Дифференциальные исчисления функции одной переменной. Методические рекомендации

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Д о к а з а т е л ь с тв о . Если

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

П р и м е р 2 . Найти производную функции y sin x .

Фиксируем некоторое значение х аргумента функции, придадим ему приращение х , найдем

выражение для соответствующего приращения функции:
y sin x x sin x 2sin	x		x
y sin x x sin x 2sin		cos x	.
	2		2

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

	2sin	x		x
y	2sin		cos x
y		2		2
x			x

sin x		x
2
	cos x
x
		2
2

Переходим к пределу, принимая во внимание непрерывность функции f x cos x :

lim	y 1 cos x cos x,
x 0	x
т. е.	sin x / cos x .		(13)
П р и м е р 3 . Найти производную функции y xn		,	где n– действительное число.
		,

Область определения степенной функции y xn зависит от n.

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

					х n	1
у	х х n х n			1		1
у	х х n х n	х	n 1		х
х	х	х			х
х	х				х

и перейдем к пределу при x 0 :

				x n	1
	y		1		1
lim	y	x n 1 lim		x		x n 1 n nx n 1 .
lim	x	x n 1 lim		x		x n 1 n nx n 1 .
x 0	x	x 0		x
				x

При вычислении, были рассмотрены следующие пределы:

log a

1 x

lim

lim log

1 x

x log

lim 1 x

x log

x 0

lim

log a 1 x

log a

(14)

x 0

a x 1

1 y ,

lim

a x 1 y,

x log

при x 0, y 0

lim

1 y

x 0

y 0 log

lim

ln a

1 y

y 0

log

lim

a x 1

ln a

(15)

x 0

lim

x 0

x n

eny 1

при x 0, y 0

lim

e y 1

y 0

		ny	1			y
n lim	e						n 1 1 n
					y
		ny		e		1
y 0

x n

lim

n .

x 0

Следовательно,

хn / nхn 1.

Отметим частные случаи этой формулы:

x /

;

(16)

(17)

1	/	1

		х 2
х

§ 4 Основные правила дифференцирования

Производная алгебраической суммы функций.

ТЕОРЕМА 1. Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций.

До к а з а тел ь с тв о . Пусть	y u x v x ,
скольку y u v , то	у	u	v	,
	x	x	x

Следовательно,

где u x и v x

lim	у	lim	u
x 0	x	x 0	x

– дифференцируемые функции. По-

lim v u v .

x 0 x

u v / u / v/ . (18)

С л е д с т в и е . Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых.

			1				1	1
	4		1			3	1	1
Например, х		х		5	4х
Например, х		х		5	4х			х2
			х				2 х	х2

Производная произведения функций.

ТЕОРЕМА 2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению первой функции на производную второй плюс произведение второй функции на производную первой, т. е.

u v / u /

v v/ u .

(19)

До к а з а тел ь с тв о . Пусть

y uv ,

где u u x ,

v v x

– дифференцируемые функции. Так как

y u u v v uv ,

y u v v u u v ,

u v v

u v

и lim v 0

x 0

на основании теоремы §2, то

lim

uv / vu/ , откуда и следует формула (19). Что и требовалось

x 0

доказать.

Например,

x8 sin x / x8 / sin x x8 sin x / 8x7

sin x x8 cos x .

С л е д с т в и е 1 . Постоянный множитель можно выносить за знак производной

cv /

cv / .

(20)

Например,

4х3 / 4 х3 / 4 3х2 12х2 .

С л е д с т в и е

2 . Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме

произведений производной каждого из них на все остальные.

Например,

uvw /

u / vw uv/ w uvw/ .

(21)

Производная частного двух функций.

ТЕОРЕМА 3. Производная

частного двух

дифференцируемых

функций

определяется

формулой

u / v uv /

v 0 .

(22)

u	,где u u x ,		v v x		– дифференцируемые функции, причем
v	,где u u x ,		v v x		– дифференцируемые функции, причем
v
					u	v
	v u u v	,	y	v	x	u x
	v v v	,	x		v v v

Следовательно,

lim

u / v uv /

, так как

lim v 0 на основании теоремы §2.

x 0

Например,

х 1

х 1 / х 2

4 х 2

4 / х 1

х 2 4 2х х 1

4 2х х 2

х 2 4 2

х 2 4

Производная обратной функции.

ТЕОРЕМА 4.

Если y f x и x y – взаимно - обратные дифференцируемые функ-

ции и у / 0 , то

х /

(23)

уx/

До к а з а тел ь с тв о . Так как y

то

lim

откуда и следует равенст-

x 0

lim

x 0

во (23). Что и требовалось доказать.

§ 5. Производная сложной функции

Рассмотрим сложную функцию y f x F x , где y f u , u x ; в этом случае u называют промежуточным аргументом, х – независимой переменной.

ТЕОРЕМА. Если y f u , u x – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y f x существует и равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т. е.

y /

u / . (24)

До к а з а тел ь с тв о . В соответствии с условием и по определению производной

y /

lim

u /

lim u .

Так как

u , то

lim y lim

lim u , поэтому

u 0 u

x 0 x

u x

x 0 x

u 0 u x 0 x

y /

u /

или

. Что и требовалось доказать.

dx du

	П р и м е р 1	. Найти производную функции y sin 3x 5 .
	Данную функцию можно представить так: y sin u ,		u 3x 5 . Поскольку
y /	cos u cos 3x 5 , u /	3, то по формуле (24) получаем
u	x
		sin 3x 5 /x cos 3x 5 3 3cos 3x 5 .
	П р и м е р 2	. Найти производную функции у 3 2х 5 .
	y / 5 3 2x 4 2 10 3 2x 4 .

§ 6. Основные формулы дифференцирования

Выведем формулы для производных логарифмической, показательной, тригонометрических, обратных тригонометрических функций. При выводе этих формул будем пользоваться определением производной.

Производная логарифмической функции.

Рассмотрим функцию y log a x . По-

скольку y log a x x log a

x x

x log a

log a

, то

log

Принимая во внимание (14), получаем lim у

log

x 0 x

x ln a

Следовательно,

log

x /

(25)

x ln a

В частном случае, когда a e , получаем

ln x /

(26)

Если u f x , где f x

f x 0 , то по фор-

– дифференцируемая функция, причем

мулам (24) и (26)

ln u /

u /

ux/

или

f / x

f x

(27)

1 /

f x

Например, ln x2 1 /

x2 1

Производная, определяемая формулой (27), называется логарифмической производной функции f x .

П р и м е р: Найти производную функции y xsin x .

Прологарифмируем данное выражение по натуральному основанию и, используя свойства логарифмов, получим: ln y sin x ln x .

Возьмем производную, применив к левой части формулу (27), а к правой (19):

y /

cos x ln x

sin x

Выразим

, учитывая выражение для y:

cos x ln x

Производная показательной функции. Дана функция y a x . Логарифмируя это ра-

венство по основанию e, получаем ln y x ln a , откуда по формуле (27)

	у /	ln a	или y /	y ln a .
		ln a	или y /	y ln a .
	у
Следовательно,
	а х / а х ln a.				(28)
В частном случае, когда a e , получаем
		е х /	е х .		(29)
Если u u x – дифференцируемая функция аргумента х, то по формулам (24), (28),
(29) соответственно находим
	au / au ln a u /				; (30)
		x		u
		еи /	еи и / .		(31)
		x	x
Например, esin x / esin x cos x.

Производная тригонометрических функций. Производная функции y sin x уже была по-

лучена в § 3 (см. формулу(13)). Найдем производные других тригонометрических функций.

Для функции y cos x :	y cos x x cos x 2sin	x		x
Для функции y cos x :	y cos x x cos x 2sin		sin x	;
		2		2

y 2x

lim y

x 0 x

т. е.

sin x
2
	sin x

x
		sin x
lim		2

x 0		x
		2

x	sin x						x
x			2				x
			2	sin x				,
		x		sin x				,
2		x					2
	2
			x		1	sin x,
lim sin x					1	sin x,
x 0			2

cos x / sin x.

(32)

Применяя формулы (13), (22), (31), находим

tgx

sin x /

sin x / cos x sin x cos x /

cos 2

x sin 2

;

cos 2 x

cos 2

cos x

tgx /

(33)

cos 2

Аналогично получаем

ctgx /

(34)

sin 2 x

Производные обратных тригонометрических функций.

Пусть y arcsin x , т. е.

x sin y , причем

у ,

1 х 1. Поскольку

х/ сosy 1 sin 2

1 x2 , то по формуле (23) имеем у /

, т. е.

хy/

arcsin x /

(35)

1 x2

Аналогично находим

arccos x /

(36)

1 x2

Если y arctgx , т. е.

x tgy , то x /

1 tg 2 y 1 x2 ,

у /

, поэтому

cos 2 y

х /

1 x2

arctgx /

(37)

x 2

Аналогично получаем

arcctgx /

(38)

1 x2

§ 7. Производные высших порядков

В дальнейшем производную y / f / x функции

y f x будем называть первой производ-

ной этой функции.

Второй производной (или производной второго порядка) функции

y f x называется про-

изводная от ее первой производной.

Обозначения второй производной функции y f x :

у // у / / , f // x f / x / ,

d 2 y

df / x

dx2

Например, если f x x4 3x2 5, то f / x 4x3 6x, f // x 12x2 6 6 2x2 1 .

Выясним физический смысл второй производной. Пусть закон движения точки М по оси Ох выражается уравнением x f t , в момент времени t точка М имеет скорость V, а в момент t t

– скорость V V , т. е. за промежуток времени t скорость изменилась на V . Средним ускоре-

нием этого движения за промежуток времени t называется отношение Wср V .

Ускорением точки М в момент времени t называется предел указанного отношения при

t 0 , т. е.

W lim	V	,	W V /

t 0	t		t

Поскольку V f / t , то Vt / f / t / f // t , т. е. W f // t . Следовательно, ускорение прямо-

линейного движения точки равно второй производной от пути по времени (точнее, от абсциссы движущейся точки).

Аналогично определяется третья, четвертая производная. Вообще, п-й производной функции y f x называется производная от ее (п–1)-й производной:

у п у п 1 / , f n x f n 1 x / .

Первые три производные обозначаются штрихами, последующие – римскими цифрами. Например,

если y sin x , то

y / cos x , y // sin x , y ///

cos x , y IV sin x , yV cos x и т. д.

З а м е ч а н и е . Для п-й производной от функции

y f x употребляется также следующее обозначе-

d n y

d n 1 y

ние:

(левая часть читается так: «дэ эн игрек по дэ икс эн»). В частности, при п=2

n 1

dx dx

d 2 y

получаем

(читается:«дэ два игрек по дэ икс квадрат»).

dx2

П р и м е р . Найти шестую производную функции y x7 x5 x3 x cos x .

Применяя правило дифференцирования алгебраической суммы функций, формулы (17), (32) и

определение п-й производной n 1,					2, ,6 , последовательно получаем:
	dy	7x6 5x4		3x2 1 sin x ,		d 2 y	42x5 20x3 6x cos x,
		7x6 5x4		3x2 1 sin x ,		dx2	42x5 20x3 6x cos x,
	dx					dx2
	d 5 y		2520x2	120 sin x ,		d 6 y	5040x cos x .
	dx5					dx6
							18

F x, y 0

§8. Производная неявно заданной функции

ифункции, заданной параметрическими уравнениями

Если уравнение F x, y 0 , неразрешенное относительно y, определяет y как однозначную функцию x, то y называют неявной функцией x.

Чтобы найти производную y / от этой неявной функции, нужно обе части уравнения продифференцировать по x, рассматривая y как функцию от x. Из полученного уравне-

ния найдем искомую производную y / .

Чтобы найти y // нужно уравнение F x, y 0 дважды продифференцировать по x и т. д.

Производная также является неявной функцией.

П р и м е р 1 . Найти первую и вторую производную функции, заданной неявно

arctg y x y .

Возьмем производную от данного выражения:

y /

1 y / .

1 y 2

Выразим y / : y /

1 y / 1 y 2 , y / 1 y 2

y / 1 y2 ,

y2 y/ 1 y2

y /

1 y 2

y / y 2 1.

y 2

Найдем вторую производную: y //

2 y 3 y /

y //

2 y /

1 y 2

2 1 y 2

Подставим в это выражение найденную первую производную:

y //

y 2

Следовательно, y //

2 1 y

Пусть функция задана параметрическими уравнениями x f t и y t . Тогда производные по параметру находятся по формулам:

yt/

d 2 y

yt// xt/ xt// yt/

(39)

xt/

dx2

x / 3

П р и м е р 2 . Найти первую и вторую производную функции, заданной параметрическими

уравнениями x a cos t , y a sin t .

Найдем первые и вторые производные для функций: x/ a sin t ,

x// a cos t ,

y / a cos t , y // a sin t .

Подставим найденные выражения в формулы (39):

a cos t

ctg t ,

a sin t

d 2 y

a sin t a sin t a cos t a cos t

a2 sin 2 t a 2 cos 2 t

sin 2 t cos 2 t

a sin t 3

dx2

a3 sin 3 t

a sin 3 t

§ 9 Понятие дифференциала, его геометрический и механический смысл

Рассмотрим функции y f x , имеющую производную в каждой точке ее области определения.

Дифференциалом функции y f x называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной x:

	dy y / x ,	df x f / x x .		(40)
Для функции y x	получаем dy dx ; dx x/ x 1 x ,
			x
		dx x .	(41)

Следовательно, дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Из формул(40) и (41) следует, что	df x f / x dx ,
dy y / dx ,	df x f / x dx ,	(42)

т. е. дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (42) находим, что				df x
y /	dy	или	f / (x)		.	(43)

	dx			dx

Это означает, что производная функции равна отношению дифференциала данной функции к дифференциалу ее аргумента, правую часть формулы (43) можно рассматривать и как частное (раньше это был символ для обозначения производной).

Так как по определению у / lim		y , то
x 0		x
y	y / ,		(44)
x
где
0		при	x 0 .	(45)
		20

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]