Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных лекционный материал

дифференциал является положительно определённой квадратичной

минимума.

Рассмотренные примеры позволяют исследовать задачу нахождения условного экстремума в общем случае. Пусть M0 (x01, ,x0,n+m ) -

точка условного экстремума функции f (M ), и пусть в некоторой

окрестности этой точки для уравнений связи (4) выполнены условия теоремы о неявной функции, так что в некоторой окрестности точки

M0 эти уравнения имеют единственное решение относительно переменных xn+1 , ,xn+m (если относительно других переменных, то можно сделать переобозначения их индексов):

51

Т. о., в некоторой окрестности точки M0 уравнения связи (4) эквивалентны соотношениям (5), в которых x1 , ,xn можно рассматри-

вать как независимые переменные. Задача свелась к вопросу об обычном экстремуме для сложной функции

f (x1 , ,xn ,ϕ1 (x1 , ,xn ), ,ϕm (x1 , ,xn ))

от переменных x1 , ,xn в точке (x01 , ,x0n ). Возможны два случая.

Случай 1. Функции (5) удаётся найти в явном виде (см. пример 1). Этими функциями можно заменить часть переменных функции f (M )

и рассмотреть функцию меньшего количества переменных:

F(P) = F(x1 , ,xn ):= f (x1 , ,xn ,ϕ1 (x1 , ,xn ), ,ϕm (x1 , ,xn )). (6)

Вопрос об условном экстремуме функции f (M ) в точке M0 сводится к вопросу о безусловном экстремуме сложной функции F(P)

в точке P0 (x01 , ,x0n ).

Случай 2. Функции (5) не находятся в явном виде (см. пример 2). Будем предполагать, что неявные функции существуют, и рассуждать

следующим образом. Если M0 (x01, ,x0,n+m ) - точка условного экстремума функции f (M ), то P0 (x01 , ,x0n ) - точка безусловного экстремума сложной функции F(P). По необходимому условию экстремума дифференциал функции F(P) в точке P0 должен равняться нулю. Находим дифференциал

Частные производные берутся в точке M0 . Из (7) нельзя сделать вы-

вод о равенстве нулю всех коэффициентов при дифференциалах, т. к. некоторые дифференциалы зависят от других переменных.

52

Чтобы исключить зависимые дифференциалы, их нужно выразить через независимые. Для этого продифференцируем уравнения связи:

В силу предположения о существовании неявных функций (5) из этой системы можно выразить дифференциалы dxn+1 , ,dxn+m через

dx1 , ,dxn . Подставив эти выражения в (7), получим равенство вида

где коэффициенты A1 , , An рационально выражаются через частные производные функций Φ1 , , Φm . Т.к. dx1 , ,dxn - дифференциалы

независимых переменных, то из (9) получаем необходимые условия условного экстремума в точке M0 при уравнениях связи (4):

A1 = = An = 0 .

Вместе с m уравнениями связи это даёт систему из n +m уравнений для отыскания неизвестных x1 , ,xn+m :

Если точка возможного экстремума найдена, то дальнейшие исследования используют второй дифференциал d 2 f (M0 ). Его можно

вычислить, дифференцируя равенство (9) и используя выражения для дифференциалов неявных функций dxn+1 , ,dxn+m , найденные из си-

стемы (8). В итоге получается d 2 f (M0 ) в виде квадратичной формы от переменных dx1 , ,dxn . Если эта квадратичная форма положительно (отрицательно) определена, то M0 – точка условного минимума (максимума).

53

6.4. Метод неопределённых множителей Лагранжа

Лагранж предложил метод, при котором все переменные сохраняют одинаковую роль. Задача об условном экстремуме функции

f (M ) при условиях связи (4) оказывается эквивалентной задаче об

условном экстремуме функции Лагранжа

Φ(M ) = f (M )+λ1Φ1 (M )+λ2Φ2 (M )+ +λmΦm (M ),

где числа λi называются неопределенными множителями Лагранжа.

Теорема (Лагранж). Пусть функция f (M ) дифференцируема в точке M0 и имеет в этой точке условный экстремум при условиях

связи (4) и уравнения (4) удовлетворяют в некоторой окрестности точки M0 условиям теоремы о неявных функциях. Тогда существуют

числа λ1 , ,λm такие, что все частные производные функции Лагранжа равны нулю в точке M0

x01, ,x0,n+m ,λ01, ,λ0,m - решение системы (11), то M0 (x01, ,x0,n+m ) является точкой возможного условного экстремума функции f (M )

при условиях связи (4). Дальнейшее исследование этой точки связано, как и в методе исключения части переменных, с рассмотрением второго дифференциала функции

Ψ(P) = Ψ(x1 , ,xn ):= Φ(x1 , ,xn ,ϕ1 (x1 , ,xn ), ,ϕm (x1 , ,xn ))

скоэффициентами λ01, ,λ0,m . Он вычисляется по формуле

P0 (x01 , ,x0n ). Для получения формулы (12) сначала вычисляется второй дифференциал функции Лагранжа в точке M0 , причём так, как если бы все аргументы x1 , , xn+m были независимыми переменными. Затем dxn+1 , , dxn+m заменяются дифференциалами неявных функций

(5) в точке P0 . В результате получается квадратичная форма от переменных dx1 , ,dxn . Если эта квадратичная форма положительно (отрицательно) определена, то M0 – точка условного минимума (мак-

z − x =1 .y − xz =1

Решение. Уравнения связи имеют вид

Φ1 = z − x −1 = 0 .Φ2 = y − xz −1 = 0

Составляем функцию Лагранжа

Φ(M ) = x + y + z2 +λ1 (z − x −1)+λ2 (y − xz −1),

находим ее частные производные, составляем систему (11):

пару неявных функций y(x) и z(x) . Однако, нам не понадобятся, как в примере 1, их явные выражения. Будем считать, что y(x) и z(x)

подставлены в уравнения связи, так что каждое из них представляет собой тождество. Дифференцируем эти тождества, получаем равенства

dz −dx = 0dy − xdz − zdx = 0

и находим зависимые дифференциалы

Теперь вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа, считая все переменные независимыми величинами, вследствие чего их вторые дифференциалы равны нулю:

d 2Φ = d ((1−λ1 −λ2 z)dx +(1+λ2 )dy +(2z +λ1 −λ2 x)dz)= = −λ2 dzdx +(2dz −λ2 dx)dz = −2λ2 dzdx +2(dz)2 .

M0 (−1,1,0) – точка условного минимума.

56

ЛИТЕРАТУРА

1.Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа: В 2 т. / Г. М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1964. – Т. I.

2.Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа: В 2 т. / Г. М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1964. – Т. II.

3.Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального

исчисления: В 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. –

Т. I.

4.Теляковский, С. А. Курс лекций по математическому анализу. Семестр II / С. А. Теляковский. – М.: МИАН, 2011.

5.Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа: В 3 т. – М.:

Наука, 1988. – Т. 2.

6.Архипов, Г. И. Лекции по математическому анализу / Г. И. Архипов, В. А. Садовничий, В. Н. Чубариков. – М.: Высш. школа, 1999.

9.Кудрявцев, Л. Д. и др. Сборник задач по математическому анализу. Т. 3. Функции нескольких переменных / Л. Д. Кудрявцев,

идр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

10.Выгодский, М. Я. Справочник по элементарной математике / М. Я. Выгодский. – М.: Наука, 1975.

11.Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике/ М.Я. Выгодский. – М.: Наука, 1973.

57

Учебное издание

ДЕНИСОВ Игорь Васильевич

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Лекционный материал

Учебно-методическое пособие

Публикуется вавторскойредакции.

Минимальные системныетребования: Intel Celeron 1700 Mhz ивыше,

128 МбRAM, 300 Мб навинчестере, ОСMicrosoftWindows7ивыше; дисковод CD-ROM 2x и выше, SVGA 64 Mb; мышь.

Тульскийгосударственный педагогический университетим. Л. Н. Толстого. 300026,Тула,просп.Ленина,125.

www.tsput.ru. E-mail:info@tsput.ru

Объемданных: 2,6 Мб.

Подписано к использованию:02.12.2021.

Заказ 21/062. «С»1915.