Дифференциальные уравнения и их приложения в технике. Учебное пособие

y(x) = 16 x cos(3x). Искомое общее решение

y(x) = C1 cos(3x)+C2 sin(3x)+ 16 x sin(3x).

3.4. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации произвольных постоянных Лагранжа

Рассмотрим неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Если правая часть уравнения (1) f (x) не является функцией

вида, рассмотренного в п. 3.3, то общее решение возможно определить с помощью метода Лагранжа.

Пусть удалось найти общее решение соответствующего однородного уравнения

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде (2), рассматривая при этом C1 и C2 как новые неизвестные

функции от x c1(x) и c2 (x):

Тогда

30

и y2 (x) – решения однородного уравнения, следовательно, для того чтобы функция y(x) удовлетворяла исходному уравнению, необходимо, чтобы выполнялось равенство

31

Задания для самостоятельной работы

Найти общие решения следующих ДУ:

3.y′′+5y′+6y = 1 +1e2 x .

4.y′′+ 4y = ctg(x).

5.y′′+ y = cos(1 2x) .

6.y′′− y′−6y = tg(x).

33

Глава 4. ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

4.1. Строительная механика и сопротивление материалов

Задача 1. Стальная проволока длиной l0 с поперечным сече-

нием F растягивается силой, постепенно возрастающей до величины P . Найти работу растяжения.

Решение

Удлинение проволоки ∆l , м, под влиянием растягивающей силы P , кг, определяется по формуле

Принимая на бесконечно малом участке удлинения dl силу P постоянной, получим производимую этой силой на рассматриваемом участке работу

dW = Pdl .

Принимая во внимание равенство (2), получаем дифференциальное уравнение, представляющее собой математическую модель

Интегрируя (2), получим общее решение

W = 2klF0 P2 +C .

Для определения произвольной постоянной C используем начальные данные: при P = 0 W = 0:

0 = 2klF0 0 +C C = 0.

34

Таким образом, искомая работа растяжения имеет вид

W = 2klF0 P2 .

Задача 2. Стальная проволока длиной L защемлена в одном из концов и под действием своего веса находится в положении равновесия. Определить удлинение проволоки. Удельный вес стали

– γ.

Решение

Величина натяжения T меняется в зависимости от места сечения. Это натяжение равно весу ниже расположенной части проволоки, поэтому различные элементы проволоки растягиваются различно. В точке, расположенной на расстоянии x от закрепления, элемент dx испытывает натяжение Т, определяемое из пропорции

где P – вес всей проволоки. Из уравнения (1) получаем

T = PL (L − x).

Удлинение проволоки ∆l , м, под влиянием растягивающей силы Т, кг,

∆l = k TF L ,

где k – коэффициент удлинения; F – площадь поперечного сечения, см2. Для растяжения элемента dx имеем

dl = k TF dx,

или

Но, с другой стороны, P = γ1000L F , кг, если L измеряем в сантиметрах.

35

Подставляя последнее выражение в уравнение (2), получим дифференциальное уравнение, представляющее собой упрощенную математическую модель процесса,

Интегрируя дифференциальное уравнение (3), получим полное удлинение:

4.2. Теплотехника

Задача 1. В цилиндрическом сосуде объемом V0 = 0,1m3 заключен атмосферный воздух, который адиабатически (без обмена с окружающей средой) сжимается до объема V0 = 0,1m3. Вычис-

лить работу сжатия.

Решение

При адиабатических изменениях состояния газа его давление и объем связаны уравнением Пуассона:

где k – постоянная для этого газа величина. Для воздуха k ≈1/4. Атмосферное давление P0 =10330 мкг2 . Пусть S – площадь порш-

ня; V – объем газа и P – давление газа, когда поршень находится на высоте x ; −dx – бесконечно малое перемещение (опускание поршня) при сжатии; P0 – первоначальное давление газа; V0 – пер-

воначальный объем газа. Бесконечно малая работа при опускании поршня

dW = −P Sdx,

но Sdx = dV . Отсюда следует, что

36

Тогда дифференциальное уравнение процесса примет вид

0 = P0 V0 lnV0 + C C = −P0 V0 lnV0 .

Таким образом, работа расширения

W = P0 V0 ln V . V0

4.3. Гидравлика и технология производства

Задача 1. На дне цилиндрического резервуара, наполненного жидкостью, образовалась щель. Принимая скорость истечения жидкости пропорциональной высоте уровня ее в резервуаре и зная, что в течение первых суток вытекло 10 % содержимого, определить, сколько времени потребуется, чтобы из сосуда вытекла половина жидкости.

Решение

Пусть R – радиус резервуара; h – его высота; x – высота уровня в резервуаре по истечении t дней. Тогда объем жидкости

в резервуаре в момент t равен π R2 x , а скорость изменения объема

где k – коэффициент пропорциональности. Разделяя переменные, получим

π R2 dx = kdt x

38

или, проинтегрировав, находим общее решение:

По начальным условиям при t = 0 резервуар полностью на-

полнен, так что x = h. Следовательно, π R2 ln h = C и уравнение

(2) примет вид

π R2 ln x = k t + π R2 ln h или π R2 ln hx = k t . По дополни-

тельным условиям при t =1 x =109 h, и тогда коэффициент пропор-

циональности k = π R2 ln 109 . Для интересующего нас случая (при x = h2 ) искомое время

39