Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных лекционный материал
.pdfМинистерство просвещения Российской Федерации
ФГБОУ ВО «Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого»
Кафедра алгебры, математического анализа и геометрии
И. В. Денисов
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Лекционный материал
Учебно-методическое пособие
Тула ТГПУ им. Л. Н. Толстого
2021
ББК 22.161.5я73 Д33
Рецензенты:
доктор физико-математических наук, профессор И. М. Буркин (Тульский государственный университет);
доктор физико-математических наук, профессор Ю. В. Бобылев (Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого)
|
Денисов, И. В. |
|
Д33 |
Дифференциальное исчисление функций нескольких перемен- |
|
|
ных: Лекционный материал [Электронный ресурс] / И. В. Денисов. – |
|
|
Электрон. дан. – Тула: Тул. гос. пед. ун-т им. Л. Н. Толстого, 2021. – |
|
|
1 электрон. опт. диск (CD-ROM). – Минимальные систем. требо- |
|
|
вания: Intel Celeron 1700 Mhz и выше, 128 Мб RAM, 300 Мб |
|
|
на винчестере, ОС Microsoft Windows 7 и выше; дисковод CD-ROM |
|
|
2x и выше, SVGA 64 Mb; мышь. – |
Загл. с этикетки диска. – |
|
ISBN 978-5-6047369-2-0. |
|
Учебно-методическое пособие предназначено обучающимся по
направлениям подготовки 02.03.02 Фундаментальная информатика и информационные технологии и 02.03.03 Математическое обеспечение и администрирование информационных систем. Пособие включает в себя основные определения, формулы, теоремы и типовые примеры по разделу «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», приведены задания для самостоятельной работы.
ББК 22.161.5я73
ISBN 978-5-6047369-2-0 |
© И. В. Денисов, 2021 |
|
© ТГПУ им. Л. Н. Толстого, 2021 |
СОДЕРЖАНИЕ |
|
§ 1. Функции нескольких переменных...................................................... |
4 |
1.1. Пространство n ............................................................................ |
4 |
1.2. Функции нескольких переменных................................................. |
7 |
1.3. Графики функций.......................................................................... |
10 |
§ 2. Предел и непрерывность.................................................................... |
15 |
2.1. Предел последовательности......................................................... |
15 |
2.2. Предел функции в точке............................................................... |
17 |
2.3. Непрерывность функции в точке и на компакте........................ |
20 |
§ 3. Дифференцируемость функций......................................................... |
23 |
3.1. Частные производные и дифференцируемость функции.......... |
23 |
3.3. Дифференцирование сложной функции..................................... |
27 |
3.4. Дифференциал............................................................................... |
28 |
§ 4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности............................ |
30 |
4.1. Геометрический смысл дифференцируемости........................... |
30 |
4.2. Производная по направлению, градиент..................................... |
33 |
§ 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков.......... |
37 |
5.1. Частные производные высших порядков.................................... |
37 |
5.2. Дифференциалы высших порядков............................................. |
39 |
5.3. Формула Тейлора.......................................................................... |
40 |
5.4. Локальные экстремумы................................................................ |
42 |
§ 6. Неявные функции............................................................................... |
46 |
6.1. Неявные функции от одной переменной .................................... |
46 |
6.2. Неявные функции от нескольких переменных........................... |
48 |
6.3. Условные экстремумы.................................................................. |
49 |
6.4. Метод неопределённых множителей Лагранжа......................... |
54 |
ЛИТЕРАТУРА........................................................................................... |
57 |
3
§1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.1.Пространство n
Для функций одной переменной в качестве аргументов рассматривались точки числовой прямой. Расстояние между точками определялось формулой
ρ(x, y)= |
|
x − y |
|
. |
(1) |
|
|
Через расстояние (близость) определялись окрестности точек и т.д. Использовались наглядные геометрические представления, хотя доказательства на них не опирались.
При изучении функций двух, трёх и т.д. переменных удобно пользоваться геометрическим языком и продолжать рассматривать функции точек. При этом точки будут иметь соответственно две, три и т. д. координаты.
Определение. Пространством n называется множество, состоящее из всевозможных упорядоченных наборов n действительных
чисел. Расстояние между точками X = (x1 ,x2 , ,xn ) и Y = (y1 , y2 , , yn ) этого пространства определяется соотношением
|
n |
|
|
ρ(X ,Y )= ∑(xk − yk )2 . |
(2) |
||
|
k =1 |
|
|
При значении n =1 формула (2) переходит в (1).
Открытым шаром с центром в точке X0 радиуса r называется множество всех точек X , удовлетворяющих условию ρ(X ,X0 )< r .
Замкнутым шаром с центром в точке X0 радиуса r называется множество всех точек X , удовлетворяющих условию ρ(X ,X0 )≤ r .
Сферой с центром в точке X0 радиуса r называется множество всех точек X , удовлетворяющих условию ρ(X ,X0 )= r .
Окрестностью точки называется всякий открытый шар с центром в этой точке.
Точка X1 называется внутренней точкой множества M , если
эта точка принадлежит множеству M вместе с некоторой своей окрестностью (см. рис.1).
Точка X2 называется граничной точкой множества M , если в любой окрестности этой точки содержатся как точки, принадлежа-
4
щие, так и точки, не принадлежащие множеству M (см. рис. 1). Границей множества называется множество всех граничных точек этого множества.
Точка X3 называется внешней точкой множества M , если су-
ществует окрестность этой точки, не содержащая точек множества M
(см. рис.1).
Рис. 1
Точка X называется предельной точкой множества M , если в любой окрестности этой точки содержатся точки множества M , отличные от X .
Точка X называется изолированной точкой множества M , если эта точка принадлежит множеству M и существует окрестность точки, которая не содержит точек множества M , отличных от X .
Множество называется открытым, если все его точки являются внутренними.
Множество M называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Множество M называется ограниченным, если это множество содержится в некотором шаре. Обычно понимается шар с центром в точ-
ке O(0, ,0), и ограниченность определяется так:
r > 0 X M ρ(X ,O)< r .
Непрерывной кривой в пространстве n называется множество точек
L ={X (x1 ,x2 , ,xn ) x1 =ϕ1 (t), x2 =ϕ2 (t), , xn =ϕn (t), t [a,b]}, 5
где ϕ1 (t),ϕ2 (t), ,ϕn (t) – непрерывные на отрезке [a,b] функции. Говорят, что кривая L соединяет точки A(ϕ1 (a),ϕ2 (a), ,ϕn (a))
и B (ϕ1 (b),ϕ2 (b), ,ϕn (b)).
Множество M называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в этом множестве.
Областью называется всякое открытое связное множество. Замкнутой областью называется объединение области со своей границей.
6
1.2. Функции нескольких переменных |
|
Будем рассматривать функции, определённые на |
множестве |
D n , со значениями в . Такие функции обозначаются |
y = f (X ) |
или y = f (x1 ,x2 , ,xn ), где x1 ,x2 , ,xn - координаты точки X n . |
|
Отсюда и название – функции нескольких переменных. |
|
Пусть u = u(x) и v = v(x) - элементарные функции одной пере- |
|
менной, определённые на одном и том же множестве: Du = Dv . Ариф- |
|
метические операции над этими функциями определяются соотноше-
ниями
1) |
(u +v)(x, y):= u(x)+v(y) ; |
||||
2) |
(u −v)(x, y):= u(x)−v(y); |
||||
3) |
(uv)(x, y):= u(x)v(y); |
|
|||
4) |
u |
u(x) |
, если |
v(y) ≠ 0. |
|
|
(x, y):= |
v(y) |
|||
|
v |
|
|
||
Пусть определены элементарные функции f : X →Y и g : Y → Z . Тогда сложная функция g f : X → Z определяется как
5) (g f )(x):= g (f (x)).
Элементарной функцией двух переменных (x, y) называется
функция, которая может быть представлена с помощью конечного числа операций 1-5.
Пример. Найти и изобразить область определения функции
z = x arcsin(x2 − y2 ) . |
(1) |
Решение. Областью определения Df данной функции |
будет |
множество значений переменных (x, y), при которых определено вы-
ражение (1). Ограничения могут появиться из условия существования квадратного корня и арксинуса:
x arcsin(x2 − y2 )≥ 0, |
(2) |
−1 ≤ x2 − y2 ≤1 . |
(3) |
Сначала рассмотрим неравенство (3). Его границы |
x2 − y2 =1 |
и x2 − y2 = −1 определяют на плоскости две гиперболы, изображенные на рис. 2. Эти гиперболы разбивают плоскость на пять частей. Мето-
7
дом пробных точек находим, что неравенству (3) удовлетворяет точка (0,0) и вместе с ней область D1 , содержащая эту точку. На рис. 2 эта
область заштрихована. Области D1 принадлежат её границы, т. е. гиперболы.
Рис. 2
Теперь рассмотрим неравенство (2). Это неравенство справедливо, когда
|
|
x ≤ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
arcsin(x2 − y2 )≤ 0 , |
(4) |
|||
|
|
|
|
|
либо |
|
x ≥ 0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
arcsin(x2 − y2 )≥ 0 . |
(5) |
|||
|
|
|
|
|
Т.к. функция арксинус нечётная, то получаем эквивалентные си- |
||||
стемы неравенств |
x ≤ 0 |
|
|
|
|
|
, |
( 4′) |
|
|
− y2 ≤ 0 |
|||
x2 |
|
|
||
|
|
8 |
|
|
|
x ≥ 0 |
. |
′ |
) |
|
|
− y2 |
≥ 0 |
( 5 |
||
x2 |
|
|
|
||
Неравенства (4′) и ( 5′ ) определяют области, границами которых являются прямые линии x = 0, y = x, y = −x . Эти линии изображе-
ны на рис. 3, и они разбивают плоскость на шесть частей.
Рис. 3
Неравенству (4′) удовлетворяют точки (−1,2) и (−1,−2) и вместе с ними области D2 и D3 , содержащие эти точки. Решением неравенства ( 4′) является множество D23 = D2 D3 . Области D23 принад-
лежат её границы: |
прямая x = 0 , а также лучи |
y = x, x ≤ 0, и |
|
y = −x, x ≤ 0 . |
) удовлетворяет точка |
(1,0) |
и вместе с ней об- |
Неравенству (5 |
|||
′ |
|
|
|
ласть D4 , содержащая эту точку. Области D4 принадлежат её границы: лучи y = x, x ≥ 0, и y = −x, x ≥ 0 . Т.о., неравенству (2) удовлетворяют точки множества D234 = D2 D3 D4 .
Одновременно неравенствам (2) и (3) удовлетворяют точки множества Df = D1 D234 .
9
1.3. Графики функций
График функции z = f (x, y) двух переменных располагается
в трёхмерном пространстве. Для трёх и более переменных наглядного представления нет. Известно, что любое уравнение первого порядка
Ax + By +Cz + D = 0 ,
где коэффициенты A,B,C не равны нулю одновременно, является
уравнением плоскости.
Уравнения второго порядка могут описывать более сложные поверхности:
1) |
x2 |
+ |
y2 |
=1 – эллиптический цилиндр (см. рис. 4); |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4. |
|
2) |
x2 |
− |
y2 |
=1 – гиперболический цилиндр (см. рис. 5); |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
Рис. 5.
10