Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных лекционный материал

f (x, y)− f (x0 , y0 ) = fx′(x0 , y0 )(x − x0 )+ fy′(x0 , y0 )(y − y0 )+o(∆ρ)

при ∆ρ → 0 . Пусть δ - поверхность, являющаяся графиком функции

z = f (x, y) , M0 K - плоскость в пространстве переменных (x, y,z) , проходящая через точку M0 (x0 , y0 ,z0 ) δ , где z0 = f (x0 , y0 ).

Определение. Плоскость M0 K называется касательной плоскостью к поверхности δ в точке M0 , если расстояние ρ(M ,P) пере-

менной точки M δ до этой плоскости является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с расстоянием ρ(M ,M0 ) , т.е.

ρ(M ,P) = o(ρ(M ,M0 )) при ρ(M ,M0 ) → 0.

Очевидно, что дифференцируемость функции в точке (x0 , y0 ) эквивалентна существованию касательной плоскости (см. рис. 2) к поверхности δ в точке M0 (x0 , y0 ,z0 ).

Рис. 2. Поверхность δ и касательная плоскость M0 K к ней

Уравнение касательной плоскости в точке M0 (x0 , y0 ,z0 ), где

z0 = f (x0 , y0 ), имеет вид

z − z0 = fx′(x0 , y0 )(x − x0 )+ fy′(x0 , y0 )(y − y0 ),

или

fx′(x0 , y0 )(x − x0 )+ fy′(x0 , y0 )(y − y0 )−(z − z0 )= 0.

31

Нормальный вектор поверхности в точке M0 (x0 , y0 ,z0 ) совпада-

ет с нормальным вектором касательной плоскости в этой точке и имеет вид

n ={fx′(x0 , y0 ), fy′(x0 , y0 ),−1}.

Нормаль определяется как уравнение прямой, проходящей черезданную точку параллельно нормальному вектору:

Нормальный вектор поверхности в точке M0 (1,2,−3) имеет вид n ={fx′(1,2), fy′(1,2),−1}={2,−4,−1}.

Уравнение касательной плоскости в точке M0 (1,2,−3) имеет вид

2(x −1) −4(y −2) −(z +3) = 0.

Уравнение нормали:

x 2−1 = y−−42 = z−+13 .

32

4.2. Производная по направлению, градиент

Пусть функция f (M ) = f (x, y,z) определена на луче l , исходящем из точки M0 (x0 , y0 ,z0 ) параллельно единичному вектору l . В

этом случае координаты вектора l называются направляющими косинусами:

l ={cosα,cosβ,cosγ}.

Очевидно, что cos2 α +cos2 β +cos2 γ =1.

Рис. 3

Уравнение прямой, проходящей через точку M0 (x0 , y0 ,z0 ) парал-

откуда

x = x0 +t cosα , y = y0 +t cosβ , z = z0 +t cosγ , t ≥ 0 .

Т.о., координаты точки M , лежащей на луче l равны

M (x0 +t cosα, y0 +t cosβ,z0 +t cosγ ). 33

координатных базисных векторов являются частными производными fx′ и fy′.

grad f (M0 ):= ∂∂fx (M0 ),∂∂fy (M0 ),∂∂fz (M0 ) .

Термин «градиент» ввёл Джеймс Максвелл в 1873 году при рассмотрении физических полей.

Из (1) заключаем, что производная по направлению равна скалярному произведению градиента на направляющий вектор:

∂∂fl (M0 )= (grad f (M0 ),l ).

По определению скалярного произведения

∂∂fl (M0 )= grad f (M0 )l cosϕ ,

где ϕ - угол между векторами, ϕ [0,π) . Отсюда получаем оценку

∂∂fl (M0 )≤ grad f (M0 ) .

Если grad f (M0 )≠ 0 , то равенство достигается при ϕ = 0 , т.е. в том случае, когда направление вектора l совпадает с направлением

34

градиента. Т.о., градиентом в точке является вектор, направленный в сторону наибольшего роста функции, и его длина равна производной по этому направлению.

Пример 2. Найти градиент функции z = x2 +arctg y2 в точке

M0 (2,1).

Решение. Вычисляем частные производные функции z = f (x, y) : zx′ = 2x , z′y = 1+2 yy4 .

Находим их значения в точке M0 (2,1):

zx′(2,1) = 4 , z′y (2,1) =1.

Составляем градиент:

grad f (2,1) ={zx′(2,1);z′y (2,1)}={4;1}.

направлению вектора l :

∂∂fl (2,1)= 15({4;1},{4;3})= 15(4 4+1 3) = 3,8.

В теории поля используют так называемый «оператор Гамильтона» (набла):

:= ∂∂x ,∂∂y ,∂∂z .

Спомощью этого оператора получается представление градиента

ввиде

35

Из свойств дифференциального оператора Гамильтона отметим его действие на произведение функций:

( fg) = g f + f g .

Соответственно

grad( fg) = g grad f + f gradg .

Понятия производной по направлению и градиента очевидным образом переносятся на случай любого числа переменн

36

fxy′′(x0 , y0 ) = fyx′′(x0 , y0 ) .

Определение. Функция f (X ) называется дважды дифференцируемой в точке X0 , если все её частные производные дифференциру-

емы в этой точке.

Определение. Функция f (X ) называется n раз дифференцируемой в точке X0 , если все её частные производные (n −1) -го порядка дифференцируемы в этой точке.

38

5.3. Формула Тейлора

Пусть функция f (X ) = f (x1 ,x2 , ,xn ) дифференцируема m раз в некоторой окрестности точки X0 (x01 ,x02 , ,x0n ) . Выберем произвольную точку X1 (x11 ,x12 , ,x1n ) из этой окрестности и соединим её отрезком с точкой X0 . Параметрические уравнения точек X (x1 ,x2 , ,xn )

этого отрезка имеют вид

X = X0 +t(X1 − X0 ), t [0,1].

При t = 0 получаем точку X0 , а при t =1 - точку X1 . Значения функции f (X ) на точках отрезка зависят от одной переменной t , поэтому возникает функция

θ - некоторое число из интервала (0,1). По правилу дифференцирования сложной функции имеем