Длинные линии. Основные положения и решения. Учебное пособие

Уравнение показывает активный характер волнового сопротивления, аргумент которого с учетом равенства фаз токов прямой и обратной волн с соответствующими напряжениями, равен нулю: в 0 .

Коэффициент распространения линии без потерь:

(R0 j L0 )(G0 j C0 ) j L0C0 j . (2.31)

Откуда, коэффициенты затухания и фазы равны:

Фазовая скорость воздушной линии записывается через скорость света V0 в вакууме:

Для воздушных линий без потерь 1 и фазовая

скорость равна скорости света Vф = V0.

Для кабельных линий ε>1 и Vф < V0 и фазовая скорость равняется 1,5 108 м/с.

Приведенные соотношения показывают, что линия без потерь является частным случаем неискаженной линии с потерями. Волновое сопротивление линии без потерь активное и не зависит от частоты, затухание линии равно нулю. Следовательно, согласование такой линии возможно только с приемными устройствами, входное сопротивление которых также активно. Как и в неискажающих линиях фазовая скорость в линиях без потерь не зависит от частоты.

Обратимся к уравнениям (2.19) и запишем их с учетом

(2.31) и (2.32):

31

8. Стоячие волны.

Стоячая волна является одной из разновидностей электромагнитных волн. Практически, такая волна

начальными фазами, сдвинутыми в пространстве на / 2 . Волны без искажения накладываются друг на друга, представляя принцип суперпозиции волн.

Равенство падающих и отраженных волн возможно при условии отсутствия потерь в конце линии, когда активная мощность, выделяемая в нагрузке, равна нулю.

Особенности режима стоячих волн рассмотрим для каждого режима нагрузки.

В режиме холостого хода при отсутствии нагрузочного сопротивления линия обрывается и волна не

одинаковыми амплитудами и движущихся навстречу друг другу вызывает стоячие волны.

При разомкнутой линии падающая волна встречает бесконечно большое сопротивление нагрузки, через которое не протекает ток. Энергия бегущей волны не поглощается в конце линии и энергия магнитного поля переходит в энергию электрического поля. В линиях без потерь энергия отраженной волны равна энергии падающей волны.

С физической точки зрения, отраженная волна появляется за счет накопления зарядов в конце линии и возникновения, вследствие этого, разности потенциалов в конце и начале линии.

На рис.2.3 показано сложение падающей и отраженной волн напряжения для некоторого момента времени.

Отраженная волна является продолжением падающей

моменты времени изменяется только амплитуда напряжения в каждой точке линии, которая колеблется по синусоидальному закону. Суммарная волна «стоит на месте», отсюда ее название.

Стоячая волна тока в режиме холостого хода определяется исходными уравнениями линии без потерь. В

Мгновенные значения напряжения и тока в режиме холостого хода находятся через функции времени. Для

34

этого правые части уравнений линии умножаются на 2e j t и берутся коэффициенты при мнимой части:

u( ) 2U 2 cos y sin t , i( ) 2 U 2 sin y sin( t 900 ).

Zв

Начальная фаза 900 в уравнении тока определяет множитель «j».

В режиме холостого хода при Z2= коэффициент отражения n=1. Выполняется равенство амплитуд uобр uпр

и соответствующих фаз φо= φп. Напряжение в

произвольной точке линии можно записать через сумму волн:

обращается в ноль, составляющие правой части уравнения складываются и напряжение u2 изменяется с удвоенной амплитудой: u 2 2Um sin( t ). При одинаковой амплиту-

де волн происходит удвоение волны напряжения и обнуление волны тока.

Графики распределения мгновенных значений тока и напряжения представлены на рис.2.4,а. Распределение

напряжения вдоль линии пропорционально cos y , а тока -. sin y .

В точках линии (рис.2.4,а), удаленных от ее конца на

максимальному значению. Точки, в которых амплитуды напряжения и тока максимальны, называются пучностями напряжения и тока. Положение пучностей напряжения определяются при cos y =1 и при sin y = 1 - для тока.

35

В точках линии, находящихся на расстояниях

y (2k 1) / 4 от конца линии, синусоидальные функции (2.38) имеют одинаковые значения и разные знаки, что соответствует нулевому результирующему напряжению.

соответствуют постоянным точкам разомкнутой линии. Распределение тока в стоячих волнах также образуют

пучности и узлы (рис.2.4,а). С физической точки зрения, электроны падающей волны тока в конце линии начинают обратное движение, изменяя знак тока на противоположный. В результате суммарный ток на конце линии равен нулю, соответствуя узлу тока и пучности напряжения. Иначе, стоячая волна тока сдвинута на / 4 , относительно стоячей волны напряжения. Таким образом, на конце разомкнутой длинной линии всегда получаются пучность напряжения и узел тока.

Амплитуда напряжения в пучности Uпуч, равная двойной амплитуде напряжения бегущей волны 2Um, пропорциональна амплитуде тока в пучности Iпуч, которая равна двойному значению амплитуды тока бегущей волны

36

2Im. Отношение этих величин представляет волновое

Особый интерес вызывает изменение входного сопротивления линии без потерь в режиме холостого хода. Входное сопротивление определяется значениями напря-

определяется функцией двух переменных: длины и частоты. График изменения абсолютного значения входного сопротивления от длины представлен на рис.2.4,б.

При длине линии l<λ/4 меньше четверти длины волны два коротких провода, подключенных к генератору, представляют собой конденсатор. Функция tg l

изменяется от - до 0, входное сопротивление линии является реактивным и имеет емкостный характер, что показывает множитель « –j». Чем короче линия, тем меньше емкость конденсатора и больше емкостное входное сопротивление. В результате, ток в линии становится малым, а напряжение в линии превышает напряжение генератора.

При увеличении длины линии до λ/4 напряжение в начале линии становится меньше по сравнению с его значением в пучности, а ток увеличивается и входное сопротивление уменьшается. Длине линии l=λ/4 соответствуют узел напряжения и пучность тока. Входное

37

сопротивление Zвх = U/I = 0 и для генератора получается режим короткого замыкания.

При минимальном входном сопротивлении ток и напряжение достигают наибольших значений. Четвертьволновая разомкнутая линия представляет чисто активное сопротивление и эквивалентна последовательному резонансному контуру. Иначе, точки линии,

сопротивление линии увеличивается и становится индуктивным, что показывает множитель «+j». Ток и напряжение становятся меньше, чем в четвертьволновой линии.

При l=λ/2 напряжение в начале линии принимает наибольшее значение, равное э.д.с. генератора, а ток становится равным нулю. Входное сопротивление принимает максимальное значение и является чисто активным. В данном случае полуволновая линия эквивалентна параллельному резонансному контуру. Иначе, в точках линии, кратных / 2 , наступает резонанс

увеличением длины от конца линии. Соответственно, изменяется входное сопротивление от 0 до . Разомкнутая длинная линия без потерь представляет собой емкостное и индуктивное сопротивление, величина которого определяется длиной линии. Возможность

38

задания необходимого реактивного сопротивления через длину линии используется в устройствах связи.

Резонанс напряжений и токов можно получить и при постоянной длине линии, изменяя длину волны генератора. Резонанс напряжений кроме резонанса на основной волне, соответствующей λ/4, будет наблюдаться на любой нечетной гармонике 3λ/4, 5λ/4 и т д. Резонанс токов в линии получается не только на основной волне при l=λ/2, но и на любых как четных, так и нечетных гармониках с целым числом полуволн λ, 3/2 λ и т. д.

Свойство резонировать не только на основной собственной частоте, но и на гармониках характерно для всех колебательных систем с распределенными параметрами.

Анализ волновых процессов линии без потерь в режиме короткого замыкания проводится аналогично. В

iI 2m Zв cos y sin t .

Врежиме короткого замыкания в линии без потерь также возникают стоячие волны. Падающая волна полностью отражается от короткозамкнутого конца линии

ссопротивлением нагрузки Zн=0, так как поглощение энергии в таком сопротивлении отсутствует. Напряжение в конце линии равно нулю и энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля. Ток на замкнутом

39

конце линии удваивается, возникают отраженные волны и происходит полное отражение энергии.

В режиме короткого замыкания сопротивление нагрузки Zн=0, коэффициент отражения в конце линии равен n =-1, падающие и отраженные волны находятся в противофазе: uп = -uо, iп= -iо . В результате, с удвоенной амплитудой по отношению к прямой волне изменяется ток, а нулю равно напряжение. Распределение напряжения

вдоль линии пропорционально sin y , а тока - cos y .

Положение пучностей и узлов напряжения и тока в сравнении с режимом холостого хода сместилось относительно конца линии на четверть длины волны в сторону генератора. На конце линии напряжение равно нулю, что соответствует узлу напряжения и наибольшему значению тока, что вызывает пучность тока.

Фазовые соотношения между напряжением и током изменились на «π», так как от короткозамкнутого конца линии волна напряжения отражается с изменением фазы на «π», а волна тока – без изменения фазы. Соответственно, узлы напряжения располагаются при y k / 2 , узлы тока –

при y (2k 1) / 4 и сдвинуты относительно друг друга на

четверть длины волны.

Распределение входного сопротивления линии без

величина, поэтому Zвх.кз является чисто индуктивным сопротивлением. Это сопротивление, как видно из (2.39), изменяется по закону тангенса в зависимости от длины

40