Дифференциальные уравнения и их приложения в технике. Учебное пособие

1.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли

Определение 1. ДУ называется линейным, если искомая функция и ее производная входят в уравнение только в первой степени и не перемножаются между собой.

Линейное уравнение первого порядка имеет вид

Рассмотрим два метода решения уравнения (1): метод Бернулли и метод Лагранжа.

1.4.1. Метод Бернулли

Будем искать функцию y(x) в виде произведения двух неизвестных функций:

y(x)=u(x) v(x).

Каждое уравнение системы (2) есть уравнение с разделяющимися переменными. Решая первое уравнение системы (2), находим функцию v . Подставляя найденное выражение во второе уравнение системы, определяем функцию u.

10

Пример 2. Найти частное решение ДУ y′− y tg x = sin x , удовлетворяющее начальным условиям y x=0 =1.

Решение

Решаем первое из уравнений системы: v′−v tg x = 0.

11

Решаем второе уравнение системы:

Найдем значение произвольной постоянной C , такое чтобы было выполнено начальное условие y x=0 =1:

Искомое частное решение имеет вид

1.4.2. Метод Лагранжа

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

Если q(x)=0, то уравнение (1) называется линейным однородным ДУ, если q(x) ≠0, то уравнение (1) называется линейным

неоднородным ДУ.

Рассмотрим сначала однородное уравнение

В случае уравнений первого порядка однородное линейное уравнение является ДУ с разделяющимися переменными. Найдем его общее решение:

12

Получили общее решение уравнения (1′).

Полагая произвольную постоянную C неизвестной функцией от x C = C(x), подберем эту функцию C(x) так, чтобы выражение

было решением неоднородного ДУ (1). Для определения C(x) под-

где C1 – произвольная постоянная.

Таким образом, общее решение линейного уравнения (1) имеет вид

y = C e−2 x .

Полагая C = C(x), определим эту функцию C(x) таким образом, чтобы функция y = C(x) e−2 x удовлетворяла исходному урав-

13

ния y = C e−2x и получим искомое общее решение исходного неоднородного уравнения:

y= e−2 x (C1 +e2 x (2x +1))=C1 e−2x + 2x −1.

1.4.3.Уравнение Бернулли

где m ≠ 0 и m ≠1.

Уравнение Бернулли (3) может быть преобразовано к линейному уравнению (1) с помощью подстановки y = z1−m , но при ин-

тегрировании конкретных уравнений проще применять сразу либо метод Бернулли, либо метод Лагранжа.

Пример 1. Найти методом Лагранжа общее решение ДУ y′+ 2x y =2x3 y3.

Решение

Данное уравнение является ДУ Бернулли. Применяем метод Лагранжа. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

y = C e−x2 .

14

Интегрируя выражение, стоящее в правой части уравнения, по частям, получим:

Следовательно, искомое общее решение исходного уравнения будет иметь вид

u′ v +u(v′+ 2x v) = cos22 x u v .

15

Решаем первое уравнение системы:

Решаем второе уравнение системы:

Задачи для самостоятельной работы по данной теме

Найти общие решения следующих ДУ: 1. y′+ 2x y = e−x2 .

2. y′+ y = cos(x). 3. y′− 3x y = x2 .

4. y′+ x y = −x . 5. y′− 2x y = e x2 . 6. y′−2x y = 2x3. 7. y′+ 1x y = − x12 .

8. y′− y = e x . x

9.y′+ x y+1 = −y2 .

10.y′+ 1x y = lnxx y2 .

16

Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

2.1. Основные понятия и определения

Определение 1. Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

Рассмотрим ДУ n-го порядка, разрешенное относительно y(n) :

Сформулируем теорему существования и единственности решения дифференциального уравнения (1′).

Теорема Коши

Пусть дано ДУ y(n) = f (x; y;y′;y′′; y(n−1) ), разрешенное от-

носительно старшей производной.

Если правая часть уравнения непрерывна по всем аргументам

внекоторой области D изменения аргументов x; y;y′; y′′; ;y(n−1)

икроме того имеет непрерывные частные производные по пере-

общим решением уравнения (1′), если она удовлетворяет следующим условиям:

1. y = ϕ(x,C1,C2 ,...,Cn ) удовлетворяет уравнению (1′).

2. (x0 ;y0 ;y0′;y0′′; ;y0 (n−1) ) D такие C01 ,C02 ,...,C0n , что

ϕ(x0 ,C 01,C0 2 ,...,C 0 n ) = y0 .

17

ϕ′(x0 ,C 01 ,C 0 2 ,...,C 0 n ) = y0′ .

……………………………

ϕ(n−1)(x0 ,C01 ,C0 2 ,...,C 0 n ) = y0 (n−1) .

Определение 3. Если соотношение, связывающее x, y и n

произвольных постоянных, дано в виде, не разрешенном относительно y : Φ(x, y,C1,...,Cn ) = 0 , то мы будем называть такое соот-

ношение общим интегралом ДУ.

Определение 4. Решение, полученное из общего при замене произвольных постоянных конкретными значениями, называется частным решением.

Установим случаи, когда задача интегрирования уравнения

(1) или (1′) может быть сведена к интегрированию ДУ порядка, меньшего чем n .

2.2. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Случай I. y(n) = f (x).

Правая часть уравнения содержит только одну переменную – x . Уравнение решается последовательным интегрированием n раз:

18

y′ = −∫(ln x +1)d(ln x +1)+∫C1dx. y′ = −(lnx2+1)2 +C1 x +C2 .

∫dy = ∫(−cos x +sin x +C1 )dx.

y = −sin x −cos x +C1 x +C2 .

Получили общее решение.

Замечание. В дальнейшем будем рассматривать только уравнения второго порядка.

Случай II. y′′ = f (x, y′).

Правая часть уравнения не содержит переменную y .

Метод решения

Порядок уравнения можно понизить заменой переменной:

Сделав эту замену, получим ДУ первого порядка относительно новой неизвестной функции z(x)

z′ = f (x,z(x)).

19