать момент времени «t» фиксированным и рассматривать изменение мгновенного напряжения вдоль линии (т.е. в зависимости от «x»), то получим затухающую синусоидальную волну напряжения, амплитуда которой

2 A1 e x убывает с ростом «x», по мере удаления от

начала линии к концу.

Величина " " , характеризующая изменение амплитуды волны на единицу длины линии, называется коэффициентом затухания; величина " " , определяющая

13

изменение фазы на единицу длины линии, называется

обусловлено потерями в линии, а изменение фазы –

распространение волны напряжения и тока вдоль линии.

Графики распределения прямой и обратной электромагнитных волн представлены, соответственно, на рис. 2.2,а,б.

На рис. 2.2 символом «λ» обозначена длина волны напряжения, равная расстоянию между двумя точками линии, фазы колебаний в которых различаются на 2π. Следовательно:

Полученная формула выражает зависимость между длиной волны и коэффициентом фазы линии.

14

движущихся в противоположных направлениях, причем каждая из этих волн затухает в направлении движения.

Таким образом, каждое слагаемое выражений (2.10, 2.11) представляет собой бегущую волну. Причем, одна волна распространяется в сторону возрастающих значений «х» (от источника к приемнику) и называется прямой или падающей волной, другая движется в сторону убывающих значений «х» (от приемника к источнику) и называется обратной или отраженной электромагнитной волной.

Для определения токов и напряжений в любой точке линии на расстоянии «х» от ее начала необходимо найти

Возвращаясь к уравнениям (2.7) и (2.8), запишем выражения для прямой и обратной волн в комплексной форме:

Это соотношение объясняет смысл волнового сопротивления, как сопротивления, которое оказывает линия падающей и отраженной волне.

Определение постоянных интегрирования A1 и A2 осуществляется по известным или найденным граничным значениям напряжения и тока.

16

Система уравнений (2.19) является уравнениями длинной линии с гиперболическими функциями с координатой «y» от конца линии [4].

4. Вторичные параметры однородной линии. Коэффициент распространения γ и волновое сопротив-

ление Zв являются вторичными или характеристическими параметрами длинной линии.

Вторичные параметры выражаются через частоту и первичные параметры линии.

Раскроем выражение (2.5):

(R j L)(g j C) Rg 2 LC j (Lg CR) j .

Избавимся от корня квадратного, возведя в квадрат левую и правую части уравнения:

2 j2 2 Rg 2 LC j (Lg CR).

Сгруппируем отдельно действительную и мнимую части:

Совместное решение этих уравнений дает возможность определить коэффициент затухания:

12 Rg 2 LC (R 2 2 L2 )(g 2 2 C 2 ) ,

икоэффициент фазы:

При необходимости, коэффициент распространения можно определить через комплексные значения напряжения (тока) прямой волны в начале и конце линии:

19

позволяет выразить коэффициент распространения в следующем виде:

1l ln U1п . (2.20)

U 2п

Соответственно, для коэффициента фазы можно записать:

где: U1п и U2п – действующие значения прямой волны напряжения в начале и конце линии, а β1п и β2п – соответствующие фазы. С учетом этих значений из (2.20) получаем:

Полученные формулы раскрывают коэффициент затухания, как параметр, характеризующий изменение действующего значения напряжения на единицу длины линии в неперах на километр, и коэффициент фазы, который определяет изменение фазы электромагнитной волны в радианах на единицу длины линии.

На практике часто коэффициент затухания «α» измеряют в децибелах на единицу длины и вместо (2.21) используют формулу:

20