Дифференциальные уравнения и их приложения в технике. Учебное пособие

ставляя эти выражения в исходное уравнение, получим:

20

Правая часть уравнения не содержит переменной x.

Метод решения

Порядок уравнения можно понизить с помощью замены переменной:

y′ = z(y) y′′ = z′y y′x = z′y z.

Итак, в исходное уравнение подставляем

y′ = z(y),

y′′ = z′y z(y).

Получим для определения функции z(x) уравнение первого порядка z′y z = f (y,z).

Решая его, найдем z = ϕ(y,C1 ), а затем, интегрируя второе уравнение первого порядка y′ = ϕ(y,C1 ), получим искомый общий интеграл исходного уравнения.

Пример 1. Найти частное решение ДУ y′′ = 2 y3 при заданных

z = y4 +C1 y′ = y4 +C1 .

21

Воспользуемся начальными условиями y x=0 =1; y′x=0 =1 для определения C1 :

1 = 1+C1 C1 = 0 .

Итак, y′ = y4 = y2 . Решаем второе уравнение y′ = y2 .

22

Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

3.1. Основные понятия. Теоремы о структуре общего решения линейного однородного и линейного неоднородного уравнений

Определение 1. Уравнение вида

называется линейным неоднородным, если f (x) ≠ 0. В случае если f (x) = 0 , уравнение называется линейным однородным. Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее уравнению (1),

Замечание. Данное определение линейной независимости справедливо лишь для частных решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

Теорема 1 (о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения)

Пусть y1 (x) и y2 (x) – два линейно независимых частных решения уравнения (1′), тогда общее решение этого уравнения Y (x)

имеет вид

Y (x) = C1 y1 (x)+C2 y2 (x),

C1 и C2 – произвольные постоянные.

Теорема 2 (о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения)

Пусть y(x) – какое-либо частное решение неоднородного уравнения (1):

y′′+ p(x)y′+ q(x)y = f (x),

23

а Y (x) – общее решение соответствующего ему однородного уравнения (1′):

y′′+ p(x)y′+ q(x)y = 0.

Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид y(x) =Y (x)+ y(x).

3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим дифференциальное уравнение

с постоянными коэффициентами p и q .

По теореме 1 из п. 3.1 известно, что общее решение уравнения

(1′) имеет вид Y (x) = C1 y1 (x)+C2 y2 (x).

Найдем линейно независимые частные решения y1 (x) и y2 (x).

Метод Эйлера

Будем искать решения y1 (x) и y2 (x) в виде экспоненты, т. е. y1,2 = ekx , где k – неизвестная постоянная величина.

Определим, при каких k функция y = ekx является решением урав-

нения (1′). Для этого подставим в уравнение (1′) y = ekx , y′ = kekx , y′′ = k 2ekx .

Получим

k 2 ekx + p kekx + q ekx = 0 k 2 + p k + q = 0 .

Для определения k получили квадратное уравнение, которое называют характеристическим. В зависимости от значения дискриминанта D корни могут быть следующими:

а) действительными различными: k1 ≠ k2 (D > 0); б) действительными равными: k1 = k2 = k (D = 0);

в) комплексно сопряженными: k1,2 = α ±iβ (D < 0). Рассмотрим эти три случая:

а) k1 ≠ k2 (D > 0).

24

найденные частные решения линейно независимы и по теореме 1 из п. 3.1 получаем общее решение:

ляется решением уравнения (1′), тогда линейно независимыми частными решениями будут функции y1 = ekx и y2 = xekx . Общее решение примет вид

25

y1,2 (x) = ekx ; y1′,2 (x) = k ekx ;

y1′′,2 (x) = k 2ekx .

Подставляя эти выражения в исходное дифференциальное уравнение, получим для определения k алгебраическое уравнение второй степени

k 2 −5k + 6 = 0.

Решая квадратное уравнение, нашли его корни: k1 = 2 ; k2 = 3. Получили первый случай, когда k1 ≠ k2 (корни действительные различные). Следовательно,

определения k получим алгебраическое уравнение второй степени k 2 −4k + 4 = 0 .

Решая квадратное уравнение, получаем k1,2 = 2. Имеем второй

случай: корни характеристического уравнения действительные равные.

Следовательно, общее решение исходного ДУ имеет вид

ляя в исходное ДУ следующие выражения:

26

Искомое общее решение имеет вид

Y (x) = C1e x cos x +C2 e x sin x.

3.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение

Общее решение уравнения (1) имеет вид y(x) =Y (x)+ y(x) (см. п. 3.1, теорема 2), где Y (x) – общее решение соответствующего однородного уравнения, а y(x) – какое-либо частное решение уравнения (1). Как найти Y (x), мы выясняли в предыдущем параграфе. Для определения y(x) воспользуемся методом неопределенных коэффициентов, который состоит в следующем: частное

y(x) =Qn (x), где Qn (x) – многочлен той же степени n, лишь с неопределенными коэффициентами: y(x) =Qn (x), если 0 не является корнем характеристического уравнения; y(x) = x Qn (x), если число 0 является одним из корней характеристического уравнения; y(x) = x2 Qn (x), если оба корня являются нулями.

27

характеристического уравнения. А и В – неопределенные коэффициенты. Отметим, что если в выражение функции f (x) входит

только одна функция cos(β x) или sin(β x), то y(x) содержит обе эти функции. Неопределенные коэффициенты многочленов Qn (x)

и А, В можно найти из системы алгебраических уравнений, подставляя в исходное уравнение (1) функцию y(x) вместо y(x)

и приравнивая коэффициенты подобных членов в правой и левой частях полученного равенства.

Пример 1. Найти общее решение уравнения y′′−7y′+6y = x2 −1.

Решение

y(x) =Y (x)+ y(x).

y(x) = Ax2 + Bx +C – многочлен той же степени, но с неопределен-

ными коэффициентами.

Вычислим коэффициенты А, В, С.

y(x) = Ax2 + Bx +C ,y′(x) = 2Ax + B ,

y′′(x) = 2A.

28

Подставим эти выражения в исходное уравнение и получим

2A −14Ax −7B +6Ax2 + 6Bx +6C = x2 −1.

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного уравнения:

y′′+9y = −sin(3x).

Решение

y(x) = Y (x)+ y(x).

Найдем Y (x) – общее решение однородного уравнения y′′+9y = 0.

Y (x) = C1 cos(3x)+C2 sin(3x).

Найдем y(x) – частное решение исходного уравнения y(x) = (Asin(3x)+ B cos(3x))x.

Мы домножаем на x , так как ±3i – корни характеристического уравнения. Найдем коэффициенты А и В:

y(x) = (Asin(3x)+ B cos(3x))x.

y′(x) = (A +3Bx)cos(3x)+(B −3Ax)sin(3x). y′′(x) = (6B −9Ax)cos(3x)+(−6A −9Bx)sin(3x).

Приравнивая коэффициенты при sin(3x) и cos(3x) в правой и левой частях уравнения, получим систему:

29