Дифференциальные уравнения и их приложения в технике. Учебное пособие

Вариант 22

1. (x y2 + x)dx +(y − x2 y)dy = 0. 2. (1 + e x ) y y′ = e x , y(1) =1.

3.y′+ 2x y = 2x2 e−x2 .

4.y′+2 y = x2 + 2x .

5.y′− y tg(x)+ y2 cos(x) = 0.

7.y′′+6y′+9y = 0.

8.6y′′+ 4y′+ y = e x .

9.4y′′+9y′ = 2x2 +5x −1.

10.y′′−6y′+8y = cos x +sin x .

2 2

Вариант 23

1.x y y′ =1− x2 .

2.3e x tg(y)dx + (1 + e x )cosdy2 (y) = 0.

3.x y′− y = x2 cos(x).

4.y′+ xy = 2 ln(x)+1.

5.2 y′− xy = xx2 −y1.

7.y′′−8y′+16y = 0 .

8.y′′−4y′+6y = 3cos(2x)+sin(2x).

9.4y′′+7y′ = x2 −1.

10.y′′+9y′+ 20 y = e x .

50

Вариант 24

1.y y′ =1−y2x .

2.x 1 − y2 dx + y 1 − x2 dy = 0.

3. y′ = e2 x − y e x , y(0) =1.

4.x y′−4y − x2 y = 0.

5.(1 + x2 ) y′+ y = arctg(x).

7.y′′−2 y′+ y = 0.

8.5y′′+8y′ = 2x −3.

9.6y′′− 4y′+ y = e2 x .

10.y′′+3y′−4y = cos(5x).

3.(x y′−1)ln(x) = 2 y.

4.y′+ 2 y = e−x2 .

xx

5.x y′+ 2 y = 2 y cos(x).

7.y′′+10 y′+25y = 0 .

8.5y′′+ y′ = x −1.

9.y′′+5y′+7y = cos(2x)−3sin(2x).

10.y′′−4y′+3y = 2e x .

3. 2x (x2 + y)dx = dy .

51

4.y′− y = e x .

5.x2 y′ = y (x + y2 ).

7.y′′−12 y′+36y = 0.

8.5y′′+2 y =1− x +3x2 .

9.7y′′+5y′+ y = x .

10.2 y′′−3y′+ 2 y = e3x .

Вариант 27

3.(2x +1) y′ = 4x + 2 y.

4.y′+ x2 y = x2 .

5.y′+ y = x y3.

7.9y′′+12 y′+ 4y = 0 .

8.5y′′+3y′ = 2e2 x .

9.2 y′′+5y′+ 4y = cos(x).

10.y′′+ 4y′+3y = 2x3.

Вариант 28

3.y′cos(x)− y sin(x) = sin(2x).

4.(x2 + x) y′ = 2 y +1.

5.y′+ x 3 y = 3y .

7.y′′−2 y′+2 y = 0 .

8.5y′′+ 4y = e2 x .

52

9.2 y′′−5y′+4y = x2 −2x +3.

10.y′′+6y′+8y = 3cos(x)−2sin(x).

Вариант 29

7.y′′−4y′+4y = 0 .

8.5y′′+6y = −2sin(x).

9.3y′′+5y′+3y = x2 +2x −5 .

10.4y′′−7y′−8y = 4e2 x .

Вариант 30

1. (3x +5)dy +3y2 dx = 0 .

3.y′ = e2x − y e x .

4.x y′+5y = 2x2 .

5.x dy = (x5 y2 − 2 y)dx.

7.y′′+6y′+9y = 0.

8.y′′−11y = 3cos(x).

9.3y′′−5y′+3y = x −2.

x

10. 4y′′+7y′−8y = 3e 4 .

53

Приложение 2

Краткая историческая справка

Теория дифференциальных уравнений зародилась на рубеже XVII–XVIII веков. Термин «дифференциальное уравнение» принадлежит великому немецкому математику Готфриду Вильгельму Лейбницу (1646–1716), создавшему (наряду с И. Ньютоном) дифференциальное и интегральное исчисление.

Стремительный прогресс естествознания и техники ставил новые задачи, которые приводили к дифференциальным уравнениям. Поиск методов решения полученных дифференциальных уравнений был одной из основных проблем, ставших перед математиками. Лейбниц и его ближайший ученик и соратник Иоганн Бернулли (1667–1748) разработали методы интегрирования дифференциальных уравнений 1-го порядка, изложенные в 1-й главе: метод разделения переменных, метод решения однородных дифференциальных уравнений, метод решения линейных дифференциальных уравнений и уравнений, носящих имя Бернулли.

Отметим, что И. Бернулли ввел понятие порядка дифференциального уравнения, ему же принадлежит и выражение «разделение переменных». Обладавший большим педагогическим даром, он подготовил блестящую плеяду ученых нового поколения, среди которых величайший математик XVIII века Леонард Эйлер (1707–1783). Л. Эйлер родился в Базеле 4 апреля 1707 года в семье священника. Обучаясь в старших классах семинарии, Эйлер в свободное время посещал лекции И. Бернулли по математике в Базельском университете. Бернулли заметил необыкновенно талантливого юношу и стал с ним заниматься индивидуально по субботам в свое свободное время.

В 1727 году двадцатилетний Эйлер приехал в Россию,

вС.-Петербург, где проработал 14 лет профессором математики. В 1741 году он покинул Россию и уехал в Берлин. По приглашению Екатерины II в 1766 году Эйлер вернулся в Россию и до конца своей жизни работал в С.-Петербургской Академии наук. Похоронен Эйлер в С.-Петербурге. Леонард Эйлер внес огромный вклад

вразвитие многих областей математики, в частности и в теорию дифференциальных уравнений. Его метод определения частных

54

решений линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами рассмотрен во втором параграфе 3-й главы.

ВXVIII веке значительные результаты в теории дифференциальных уравнений были получены выдающимся французским математиком Ж. Даламбером (1717–1783) и Ж. Л. Лагранжем (1736–1813). Даламбер первым сформулировал и доказал теоремы о структуре общего решения линейного однородного и линейного неоднородного дифференциальных уравнений, причем его формулировки отличаются от современных лишь отсутствием в них условия линейной независимости частных решений. Понятие линейной независимости было введено в математику лишь во второй половине XIX века немецким математиком Э. Кристофером (1825–1900). Один из результатов исследований Лагранжа – метод определения частного решения линейного неоднородного уравнения (метод вариации произвольных постоянных) – изложен в третьем параграфе 3-й главы.

Среди ученых XIX века, разрабатывавших теорию дифференциальных уравнений, назовем великого французского математика О. Коши (1789–1857). Труды Коши относятся к различным областям математики. Всего он опубликовал более 800 работ. Отметим лишь два фундаментальных результата Коши, которых мы касаемся в данном курсе. Это постановка одной из важнейших общих задач теории дифференциальных уравнений – задачи определения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям (задача Коши), и теорема существования и единственности частного решения дифференциального уравнения.

Взаключение укажем, что в XIX–XX веках русские математики В. А. Чаплыгин, С. Л. Соболев, В. В. Степанов получили значительные результаты, обогатившие теорию дифференциальных уравнений.

55

Оглавление

Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка…………. 3

1.1.Основные понятия и определения………………………………... 3

1.2.Уравнения с разделяющимися переменными……………………. 4

1.3.Однородные дифференциальные уравнения…………………….. 8

1.4.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

иуравнение Бернулли………………………………………………….. 10

1.4.1.Метод Бернулли………………………………………………. 10

1.4.2.Метод Лагранжа……………………………………………… 12

1.4.3.Уравнение Бернулли…………………………………………. 14

Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков……….. 17

2.1.Основные понятия и определения………………………………... 17

2.2.Дифференциальные уравнения, допускающие понижение

порядка……………………………………………………………………… 18

Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка…………………………………………………………………….. 23

3.1.Основные понятия. Теоремы о структуре общего решения линейного однородного и линейного неоднородного уравнений…... 23

3.2.Линейные однородные дифференциальные уравнения

спостоянными коэффициентами……………………………………… 24 3.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

спостоянными коэффициентами……………………………………… 27 3.4. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом

4.1.Строительная механика и сопротивление материалов………….. 34

4.2.Теплотехника………………………………………………………. 36

4.3.Гидравлика и технология производства………………………….. 38 Рекомендуемая литература………………………………………………... 40 Приложение 1. Варианты индивидуального задания……………………. 41 Приложение 2. Краткая историческая справка…………………………... 54

56