Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных лекционный материал

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

если (x, y) ≠ (0,0)

f (x, y) = x4 + y2

если (x, y) = (0,0)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

f (0,0):= lim f (x, y).

x→0 y→0

Перейдем к полярным координатам

x = ρ cosϕ, y = ρsinϕ ,

получим

f (x, y) = ρ(cos3 ϕ +sin3 ϕ).

Предел

limρ(cos3 ϕ +sin3 ϕ)= 0

ρ→0

независимо от направления ϕ . Поэтому двойной предел

lim f (x, y) = 0.

x→0 y→0

Вывод: функцию f (x, y) можно доопределить по непрерывности в точке (0,0) : f (0,0):= 0.

Определение. Функция f (X ) = f (x1 ,x2 , ,xn ) называется непре-

рывной в точке X0 (x01 ,x02 , ,x0n ) по переменной xk , если

xklimx0 k f (x01, ,x0,k −1,xk ,x0,k +1, ,x0n ) = f (X0 ) .

→

Очевидно, что непрерывность функции влечет непрерывность по каждой переменной. Бывают случаи, когда обратное утверждение неверно. Это связано с особенностями предельного перехода в многомерном случае.

Пример 3. Рассмотрим функцию из примера 1, доопределенную в точке (0,0) :

Эта функция непрерывна по каждой переменной в отдельности,

т.к.

lim f (x,0) = 0 = f (0,0)	и	lim f (0, y) = 0 = f (0,0) .
x→0		y→0

Тем не менее, функция не является непрерывной в точке (0,0), т.к. двойной предел не существует и как следствие

lim f (x, y) = lim		x2 y		≠	f (0,0).
lim f (x, y) = lim		x4	+ y2	≠	f (0,0).
x→0	x→0	x4	+ y2
y→0	y→0
	21

Вывод: в рассмотренном примере функция	f (x, y) непрерывна
по каждой переменной в отдельности, но, тем	не менее, разрывна
в точке (0,0) .
Определение. Функция f (X ) называется непрерывной на мно-
жестве D , если она непрерывна по множеству	D в каждой точке
X D .

1-я теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на компакте, то она ограничена на нём.

2-я теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на компакте, то среди её значений на этом компакте есть наибольшее и наименьшее.

Теорема Больцано - Коши. Если функция f (X ) непрерывна на связном множестве D , то для любых элементов X1 , X2 D и любого числа C , заключённого между значениями f (X1 ) и f (X2 ), существует точка X0 D , в которой значение f (X0 ) = C .

Определение. Функция f (X ) называется равномерно непрерывной на множестве D, если

ε > 0 δ(ε) > 0 X1 , X2 D (ρ(X1 , X2 ) <δ ) ( f (X1 )− f (X2 ) < ε).

Из равномерной непрерывности следует непрерывность. Обратное утверждение не всегда верно. Однако имеет место следующая теорема.

Теорема (Кантор). Если функция непрерывна на компакте, то она равномерно непрерывна на этом компакте.

§3. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ

3.1.Частные производные и дифференцируемость функции

Пусть функция

f (X ) = f (x1 ,x2 , ,xn )

определена в некоторой

окрестности точки

X0 (x01 ,x02 , ,x0n ) . Фиксируем значения перемен-

ных x2 , ,xn ,

равными x02 , ,x0n соответственно. Получим функцию

одной переменной x1 :

f (x1 ,x02 , ,x0n ).

Определение.

Производная функции

f (x1 ,x02 , ,x0n )

в точке

x1 = x01

называется частной производной функции f (X ) в точке X0

по переменной x1 :

∂f

(

0 )

:= lim

f (x1 ,x02 , ,x0n )− f (x01 ,x02 , ,x0n )

∂x1

→x

x1 − x01

Аналогично определяются частные производные функции f (X )

в точке X0

и по другим переменным:

∂f

lim

f (x01, ,x0,k −1,xk ,x0,k +1, ,x0n )− f (x01,x02, ,x0n )

(

0 )

x →x

xk − x0k

∂xk

0 k

Частная производная

∂f

обозначаются также символом

fx′ .

∂xk

Как и для одной переменной имеет место связь дифференцируе-

мости и непрерывности: если функция

f (X )

в точке X0 имеет част-

ную производную по переменной xk ,

то функция непрерывна в этой

точке по xk , т.е.

lim

f (x01, ,x0,k −1,xk ,x0,k +1, ,x0n ) = f (X0 ) .

xk →x0 k

Рассмотрим полное приращение функции f (X ) , получаемое при

переходе из точки X0 (x01 ,x02 , ,x0n ) в точку

X (x1 ,x2 , ,xn ) :

∆f (X0 ) = f (X )− f (X0 ).

Расстояние между точками X и X0 обозначим через ∆ρ :

∆ρ = ρ(X ,X0 )= (x1 − x01 )2 +(x2 − x02 )2 + +(xn − x0n )2 .

Определение. Функция f (X ) называется дифференцируемой в точке X0 , если полное приращение этой функции в точке X0 можно

представить в виде

∆f (X0 ) = A1 (x1 − x01 )+ A2 (x2 − x02 )+ + An (xn − x0n )+α(∆ρ) , (1)

где A1 ,A2 , ,An - некоторые числа, а величина α(∆ρ) является бесконечно малой высшего порядка по сравнению с ∆ρ , т.е.

α(∆ρ) = o(∆ρ) при ∆ρ → 0 .

Теорема (необходимые условия дифференцируемости). Если функция f (X ) дифференцируема в точке X0 , то

1)f (X ) является непрерывной в точке X0 ;

2)f (X ) в точке X0 имеет все частные производные, причем

∂f	(X0 )= A1 ,	∂f	(X0 )= A2 ,…,	∂f		(X0 )= An .
∂x		∂x		∂x
					n
1		2

В связи с этой теоремой для дифференцируемой в точке X0 функции верно представление

	∂f	(X0 )(x1						∂f		′
∆f (X0 ) =	∂x		− x01 )+ + ∂x							′
∆f (X0 ) =	∂x		− x01 )+ + ∂x							(X0 )(xn − x0n )+o(∆ρ). (1 )
	1							n
Утверждение, обратное теореме, не всегда бывает верным.
Пример. Исследуем функцию
			x	2	y	,	если		(x, y) ≠ (0,0)
			x		y

	f (x, y) = x2 + y2
			0,				если (x, y) = (0,0)
			0,				если (x, y) = (0,0)

на непрерывность, существование частных производных, их непрерывность, а также дифференцируемость.

Решение. Эта функция является непрерывной на всей плоскости. При (x, y) ≠ (0,0) функция непрерывна как элементарная. Для точки

(0,0) воспользуемся неравенством

x2 y		≤	1	x	,

x2	+ y2		2

которое проверяется непосредственно. Двойной предел

lim		x2 y
		x2 y
		x2 + y2
x→0		x2 + y2
y→0
y→0

≤ lim	1	x	= 0 .
≤ lim	1	x	= 0 .
x→0	2
x→0	2
y→0
24

Отсюда заключаем, что

lim f (x, y) = f (0,0) ,

x→0 y→0

т. е., функция непрерывна и в точке (0,0).

При (x, y) ≠ (0,0) частные производные находим по правилам

дифференцирования функций одной переменной, используя таблицу производных:

fx′(x, y) =	2xy3		fy′(x, y) =	x2 (x2 − y2 )
		,			,
	(x2 + y2 )2			(x2 + y2 )2

В точке (0,0) по определению частных производных получаем

fx′(0,0) = fy′(0,0) = 0.

Непрерывность частных производных нарушается в единственной точке (0,0) . Для (x, y) ≠ (0,0) частные производные непрерывны

как элементарные функции. В точке (0,0) двойные пределы

lim fx′(x, y) и	lim fy′(x, y)
x→0	x→0
y→0	y→0

не существуют, поэтому непрерывности нет.

Если предположить, что функция дифференцируема в точке (0,0), то верно представление

∆f (0,0) = fx′(0,0) x + fy′(0,0) y +o(∆ρ) при ∆ρ → 0 .

Здесь

	x2 y
∆f (0,0) = f (x, y)− f (0,0) =		, ∆ρ =	x2 + y2	.
	x2 + y2

Т.о., должно быть верным представление x2x+2 yy2 = o(x2 + y2 ).

В частности, по направлению луча y = x , x > 0 , имеем представление

2x = o(x2 ),

которое неверно, т.к. отношение	x / 2	=	1		не стремиться к нулю

	x 2		2	2

при x → 0 . Значит, функция не дифференцируема в точке (0,0). 25

Вывод: в рассмотренном примере функция f (x, y) непрерывна

и имеет обе частные производные на всей плоскости, частные производные разрывны в точке (0,0) и функция не дифференцируема

в этой точке.

Теорема (достаточные условия дифференцируемости). Если функция f (X ) имеет частные производные по каждой переменной

внекоторой окрестности точки X0 , и эти производные непрерывны

вточке X0 , то f (X ) является дифференцируемой в точке X0 .

3.2. Дифференцирование сложной функции

Теорема. Пусть
1)	функции	xk (t1 ,t2 ,…,tm ), k =1, ,n , дифференцируемы в точ-
	ке A(a1 ,a2 ,…,am ) ,
2)	функция	f (x1 ,x2 ,…,xn )	дифференцируема в точке
	B(b1 ,b2 ,…,bn ) , где bk = xk (a1 ,a2 ,…,am ), k =1, ,n ,

тогда сложная функция

z = f (x1 (t1 ,t2 ,…,tm ),x2 (t1 ,t2 ,…,tm ),…,xn (t1 ,t2 ,…,tm ))

дифференцируема в точке A(a1 ,a2 ,…,am ) и ее частные производные представляются формулами

∂z

(A)=

∂f

(B)

∂x1

(A)+

∂f

(B)∂x2

(A)+ +

∂f

(B)∂xn

(A), (2)

∂t

∂x

∂t

∂x

∂t

∂x

∂t

где i =1, ,m .

Пример. Найдем частные производные сложной функции z = u

где u = xy ,

v = xy2 .

Решение. По правилам дифференцирования

∂

∂ ∂

(y −1)xy−2

z =

u +

z v = 1 yxy−1 −

∂x

∂u ∂x

∂v ∂x v

∂

∂ ∂

(y ln x −2)xy−1

u +

z v = 1 xy

ln x −

2xy

∂y

∂u ∂y

∂v ∂y v

3.3. Дифференциал

Пусть функция f (X ) = f (x1 ,x2 ,…,xn ) дифференцируема в точке X0 (x01 ,x02 , ,x0n ) . Полное приращение этой функции, получаемое

при переходе от точки X0			к точке X (x1 ,x2 , ,xn ) представляется в
виде	∂f		∂f		∂f
∆f (X0 )=		(X0 )∆x1 +		(X0 )∆x2 + +		(X0 )∆xn +o(∆ρ)
			∂x
	∂x				∂x
	1		2		n
при ∆ρ → 0 , где ∆xk = xk − x0k				- приращения аргументов, а ∆ρ - рас-

стояние между точками X и X0 .

Определение. Линейная часть приращения дифференцируемой в

точке X0 функции	f (X )		называется дифференциалом этой функции
в точке X0 :
df (X0 ):=	∂f	(X	0 )∆x1 +	∂f		(X0 )∆x2 + +	∂f		(X0 )∆xn .	(1)
df (X0 ):=		(X	0 )∆x1 +	∂x		(X0 )∆x2 + +	∂x		(X0 )∆xn .	(1)
	∂x			∂x			∂x	n
	1		2					n
Приращения независимых переменных называют их дифферен-
циалами:			dxk := ∆xk .
			dxk := ∆xk .
Дифференциал функции f (X )						в точке X0 записывают в виде				(2)
		df (X0 )= ∑ ∂f (X0 )dxk .								(2)
				n
				k =1	∂x
						k

Покажем, что для функций нескольких переменных сохраняется

свойство инвариантности формы первого дифференциала, установ-

ленное для функций одной переменной. Пусть выполнены условия теоремы о дифференцируемости сложной функции

z= f (x1 (t1 ,t2 ,…,tm ),x2 (t1 ,t2 ,…,tm ),…,xn (t1 ,t2 ,…,tm ))

вточке A(a1 ,a2 ,…,am ) . Тогда дифференциал этой функции в точке A

имеет вид

dz =

∂z

(A)dt1 +

∂z

(A)dt2

+ +

∂z

(A)dtm .

(3)

∂t

Частные производные вычисляются по формулам

∂xn (A),

∂z

(A)=

∂f

(B)∂x1

(A)+

∂f

(B)∂x2

(A)+ +

∂f

(B)

∂x

∂t

где B(b1 ,b2 ,…,bn ) , bk = xk (a1 ,a2 ,…,am ), k =1, ,n , i =1, ,m . Под-

ставляем эти производные в формулу (3) и делаем группировку по

производным

∂f

(B),

k =1, ,n . С учётом того, что

∂x

∂xk (A)dti = dxk , k =1, ,n , i =1, ,m ,

∂ti

получаем выражение

dz =

∂f

(B)dx1 +

∂f

(B)dx2 + +

∂f

(B)dxn ,

(4)

∂x

которое является дифференциалом функции

f (X ) в точке

B . Срав-

нивая (3) и (4), приходим к выводу, что форма дифференциала не зависит от того, являются ли переменные независимыми или зависимыми:

в обоих случаях дифференциал равен сумме произведений частных производных на соответствующие дифференциалы.

Пример. Найдем дифференциал функции z = ln(2x +3y). Решение. Вычисляем частные производные:

2					3
zx′ =		,	z′y =			.
	2x +3y			2x +3y
Находим дифференциал:			1
dz = zx′dx + z′y dy =					(2dx +3dy).
			2x +3y

§4. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ

КПОВЕРХНОСТИ

4.1.Геометрический смысл дифференцируемости

Графиком непрерывной функции y = f (x) одной переменной x

является кривая на плоскости. Дифференцируемость функции в точке x0 означает возможность представить приращение функции, соответ-

ствующее приращению аргумента от точки x0 до точки x , в виде f (x)− f (x0 ) = f ′(x0 )(x − x0 )+o(x − x0 ) при x → x0 .

Дифференцируемость функции	эквивалентна существованию
в точке (x0 , y0 ) , где y0 = f (x0 ) , касательной к кривой (см. рис. 1).
f (x)	M
	N
M0	γ
y0
x0	x

Рис. 1. График функции и касательной

Уравнение касательной M0 N в точке (x0 , y0 ) имеет вид y = y0 + f ′(x0 )(x − x0 ).

Уравнение нормали к кривой y = f (x)				в точке (x0 , y0 ) имеет вид
y = y0 −		1	(x − x0 ), если	f ′(x0 ) ≠ 0 ,
	f	′
		(x0 )
	x = x0 , если f ′(x0 ) = 0.
Пусть функция двух переменных z = f (x, y) определена в неко-
торой окрестности точки		L0 (x0 , y0 ) . Дифференцируемость функции в

точке означает возможность представить приращение этой функции в виде

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]