Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных лекционный материал

3) y2 = 2 px – параболический цилиндр (см. рис. 6);

Рис. 7.

5)x2 + y2 − z2 = −1 - двуполостный гиперболоид (см. рис. 8); a2 b2 c2

Рис. 8.

11

Рис. 9.

7)x2 − y2 − z = 0 - гиперболический параболоид (см. рис. 11); a2 b2

Рис. 12.

12

Представление о графике функции z = f (x, y) двух переменных

можно получить, построив семейство линий уровня: горизонтальные сечения поверхности на различных высотах плоскостями z = c , кото-

рые проецируются на плоскость XOY .

Линией уровня функции z = f (x, y) называется линия f (x, y) = c

на плоскости XOY , в каждой точке которой функция сохраняет постоянное значение: z = c .

Пример. Найти и изобразить семейство линий уровня графика функции z = (x −2)2 +(y −1)2 при z = 0,1,3,9 .

Решение. Очевидно, что «зет» (высота) не может принимать отрицательные значения, и поверхность располагается над плоскостью XOY . При минимальном значении z = 0 в качестве линии уровня по-

лучаем точку (2,1). На высоте z =1 линией уровня будет окружность

ность (x −2)2 +(y −1)2 = 9. Линии уровня изображаются на плоскости

XOY (см. рис. 13).

Рис. 13.

В картографии линии уровня – это линии точек одинаковой высоты над уровнем моря. Линии уровня позволяют отразить рельеф местности на «плоской» карте. Например, гора представляется в виде линий уровня 1000, 3000 и 5000 метров (см. рис. 14).

13

14

§2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

2.1.Предел последовательности

Последовательностью точек в пространстве n называется функция, определенная на множестве натуральных чисел, со значени-

ями в пространстве n :

X1 , X2 , , Xk , или {Xk }.

Определение. Точка A (конечная или бесконечная) называется пределом последовательности {Xk }, если для любой окрестности

точки A существует натуральное число, такое что все точки последовательности с номерами, большими этого числа, принадлежат этой окрестности:

Последовательность {Xk } называется сходящейся, если она име-

ет конечный предел. Т. е., существует точка A, такая что

ε > 0 N k > N ρ(Xk , A)< ε .

Соответственно, последовательность {Xk } называется расходя-

щейся, если она не имеет конечного предела (в этом случае предел либо равен бесконечности, либо вообще не существует).

Очевидно, что сходимость последовательности является покоординатной, т.е. верно следующее утверждение.

Теорема. Последовательность точек {Xk } в пространстве n ,

где Xk = (xk1 ,xk 2 , ,xkn ), сходится к точке A = (a1 ,a2 , ,an ) этого пространства тогда и только тогда, когда все координатные после-

ε > 0 N k > N m > N ρ(Xk , Xm )< ε .

Критерий Коши. Последовательность {Xk } сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной.

15

Теорема Больцано – Вейерштрасса. Из любой ограниченной по-

следовательности точек в пространстве n можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Определение. Множество называется компактным (или компактом), если оно замкнуто и ограничено.

Лемма Гейне – Бореля. Если семейство открытых множеств покрывает компакт, то существует конечный набор множеств этого семейства, покрывающих данный компакт.

16

2.2. Предел функции в точке

Пусть функция f (X ) = f (x1 ,x2 , ,xn ) определена на множестве D n и X0 - предельная точка множества D.

Определение (по Коши). Число A (конечное или бесконечное) называется пределом функции y = f (X ) в точке X0 (конечной или

бесконечной) по множеству D, если для любой окрестности точки a существует проколотая окрестность точки X0 , такая что для л ю-

бой точки X из множества D и этой проколотой окрестности, значения f (X ) принадлежат окрестности точки A :

y = f (X ) в точке X0 по множеству D, если для любой последовательности точек {Xk } D , отличных от X0 , имеющей своим пределом точку X0 , соответствующая последовательность значений функции {f (Xk )} имеет своим пределом число A .

Определения по Коши и по Гейне эквивалентны между собой. В случае двух переменных предел записывается как

lim f (x, y)

x→x0 y→y0

и называется двойным. Кроме этого рассматривают два повторных предела.

Определение. Пусть функция f (x, y) определена в некоторой проколотой окрестности точки (x0 , y0 ) . Повторными пределами функции f (x, y) в точке (x0 , y0 ) называют пределы

xlim→x0 (ylim→y0 f (x, y)) и ylim→y0 (xlim→x0 f (x, y)).

Теорема. Пусть существует двойной предел lim f (x, y) . Если

x→x0 y→y0

для каждого y из некоторой проколотой окрестности точки y0 су-

ществует предел lim f (x, y) , то существует повторный предел

x→x0

17

ylim→y0 (xlim→x0 f (x, y))= xlim→x0 f (x, y) .

y→y0

Обратное утверждение неверно и существование даже обоих повторных пределов не гарантирует существования двойного предела.

Пример 1. Исследуем функцию

z = x4x+2 yy2

на существование повторных и двойного пределов в точке (0,0) . Решение. Очевидно, что

поэтому оба повторных предела равны нулю:

Для исследования двойного предела

lim0 x4x+2 yy2

x→

y→0

иногда помогает переход к полярным координатам x = ρ cosϕ, y = ρsinϕ .

Т.к. ρ = x2 + y2 , то условие (x, y) → (0,0) влечет ρ → 0 . Поэтому нужно исследовать предел

lim0 f1 (ρ,ϕ)

ρ→

и установить его независимость от направления ϕ . Следует предостеречь от желания считать ϕ = const .

при ρ → 0 .

18

Если же sinϕ = ε → 0, то получаем эквивалентные величины

y→0

Вывод: в рассмотренном примере оба повторных предела равны нулю, а двойной предел не существует.

19

2.3. Непрерывность функции в точке и на компакте

Пусть функция нескольких переменных y = f (X ) определена на множестве D n и X0 - предельная точка множества D.

Определение (по Коши). Функция f (X ) называется непрерывной в точке X0 по множеству D, если эта функция определена во всех точкахмножества D изнекоторойокрестности точки X0 и предел

ε > 0 δ(ε) > 0 X D (ρ(X , X0 ) <δ ) ( f (X )− f (X0 ) < ε).

Условие (1) можно записать также на языке последовательно-

стей: для любой сходящейся к X0 последовательности точек

{Xk } D , соответствующая последовательность значений функции

{f (Xk )} имеет своим пределом число f (X0 ).

Для функций нескольких переменных сохраняются известные свойства функций одной переменой.

Свойство 1. Если функция непрерывна в точке X0 по множе-

ству D , то она ограничена в точках множества D , принадлежащих достаточно малой окрестности точки X0 .

Свойство 2. Если функция непрерывна в точке X0 по множеству D и f (X0 ) ≠ 0, то она сохраняет знак в точках множества D , принадлежащих достаточно малой окрестности точки X0 .

Сохраняется также теорема о непрерывности элементарной функции в своей области определения.

Пример 2. Доопределить, если можно, функцию

z= x3 + y3 x2 + y2

по непрерывности в точке (0,0) .

Решение. Сначала исследуем предел функции z = f (x, y) в точке (0,0). Если он существует, то определим по непрерывности значение

20