Дифференциальные исчисления функции одной переменной. Методические рекомендации

Махова Наталья Борисовна Мацур Франческа Казимировна

Неопределенные и определенные интегралы

Методические рекомендации

Альтаир – МГАВТ Московской государственной академии водного транспорта

117105 г. Москва, Новоданиловская наб., д.2, корп. 1

3

Махова Н.Б., Мацур Ф.К. Дифференциальные исчисления функции одной переменной. Методические рекомендации.– Альтаир-МГАВТ, 2010 г.

– 52 с.

Методические рекомендации содержат теоретические сведения по теме дифференциальное исчисление функции одной переменной по курсу «Высшая математика». В работе детально разобраны типовые задачи, приведено большое количество вариантов заданий для самостоятельного решения.

Данные методические рекомендации могут быть использованы при подготовке студентов к интернет-тестированию.

Для студентов I курса очного и заочного обучения технических специальностей.

Рецензент – кандидат физико-математических наук, профессор кафедры Высшей математики Киселев Д.М.

Рассмотрены и рекомендованы к изданию на заседании кафедры Высшей математики (протокол №10 от 10 июня 2010 г.)

Рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом МГАВТ.

Ответственность за оформление и содержание передаваемых в печать материалов несут авторы и кафедры академии, выпускающие учебнометодические материалы.

МГАВТ, 2010

Махова Н.Б., 2010

Мацур Ф.К.

4

Оглавление

5

ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

Производная – одно из важнейших понятий современной математики. С помощью производной можно характеризовать скорость изменение функции, скорость протекания некоторого процесса, явления. С введением производной появилась возможность решать задачи, не доступные методам элементарной математики.

§1. Задачи, приводящие к понятию производной

Кпонятию производной приводят многие задачи геометрии, физики, химии и других наук. Рассмотрим некоторые из них.

Задача о касательной. Касательной к линии l в точке M 0 называется предельное положение

M 0T (рис. 1) секущей M 0 M , когда точка M (произвольным образом) стремится к M 0 вдоль данной

где φ – угол, образуемый секущей M 0 M с осью Ox.

Таким образом, задача о касательной приводит к необходимости рассмотрения предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Задача о скорости неравномерного прямолинейного движения. Рассмотрим не-

равномерное прямолинейное движение точки M, осуществляемое по закону x f t , где

Данная задача также сводится к нахождению аналогичного предела.

Задача о скорости химической реакции. Обозначим через Q количества вещества, вступившего в химическую реакцию к моменту времени t, очевидно, Q Q t .За промежуток времени t это количество увеличится на Q .

Средней скоростью химической реакции за указанный промежуток времени t называется отношение

а скорость реакции в момент времени t – предел указанного отношения при t 0 :

Итак, три различные задачи привели к необходимости рассмотрения предела отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Такой предел называется производной данной функции в данной точке.

§ 2. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл

Производной функции y f x в точке x0 называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

7

Формула (7) выражает геометрический смысл производной: производная от данной функции в данной точке равна тангенсу угла между осью Ох и касательной к графику этой функции в соответствующей точке (см. рис. 1).

Уравнение касательной к линии y f x в точке M 0 x0 , y0 принимает вид

Формула (10) выражает физический смысл производной: производная от пути по времени равна скорости прямолинейного движения точки.

Если в формуле (5) от точки x0 перейти к другой точке х, то получим другой предел, поэтому f / x –некоторая функция аргумента x:

8

З а м е ч а н и е . Употребляются и другие символы для обозначения производной функции y f x или x f t :

то говорят, что в точке х существует бесконечная производная, равная соответственно , .

Геометрическое истолкование производной как углового коэффициента касательной к графику распространяется и на этот случай: касательная в данном случае параллельна оси Оу (рис. 2, а, б).

Аналогично устанавливается понятие об односторонней бесконечной производной, На рис. 2, в, г изображены графики функций, имеющие острие, направленное вниз или вверх; односторонние бесконечные производные различны по знаку, но существует единственная вертикальная касательная.

В дальнейшем под выражением «функция имеет производную» будем понимать наличие конечной производной, если не оговорено противное.

Рис. 2.

9

Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке данного промежутка a,b , называется дифференцируемой в этом промежутке. Если промежуток является замкнутым, то на концах его имеются в виду односторонние производные.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции выражается следующей теоремой.

§ 3. Производные некоторых функций

Из определения производной следует схема ее нахождения:

1)фиксируется значение х аргумента функции;

2)в точке х аргументу придается приращение х ;

3)вычисляется приращение y , соответствующее приращению х ;

4)составляется отношение приращения функции к приращению аргумента;

5)находится предел указанного отношения, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Рассмотрим некоторые примеры нахождения производных.

П р и м е р 1 . Найти производную функции y c , где c const .