Дифференциальные уравнения и их приложения в технике. Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет

Л. В. КОНОВАЛОВА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В ТЕХНИКЕ

Учебное пособие

Санкт-Петербург

2015

1

УДК 517.91 (075.8)

Рецензенты: д-р техн. наук, профессор М. М. Воронина (ПГУПС); канд. физ.-мат. наук, доцент Г. И. Синкевич (СПбГАСУ)

Коновалова Л. В.

Дифференциальные уравнения и их приложения в технике: учеб. пособие / Л. В. Коновалова; СПбГАСУ. – СПб., 2015. – 56 с.

ISBN 978-5-9227-0573-8

Приведены необходимые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, предусмотренные учебной программой. Теоретическое изложение сопровождается большим количеством примеров. Представлена методика решения основных типов обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пособие предназначено для студентов строительных вузов, обучающихся по программе бакалавриата.

Библиогр.: 7 назв.

Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качестве учебного пособия.

ISBN 978-5-9227-0573-8

Л. В. Коновалова, 2015

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2015

Учебное издание

Коновалова Лариса Викторовна

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ В ТЕХНИКЕ

Учебное пособие

Редактор А. В. Афанасьева Корректор М. А. Молчанова Компьютерная верстка И. А. Яблоковой

Подписано к печати 02.09.15. Формат 60×84 1/16. Бум. офсетная. Усл. печ. л. 3,3. Тираж 100 экз. Заказ 75. «С» 48.

Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.

Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.

2

Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

1.1. Основные понятия и определения

При изучении явлений природы, решении задач физики, химии, биологии и других разделов науки часто не удается установить прямую зависимость между величинами, описывающими ка- кой-либо процесс, но можно установить связь между этими величинами и скоростью их изменения. Это приводит к уравнениям, содержащим не только неизвестные величины, но и скорости их изменения, т. е. содержащим производные от неизвестных величин.

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство, содержащее одну независимую переменную, искомую функцию и ее производные.

Общая форма записи дифференциального уравнения имеет вид:

Определение 2. Порядок дифференциального уравнения определяется порядком старшей производной, входящей в уравнение.

Определение 3. Решением уравнения (1) называется функция y = ϕ(x), обращающая это уравнение в тождество.

Определение 4. Процесс нахождения решений уравнения (1) называется интегрированием дифференциального уравнения, а график решения – интегральной кривой.

Формы записи дифференциального уравнения первого порядка: 1) нормальная форма, или уравнение, разрешенное относи-

тельно производной,

2)общая форма: F(x; y; y′) = 0 ;

3)симметричная форма.

3

Теорема Коши существования и единственности уравнения y′ = f(x; y)

Если правая часть уравнения, функция f (x;y), во всех точках

некоторой области G непрерывна по обеим переменным и имеет в этой области непрерывную частную производную по переменной y ,

f y′(x;y), то для любых (x0 ;y0 ) G существует единственное реше-

ние уравнения (2), удовлетворяющее условию ϕ(x0 ) = y0 . Определение 5. Функция y = ϕ(x;C), где C – произвольная

постоянная, называется общим решением уравнения (2), если выполняются условия:

1)y = ϕ(x;C) – решение уравнения (2) при любом C ;

2)для любых (x0 ; y0 ) G , области из теоремы Коши, найдется

F(x;y;C) = 0 или D(x; y) =C , то оно называется общим интегра-

лом этого уравнения.

Определение 6. Частным решением уравнения (2) называется всякое решение, полученное из общего решения при конкретном числовом значении произвольной постоянной C .

Определение 7. Функция y =ψ(x) называется особым реше-

нием уравнения (2), если она удовлетворяет этому уравнению, но не может быть получена из общего решения ни при каком значении произвольной постоянной C .

Определение 8. Задачей Коши для дифференциального уравнения (2) называется задача нахождения частного решения этого

y = ϕ(x), что функция ϕ(x) в точке x0 принимает значение y0 , т. е.

ϕ(x0 )= y0 .

1.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Уравнение y′ = f (x; y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его правую часть f (x; y) можно представить в виде

4

f (x; y)= f1 (x) f2 (y).

Таким образом, уравнение с разделяющимися переменными

При интегрировании справа прибавляется произвольная постоянная в виде, удобном для дальнейшего преобразования ответа. Результат интегрирования дает общее решение уравнения (1).

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

x2 y2 y′= y −1.

Решение

Преобразуем уравнение к виду (1):

Очевидно, имеем уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его согласно алгоритму:

5

Получили общий интеграл дифференциального уравнения. Замечание. В процессе решения мы делили обе части уравне-

ния на выражение x2 (y −1). При этом могли быть потеряны решения x = 0 и y =1. Но x = 0 не является решением, так как не удовлетворяет данному уравнению, а y =1 является решением, однако

не может быть получено из общего решения ни при каком значении C . Следовательно, y =1 – особое решение.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения (ДУ)

(x + xy2 )dx + (y + x2 y)dy =0.

Решение

Перенесем одно слагаемое в правую часть и вынесем общие множители за скобки:

x (1 + y2 )dx = −y(1 + x2 )dy.

Делим обе части уравнения на (1 + x2 )(1 + y2 ):

1+xx2 dx =−1+yy2 dy.

Интегрируем обе части уравнения:

∫1 +xx2 dx = − ∫1 +yy2 dy.

ln (x2 +1)+ ln C =−ln (y2 +1). ln C(x2 +1) =ln (y 2 +1)−1.

(y21+1)=C(x2 +1) –общийинтеграл ДУ.

Замечание. При делении на произведение (1 + x2 )(1 + y2 ) ни

один из множителей не может равняться нулю, следовательно, особых решений нет.

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения y′=−2x y , удовлетворяющее начальным данным y x=0 = 5.

6

Решение

Дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Решаем его по приведенному выше алгоритму:

y =C e−x2 – общее решениеДУ.

Определим значение произвольной постоянной С, при котором полученное решение будет удовлетворять данным начальным условиям:

5 =C0 e0 C0 =5.

Следовательно, искомое частное решение имеет вид y =5 e−x2 .

Задачи для самостоятельной работы по данной теме

Найти общие решения следующих ДУ:

1.x y dx +(x +1)dy = 0.

2.x2 +1 dx = x y dy .

3.e x dx + e y (1 −e x )dy = 0 .

4.x (y2 +1) dx = y e x2 dy .

5.x y′= tg y .

6.2x y y′= y2 −1.

Найти частные решения следующих ДУ:

7

1.3. Однородные дифференциальные уравнения

Определение 1. Функция f (x;y) называется однородной степени m, если при всех t выполняется тождество

f (tx;ty) = tm f (x;y).

Определение 2. Уравнение

называется однородным, если функции M (x;y) и N(x;y) являются однородными одной и той же степени.

Определение 3. Уравнение y′ = f (x; y) (1′) называется однородным, если функция f (x; y) есть однородная функция нулевой степени, т. е. f (tx;ty) = f (x;y).

Метод решения

Однородные дифференциальные уравнения приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью замены

y = z x.

Тогда

dy = xdz + zdx,

либо

y′= z′ x + z.

Пример 1. Найти общий интеграл ДУ

(x2 −3y2 )dx +2x y dy = 0 .

dy = xdz + zdx. Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим:

(x2 −3z2 x2 )dx +2x z (x dz + z dx) = 0.

x2 (1−3z2 )dx +2x3 z dz + 2 x2 z2 dx = 0 .

8

2x3 z dz + x2 (1 −3z2 + 2z2 )dx = 0 : x2 . 2x z dz +(1 − z2 )dx = 0.

Переменные разделены, вычислим интегралы от обеих частей уравнения:

частные решения.

Задачи для самостоятельной работы по данной теме

Найти общие решения следующих ДУ:

1.(x + 2 y)dx − x dy = 0 .

2.(x − y)dx +(x + y)dy = 0.

3.2x3 y′ = y(2x2 − y2 ).

4.(x2 + y2 )y′ = 2x y .

5.y2 + x2 y′ = x y y′.

6.(y + xy)dx = x dy .

7.y′=1+ xy .

8.y2dx = (x2 + x y)dy.

9.y′(y2 + 2x y − x2 ) = y2 −2x y − x2 .

10.x y′ = 3y −2x −2xy − x2 .

9