Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных лекционный материал

θ - некоторое число из интервала (0,1), зависящее от выбора точки

X .

Представление функция f (X ) в виде (3), (4) называется форму-

лой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

В частности, при m =1 из (3), (4) получается формула конечных приращений для функции нескольких переменных

ема в некоторой окрестности точки X0 (x01 ,x02 , ,x0n ) , то для любой

Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

41

5.4. Локальные экстремумы

Пусть функция f (X ) = f (x1 , ,xn ) определена в некоторой окрестности точки X0 (x01 , ,x0n ).

Определение.

1)X0 называется точкой максимума функции f (X ) , если существует окрестность этой точки, в которой для любого X ≠ X0 выполняется неравенство f (X ) ≤ f (X0 ) .

2)X0 называется точкой строгого максимума функции f (X ) ,

если существует окрестность этой точки, в которой для любого

X≠ X0 выполняется неравенство f (X ) < f (X0 ) .

3)X0 называется точкой минимума функции f (X ) , если суще-

X ≠ X0 выполняется неравенство f (X ) > f (X0 ).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если X0 является точкой экстремума функции f (X ) , то в этой точке всякая частная

производная равна нулю, либо не существует.

Определение. Точки, в которых функция дифференцируема и все её частные производные равны нулю, называются стационарными точками.

Т.о., дифференцируемая функция может иметь точки экстремума только в своих стационарных точках.

Рассмотрим вопрос существования точек экстремума для функций, дважды дифференцируемых в стационарных точках. Пусть функция f (X ) дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрест-

при ∆ρ → 0 , где ∆ρ - расстояние между точками X и X0 . Очевидно,

можно установить по критерию Сильвестра, который рассматривает матрицу, составленную из коэффициентов квадратичной формы

Квадратичная форма Q(x1 , ,xn ) называется положительно определенной, если для любых значений переменных x1 , ,xn , одно-

временно не равных нулю, она принимает положительные значения. Квадратичная форма Q(x1 , ,xn ) называется отрицательно

определенной, если для любых значений переменных x1 , ,xn , одно-

временно не равных нулю, она принимает отрицательные значения.

Теорема (критерий Сильвестра). Квадратичная форма Q(x1 , ,xn ) является положительно определенной тогда и только

тогда, когда все угловые миноры её матрицы положительны:

∆1 > 0, ∆2 > 0, , ∆n > 0.

Квадратичная форма Q(x1 , ,xn ) является отрицательно опре-

деленной тогда и только тогда, когда знаки угловых миноров чередуются следующим образом:

43

∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0,

Теорема (достаточные условия экстремума). Пусть функция f (X ) дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестно-

сти своей стационарной точки X0 . Тогда

1)Если второй дифференциал d 2 f (X0 ) является положительно

определенной квадратичной формой, то X0 – точка строгого минимума;

2)Если второй дифференциал d 2 f (X0 ) является отрицательно

определенной квадратичной формой, то X0 – точка строгого максимума;

3) Если второй дифференциал d 2 f (X0 ) является знакопеременной квадратичной формой, то в точке X0 – нет экстремума.

(x0 , y0 ) . Тогда

1)Если ∆ > 0 и A > 0 , то (x0 , y0 ) – точка строгого минимума;

2)Если ∆ > 0 и A < 0 , то (x0 , y0 ) – точка строгого максимума;

3)Если ∆ < 0 , то (x0 , y0 ) - не является точкой экстремума.

Пример. Исследуем на экстремум функцию z = x2 + xy + y2 −2x −3y .

Областью определения функции является вся плоскость. Вычисляем частные производные:

zx′ = 2x + y −2 , z′y = x +2y −3.

44

Стационарные точки находим из системы уравнений

2x + y −2 = 0 .x +2y −3 = 0

Получается единственная точка возможного экстремума: 1,4 .

3 3

Вычисляем частные производные второго порядка в этой точке:

Проверяем выполнение достаточных условий:

45

§6. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ

6.1.Неявные функции от одной переменной

Если для каждого значения x из некоторого множества E уравнение (1) имеет решение y , то на множестве E определяется

однозначная или многозначная функция y = f (x), которая при подста-

новке обращает уравнение (1) в тождество:

F (x, f (x))≡ 0.

Функция y = f (x) называется неявной, если она определена

уравнением (1).

Неявной, очевидно, является формула, выражающая зависимость y от x .

Пример 1. Рассмотрим уравнение единичной окружности

виде

y = ±1− x2 .

Уравнение (2) определяет двузначную функцию на промежутке

Рис. 1

46

Теорема. Пусть

1) функция F(x, y) дифференцируема в некоторой окрестности точки (x0 , y0 ) ;

2)частная производная Fy′(x, y) непрерывна в точке (x0 , y0 ) ;

3)F(x0 , y0 ) = 0 , Fy′(x0 , y0 ) ≠ 0 .

Тогда в некоторой окрестности точки x0 существует единственная неявная функция y = f (x), определяемая уравнением (1), причем

1)f (x0 ) = y0 ;

2)функция y = f (x) дифференцируема в некоторой окрестно-

сти точки x0 ;

3) производная вычисляется по формуле

f ′(x) = − Fx′(x, f (x)) . Fy′(x, f (x))

Пример 2. Найдем производную неявной функции y = f (x), определяемой уравнением

x4 + y3 − xy +4x +3 = 0 .

Решение. Дифференцируем обе части уравнения по переменной x , считая y функцией от x :

4x3 +3y2 y′− y − xy′+4 = 0.

Решаем уравнение относительно y′:

(3y2 − x) y′ = y −4x3 −4 .

Получаем

y′ = y 3−42x3 −4 . y − x

47

6.2. Неявные функции от нескольких переменных

y1 =ϕ1 (x1 , ,xn ), , ym =ϕm (x1 , ,xn ),

если при подстановке этих функций в (3) получаются тождества

Fk (x1 , ,xn ,ϕ1 (x1 , ,xn ), ,ϕm (x1 , ,xn ))≡ 0, k =1, ,m .

Существование неявной функции одной переменной связано с условием Fy′ ≠ 0 . Для функций нескольких переменных аналогичную

роль играет определитель называемый якобианом в честь К. Якоби:

y1 =ϕ1 (x1 , ,xn ), , ym =ϕm (x1 , ,xn ), определяемая системой (3), причем

1)y01 =ϕ1 (x01 , ,x0n ), , y0m =ϕm (x01 , ,x0n );

2)функции y1 =ϕ1 (x1 , ,xn ), , ym =ϕm (x1 , ,xn ) дифференцируемы в некоторой окрестности точки (x01 , ,x0n ).

48

6.3. Условные экстремумы

Рассмотрим задачу об экстремуме функции

f (M ) = f (x1 , ,xn+m )

от n +m переменных при условии, что её переменные подчинены m

уравнениям связи

Определение. Точка M0 (x01, ,x0,n+m ) называется точкой условного минимума (максимума) функции f (M ), если неравенство

f (M ) > f (M0 ) (соответственно f (M ) < f (M0 ) ) выполняется в некоторой окрестности точки M0 для всех точек

M ≠ M0 , удовлетворяющих уравнениям связи (4).

Пример 3. Найдем экстремум функции u = x + y + z2 при условиях связи

z − x =1 .y − xz =1

Решение. Каждое из уравнений связи определяет некоторую поверхность. Пересечением этих поверхностей будет некоторая пространственная кривая. Нас интересуют значения функции только в точках этой кривой. В нашем случае уравнения связи можно разрешить в явном виде относительно переменных y и z :

При подстановке полученных зависимостей в исходную функцию получаем функцию одной переменной x :

u(x) = 2x2 +4x +2 ,

т.е. задача сводится к нахождению точек экстремума функции одной переменной. Вычисляем производную и приравниваем её нулю:

u′ = 4x +4=0 при x = −1 .

Вторая производная u′′(−1) = 4 > 0, поэтому x = −1 - точка минимума. Точке x = −1 соответствуют значения y =1 , z = 0 . Поэтому

49

M0 (−1,1, 0) - точка условного минимума исходной функции, ее значение в точке M0 равно u(−1,1, 0) = 0.

Отметим, что точка M0 не является точкой безусловного экстремума функции u = x + y + z2 , т.к. в окрестности точки M0 могут быть

как положительными, так и отрицательными.

Пример 4. Найдем экстремум функции u = x + y − z при условиях связи

Решение. Уравнения связи не удаётся разрешить в явном виде относительно y и z . Тем не менее, система определяет дважды диффе-

ренцируемые неявные функции y(x) и z(x) . Считаем, что они под-

ставлены в уравнения связи, так что каждое уравнение оказывается тождеством. Вычисляем дифференциалы

Итак, мы не можем пользоваться явным видом функций, определяемых уравнениями связи, но дифференциалы этих функций можем выразить. Дифференциал исходной функции равен

du = dx +dy −dz .

Подставляем в него найденные дифференциалы dy и dz , в результате получаем

тремума A = 0 . Уравнение A = 0 вместе с условиями связи позволяет найти возможные точки экстремума. Решаем систему уравнений

50