Дифференциальные исчисления функции одной переменной. Методические рекомендации

Умножая обе части равенства (44) на x , находим

Поскольку y dy и выполнено условие (45), то дифференциал функции есть

x

часть приращения данной функции, отличающаяся от всего приращения на бесконечно малую величину высшего порядка по сравнению с x . В соответствии с этим говорят, что дифференциал функции является главной линейной частью ее приращения (главной, так как оставшаяся часть – бесконечно малая по сравнению с x ; линейной, поскольку она линейно выражается через x ).

Замечание 1 . Формулу (47) можно записать в виде y dy x , где x означает, что данное слагаемое есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с x .

Покажем на примере, чем отличается дифференциал от приращения функции у х2 , выражающей площадь квадрата со стороной х. Когда аргумент получает приращение x , функция получает приращение у х х 2 х2 х2 2х х x 2 х2 , у 2х х x 2 , состоящее из двух слагаемых: первое из них линейно зависит от x и является дифференциалом.

Обратимся к графику функции y f x . Пусть M x, y – произвольная точка его (рис. 3); М / х х, у у – другая точка, координаты которой равны приращенным значениям х и у. Проведем касательную к графику в точке М, обозначим буквой Т точку пересече-

ния касательной с прямой, проведенной через точку М / перпендикулярно оси Ох, буквой N - точку пересечения указанной прямой с прямой, параллельной оси Ох, тогда

NM / y , NT tg x f / x x dy .

Следовательно, дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику данной функции, когда аргумент получает приращение x . Это утверждение выра-

жает геометрический смысл дифференциала.

Как видно из рисунка dy y (рис. 3, а) или dy y (рис. 3, б); если функция равна постоянной, то dy y 0 .

Рис. 3.

Выясним механический смысл дифференциала. Рассмотрим неравномерное прямолинейное движение точки, осуществляющееся по закону S f t , где S – длина пути, t – время. Приращенному моменту времени t t соответствует приращенное значение пути S S f t t , откуда S f t t f t . Эта формула выражает истинное приращение пути за промежуток времени t .

Вычислим дифференциал пути. Так как S / f / t V t – скорость в момент времени t, то dS S / dt f / t dt V t dt , dS V t dt .

Следовательно, дифференциал пути равен приращению пути, полученному в предположении, что, начиная с данного момента времени t, точка движется равномерно, сохраняя приобретенную скорость.

21

y y 1,1 y 1 4,131 4 0,131.

Замечание 2 . Дифференциал функции можно определить и по-другому. Если приращение функции y f x в точке х представимо формулой

y A x x , (48)

где А не зависит от x , x , то слагаемое A x называют дифференциалом данной функции в данной точке; функцию y f x в этом случае называют дифференцируемой в точке х. Обозначив дифференциал функции y f x через dy , по определению получим y A x .

Следовательно, y A x , dy f / x x ; получена формула (40), с помощью которой ранее определялся дифференциал функции. Поскольку dx x , то dy f / x dx , что и требовалось доказать.

§ 10. Свойства дифференциала

Дифференциал функции обладает свойствами, аналогично свойствам производной. 1. Дифференциал постоянной величины равен нулю:

dc 0 c const . (49)

Если y c , где c const , то y / 0 и формула (42) принимает вид(49).

2. Дифференциал алгебраической суммы нескольких дифференцируемых функций равен такой же алгебраической сумме дифференциалов слагаемых

d u v w du dv dw . (50)

В самом деле, d u v w u v w / dx u / dx v/ dx w/ dx du dv dw .

С л е д с т в и е . Если две дифференцируемые функции отличаются постоянным

Формула (51) следует из формул (50) и (49).

3. Дифференциал произведения двух дифференцируемых функций равен произведению первой функции на дифференциал второй плюс произведение второй на дифференциал первой, т. е.

d uv udv vdu . (52)

Действительно, d uv uv / dx uv/ u / v dx u v/ dx v u / dx udv vdu .

22

5. Дифференциал сложной функции (функции от функции) равен произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Если y f x , x t – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная функции y f x выражается формулой yt/ yx/ xt/ . По определению dy yt/ dt . С учетом предыдущей формулы, получаем dy yt/ dt yx/ xt/ dt yx/ xt/ dt yx/ dx ,

dy yx/ dх . (55)

З а м еча н и е. Формулы (42) и (55) имеют один и тот же вид, но между ними есть принципиальное различие: в формуле (42) dx x , поскольку х — независимая переменная; в формуле (55), вообще говоря, dx x , так как х - функция независимой переменной t.

Из формул (42) и (55) следует свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной: дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента, независимо от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной.

Принимая во внимание основные формулы дифференцирования, получаем таблицу для дифференциалов:

§ 11. Дифференциалы высших порядков

Если х - независимая переменная и y f x дифференцируемая функция, то df x f / x dx , т. е. дифференциал функции есть функция, зависящая от двух аргументов x и

где x – новое приращение независимой переменной х.

Действительно, при n 1 и n 2 эта формула верна. Пусть она справедлива для дифференциала порядка n 1 : d n 1 y y n 1 dxn 1 . Для вычисления дифференциала п–го порядка со-

Замечание. Формулы (60) и (61) при n 1 справедливы тогда и только тогда, когда х является независимой переменной (в отличие от случая n 1, когда они верны и для x x t , где t - новая переменная).

§ 12. Правило Лопиталя – Бернулли

f x

При исследовании функций может появиться необходимость нахождения предела дроби x ,

числитель и знаменатель которой при x a стремятся к нулю или бесконечности. Нахождение таких

24

пределов называют раскрытием неопределѐнностей соответствующего вида. Основой его является правило Лопиталя - Бернулли, выражаемое следующей теоремой.

отношения самих функций, равный отношению производных:

Доказа тельство. Пусть точка x a принадлежит интервалу, в котором функции дифференцируемы. По теореме Коши

Если x a , то и c a , так как с заключено между х и a. Переходя к пределу в последнем равенстве, получаем

откуда и следует формула (62).

25

если предел в правой части существует.

Другими словами, правило Лопиталя - Бернулли при выполнении соответствующих условий можно применять несколько раз.

26

Этот пример показывает, что при неограниченном возрастании х логарифмическая функция растет медленнее степенной функции.

Следовательно, при неограниченном возрастании аргумента степенная функция растѐт медленнее показательной функции.

а затем применяется правило Лопиталя - Бернулли.

27

2)Аналогично раскрывается неопределѐнность вида , т.е. находится предел

При раскрытии неопределѐнностей вида 1 , 00 , 0 данное выражение предварительно логарифмируют и находят предел его логарифма.

1

Поэтому необходимо найти значение функций в точке х

(1)= 1+

Найдем производную от функции у:

28

у

Найдем значение производной в точке х

у

Выполним тот же порядок вычисления для уравнения нормали:

у

Задание 2. Найти дифференциал :

=

Задание 3. Найти производную y:

29

1.Упростим данное выражение:

2.В числителе и знаменателе данной дроби находятся функции, поэтому производную представим как производную от частного двух функций:

и , учитывая , что одна из них : представляет собой производную от сложной функции:

Задание 4. Найти производную :

Задание 5. Вычислить производную

1. Производная первого порядка представляет собой производную от частного двух функций.

2. Аналогично найдем производную второго порядка:

30