Дифференциальные уравнения и их приложения в технике. Учебное пособие
.pdfРекомендуемая литература
1.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2 т.
Т. 1 / Н. С. Пискунов. – М. : Наука, 1964. – 475 с.
2.Письменный Д. Т.Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 /
Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-Пресс, 2011. – 288 с.
3.Бугров Я. С. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я. С. Бугров, С. М. Николь-
ский. – М. : Наука, 1981. – 353 с.
4.Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа /
Г. Н. Берман. – М. : Наука, 1969. – 470 с.
5.Матвеев Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Н. М. Матвеев. – СПб. : Лань, 2002. – 291 с.
6.Пономарев К. К. Составление и решение дифференциальных уравнений инженерно-технических задач / К. К. Пономарев. – М. : Просвещение, 1962. – 183 с.
7.Коновалова Л. В. К истории развития теории линейных обыкновен-
ных дифференциальных уравнений в XVIII веке / Л. В. Коновалова // Математическое естествознание в его развитии. – Киев : Наукова думка, 1997. –
С. 27–32.
40
Приложение 1
Варианты индивидуального задания
Вариант 1
1.x y dz + (x +1)dy = 0.
2.tg(y) y − x ln(x)dy = 0.
3.y′+ 2x y = x e−x2 .
4. |
y′ |
|
|
y |
|
|
|
|
|
x |
|
||||
+ |
|
|
|
|
|
|
= tg |
|
. |
||||||
sin(x) |
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. |
y′ |
+ |
x |
= x |
2 |
y |
4 |
. |
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
6. |
y |
′′ |
−3y |
′ |
+ 2 y = 0, y(0) = 2, y (0) = −1. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|||
7.5y′′+10 y′+5y = 0 .
8.y′′+ 2 y′+3y = 0.
|
− |
x |
|
9. y′′+ 2 y = 2e |
3 . |
||
10. 6y′′− y′− y = 2sin(x).
Вариант 2
1.
y +1 dx = x y dx .
2.
1 − y2 dx + 
1 − x2 dy = 0 .
3.y′+2 y = 4x .
4.(1 − x2 ) y′− x y = x .
5.y′ x + y = −x y2 .
6. y |
′′ |
−5y |
′ |
+6y = 0, y(0) = 3, y (0) =1. |
|
|
′ |
7.y′′+12 y′+36y = 0 .
8.3y′′+ 2 y′+ y = 0.
9.y′′+ 2 y = x2 .
10.y′′− y′−6y = tg(x).
Вариант 3
1.2x2 y y′+ y2 = 2 .
2.(1 + y2 )dx +(1+ x2 )dy = 0 .
41
3.x y′−2 y = 2x4.
4.y′+ y = e−x .
5.y′+2x y = 2x3 y3.
6. y |
′′ |
− 2 y |
′ |
−3y = 0, y(0) = 2, y (0) = −2 . |
|
|
′ |
7.2 y′′+ 4y′+2 y = 0.
8.y′′−2 y′+3y = 0 .
9.2 y′′+ y = (x −2)2 .
10.2 y′′+ y′−3y =sin(x)+cos(x).
Вариант 4
1.y′− x y2 = 2x y .
2.x2 (y2 +5)dx +(x3 +5) y2 dy = 0 .
3.y′+ y tg(x) = cos(1 x).
4.(1 + x2 ) y′− 2x y = (1 + x2 )2 .
5.y′+ 2 y = y2 ex .
6.2 y′′+5y′+ 4y = 0.
7.y′′−6y′+9y = 0.
8. y |
′′ |
+ y |
′ |
= 0, y(0) = 2, y (0) = 5. |
|
|
′ |
9.2 y′′+3y = cos(5x).
10.2 y′′−5y′+2 y = 5x e2x .
Вариант 5
1.2x y′+ y2 =1.
2.x 
1+ y2 dx + y 
1+ x2 dy = 0 .
3.(x y +e x )dx − x dy = 0 .
4.(2x +1) y′+ y = x .
5.y′ = 4x y + x 
y .
6.y′′+ 4y = 0.
7.2 y′′−8y′+8y = 0 .
8. y |
′′ |
−7y |
′ |
+ 6y = 0, y(0) =1, y (0) = −1. |
|
|
′ |
42
5x
9.2 y′′−5y′+ 4y = e 4 .
10.2 y′′− y′−3y =sin(2x).
Вариант 6
1.y′ cos(x) = ln(yx).
2.y′ = 2x y + x3.
3.x y dx +(1+ y2 )
1+ x2 dy = 0.
4.y′− x2+y1 = (1+ x)3.
5.y′ x2 = y2 + x y .
6.3y′′+5y′+3y = e4x .
7. y |
′′ |
−6y |
′ |
+8y = 0, y(0) =1, y (0) = 0. |
|
|
′ |
8.16y′′+8y′+ y = 0.
9.3y′′+ y = x2 −3x +1.
10.3y′′− y′−2 y = e5x cos(x).
Вариант 7
1. |
ln(cos(x))dy + y tg(x)dx = 0. |
||
2. |
y′ = 5 |
|
, y(0) = 2,5. |
y |
|||
3.y′ =1+ 2xx2−1.
4.y′+ xy = 2 ln(x)+1.
5.4x y +3y = −ex x4 y5 .
6.2 y′′+8y′+8y = 0.
7. y |
′′ |
+9y |
′ |
+ 20 y = 0, y(0) = 0, y (0) =1. |
|
|
′ |
8.3y′′+ 2 y = x −2x2 .
9.3y′′− y′−2 y = x ex .
10.3y′′−5y′+3y = cos(2x).
43
Вариант 8
1.y′ = 2x−y .
2.sin(y)cos(y)dy = cos(y)sin(x)dx.
3.x y′− x y+1 − x = 0 .
4.y′+ y tg(x) = tg(x).
5.y′+ x y+1 = y2 .
6. y |
′′ |
+3y − 4y = 0, y(0) = 4, y (0) = −4. |
|
′ |
7.4y′′−8y′+ 4y = 0 .
8.y′′−3y′ =3x +1.
9.y′′+5y = cos(
5) x .
10.y′′+8y′+7y = 3e−x .
Вариант 9
1. x 
1 + y2 dx + y 
1 + x2 dy = 0 .
2. y′ sin(x) = y ln(y), |
|
π |
=1. |
|
y |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
3.y′+ xy = x2 .
4.y′− 5x y = x52 .
5.y′ = y4 cos(x)+ y tg(x).
6. y |
′′ |
− 4y |
′ |
+3y = 0, y(0) = 3, y (0) = −5. |
|
|
′ |
7.y′′+8y′+16y = 0.
8.3y′′+3y′+ y = x2 .
9.y′′+6y = 3sin(x)+ 2 cos(x).
10.8y′′+9y′+ y = 2e3x .
44
Вариант 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
x dy |
|
+ |
|
y dx |
|
= 0 . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1− y2 |
1− x2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
y′ = (2 y +1)ctg(x), |
|
π |
= |
1 |
. |
||||||||
y |
4 |
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3.y′+3y = e−x .
4.y′ ctg(x)− y = 2 cos2 (x)ctg(x).
5.x2 y′−2x y = 3y .
6. 2 y |
′′ |
−3y |
′ |
+ 2 y = 0, y(0) =1, y (0) = −2. |
|
|
′ |
7.9y′′+6y′+ y = 0.
8.3y′′−3y′+ y = −x + 2.
9.y′′ + 7y′ = sin(2x).
10.y′′+9y′+8y = ln(x).
Вариант 11
|
|
′ |
|
1 |
|
|||
1. |
y y |
= −2x sin(y). |
||||||
|
||||||||
2. |
y′+ 2 |
|
ln(x) = 0, y(e) =1. |
|||||
y |
||||||||
3.y′+ y cos(x) = sin(x)cos(x).
4.(x2 −1) y′− x y = x (x2 −1).
5.y′− 3yx − x93 = 0 .
6.y′′+ 4y′+5y = e2 x .
7. 7y |
′′ |
+ 4y |
′ |
+3y = 0, y(0) = −3, y (0) = 5. |
|
|
′ |
8.y′′+ 2 y′+ y = 0 .
9.2 y′′+5 y = −2x2 +1.
10.4y′′+9y′+2 y = 3cos(x)+5sin(x).
Вариант 12
1. (1 +e x ) y y′ = e x .
2. |
y′ ctg(x)+ y = 2, y(0) = −1. |
3. |
x y′+ (x +1) y = 3x2 e−x . |
45
4.2x y′−6y + x2 = 0.
5.x y′− y (2 y ln(x)−1)+ y = 0 .
6. y |
′′ |
+ 6y |
′ |
+ 2 y = 0, y(0) =1, y (0) = 2 . |
|
|
′ |
7.2 y′′−4y′+ 2 y = 0.
8.y′′+3y′ =5x2 .
9.5y′′+4y′+ y = 0.
10.2 y′′+9y′+4y = 2 cos(x)−3sin(x).
Вариант 13 |
|
|
|||||||
1. |
x2 y′+ y = 0. |
||||||||
2. (1 + e2 x ) y2 dy = e x dx. |
|||||||||
3. |
y′ cos(x)+ y sin(x) =1. |
||||||||
4. |
y′+ |
y |
= e |
x |
. |
||||
x2 |
|
||||||||
5. |
x y′− y2 ln(x)+ y = 0 . |
||||||||
6. 4y |
′′ |
−7y |
′ |
−8y = 0, y(0) =1, y (0) = −2. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
||
7.9y′′−6y′+ y = 0.
8.y′′−4y′+5y = sin(x).
9.2 y′′+7y′ = −x +3.
10.8y′′−9y′+ y = e−2x .
Вариант 14
1. (x + x y)+ y′(x + x y) = 0 .
2. y′ = |
y |
, |
y(0) =1. |
cos(x) ln(y) |
3.y′−4y = cos(x).
4.x (x −1) y′−(x +1) y + 4 = 0 .
5.y′+1 −3yx2 = x 
y .
6. |
4y |
′′ |
+7y |
′ |
−8y = 0, |
y(0) = |
1 |
, |
′ |
1 |
|
|
2 |
y (0) = |
3. |
7.y′′−2 y′+ y = 0.
8.5y′′−4y′+ y = −x +5 .
46
9.2 y′′+8y =sin(2x).
10.y′′−9y′+8y = e2x .
Вариант 15
1. y′+sin(x + y) = sin(x − y).
2. (1 + y2 )dx = x y dy, y(2) =1.
3.y′− 4x y = x e−x2 .
4.y′ = 2x y + y2 .
5.y′ = y2 + x2 .
6. 6y |
′′ |
+ y |
′ |
− y = 0, y(0) =1, y (0) = 4. |
|
|
′ |
7.8y′′+8y′+2 y = 0.
8.3y′′+5y = sin(x).
9.3y′′+ 4y′+2 y = −x2 +2x +1.
10.4y′′−9y′+ 2 y = 3e−3x .
Вариант 16
1. (x y2 + y2 )dx = (x2 − x2 y)dy .
2.y xy′ +e y = 0.
3.y′ cos(x)+ y =1−sin(x).
4.y′+ 4x+ xy2 = 
41+ x2 .
5.y dx − x dy = x y dx .
6. y |
′′ |
+ y |
′ |
−6y = 0, y(0) = 2, y (0) = −3. |
|
|
′ |
7.y′′+ 4y′+ 4y = 0 .
8.3y′′−4y′+ 2 y = 3e2 x .
9.3y′′+7y′ = −x2 +5 .
10.2 y′′−9y′+ 4y = cos(2x)−2sin(2x).
Вариант 17
1.(1 + x) y′+ y = 0.
2.y ln3(y)+ 
x +1 y′ = 0 .
47
3. |
(1 − x2 ) y′+ y = arctg(x). |
|
|
|
|||||||
4. (x2 −1) y′− x y = x3 − x. |
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 y |
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
5. |
y′+ |
= 3x |
y 3 . |
|
|
|
|
||||
x |
|
1 |
|
|
1 |
||||||
6. |
6y |
′′ |
− y |
′ |
− y |
= 0, y(0) = |
, |
′ |
|||
|
|
2 |
y (0) = − |
3. |
|||||||
7.3y′′+6y′+3y = 0 .
8.2 y′′+ 4y′+3y = e2x .
9.3y′′+8y′ =1−2x2 .
10.y′′−3y′+ 2 y = 5e2 x .
Вариант 18 |
|
|
|
||||||||||
1. |
x + x y + y2 (1 + x) y′ = 0 . |
|
|
||||||||||
2. |
y′ sin(x) |
+ y ln(y) = 0, |
|
π |
=1,7. |
||||||||
y |
|
||||||||||||
3. |
y′+ y = cos(x). |
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
4. |
x2 y + y = x2 e x . |
|
|
|
|||||||||
5. |
y′− |
|
y |
|
y2 |
|
|
|
|||||
|
|
= |
|
. |
|
|
|
||||||
x −1 |
x −1 |
|
|
|
|||||||||
6. |
y |
′′ |
− y |
′ |
−6y = 0, y(0) = 3, y (0) = −2. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
||
7.y′′+ 2 y′+ y = 0 .
8.2 y′′−4y′+3y = x2 +2x +1.
9.4y′′+ y = 2 cos(2x).
10.y′′−5y′+6y = e3x .
Вариант 19
1. tg(y)cosdx2 (x) + tg(x)cosdy2 (y) = 0 . 2. (1 + e x ) y y′ = e x , y(0) =1.
3.(1 − x2 ) y′+ 2x y − 4x = 0.
4.(1 − x2 ) y′+ 2x y + 4x = 0 .
48
5. y′+ |
|
2 y |
|
2 |
y |
|
. |
||
|
|
|
= |
|
|||||
|
x |
|
cos2 (x) |
||||||
6. 2 y |
′′ |
+ y |
′ |
−3y = 0, y(0) =1, y (0) = −1. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
′ |
||
7.16y′′−8y′+ y = 0 .
8.3y′′+ 4y′+3y = e−x .
9.4y′′+3y = 2x2 −1.
10.y′′−2 y′−3y = cos(2x)−3sin(2x).
Вариант 20
1. sin(x)sin(y)dx + cos(x)cos(y)dy = 0 . 2. (x y2 + x)dx +(x2 y − y)dy = 0.
3.y′+ 2 y = e−x2 .
xx
4.y′+ x y = (x −1)e−x .
5.y′− x y = −e−x2 y3.
6. 2 y |
′′ |
−5y |
′ |
+ 2 y = 0, y(0) = 2, y (0) =1. |
|
|
′ |
7.4y′′+ 4y′+ y = 0 .
8.3y′′−4y′+3y = −x +3.
9.4y′′+13y = cos(x).
10.y′′+ y′ = e−x .
Вариант 21
1.(1 + x2 ) y′+ y 
1 + x2 = x y .
2.y′+cos(x +2 y) = cos(x −2 y).
3.x2 y′+ x y +1 = 0 .
4.y′ = 2 y − x3 −3.
5.x y′+ y = y2 ln(x).
6. 2 y |
′′ |
− y |
′ |
−3y = 0, y(0) = 2, y (0) =1. |
|
|
′ |
7.y′′−4y′+4y = 0 .
8.y′′+ 4y′+6y = cos(2x)−sin(2x).
9.4y′′+ y′ = 2x2 −3x.
10.y′′−7y′+ 6y = e16x .
49