Дискретные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие

xɺ. Полученные по формуле (2.99) узлы разбиения h совпадают с узлами квадратурной формулы Гаусса – Радо. Область изменения h заключена в пределах 0 ≤ h ≤ 1.

2.12. МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА ЭВЕРХАРТА

Порядок метода, определяющий точность интегрирования, зависит от количества разбиений основного шага h на подшаги hi . Порядок данного метода определяется наибольшей степенью временного ряда (2.80).

Эверхартом приведены узлы разбиения основного шага интегрирования на подшаги, обеспечивающие точность до 15 порядка включительно. Для использования метода Эверхарта более высокого по-

биения отрезка [0, 1] на подшаги вычислены с помощью алгоритма, основанного на формулах (2.97) – (2.99), для порядков метода с 9-го по 33-й включительно.

При численном интегрировании уравнений (2.38) методом Эверхарта разбиение шага интегрирования проводится по формулам Гаусса – Радо или Гаусса – Лобатто. Алгоритмы и программа численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений реализованы Эверхартом для первого случая.

Как известно, повышение точности при численном решении дифференциальных уравнений можно достичь двумя путями, либо путем уменьшения шага интегрирования, либо путем увеличения порядка метода. Недостатком первого способа является увеличение ошибок округления при уменьшении шага интегрирования. Увеличение порядка аппроксимирующей формулы обладает преимуществом по сравнению с первым методом, но приводит к усложнению алгоритма и замедлению процесса вычислений. Кроме того, коэффициенты высокого порядка, вычисленные по разностной схеме, часто отя-

72

гощены большими ошибками, т.е. их значения могут получаться на уровне шумов. Однако следует всегда отдавать предпочтение увеличению порядка, когда интегрирование проводится на длительном интервале времени.

При порядке не выше 15-го значения величин Anx , Any , Anz вы-

числяются с высокой степенью точности, и в использовании модификации алгоритма численного интегрирования нет необходимости. Неопределенность остается в выборе шага интегрирования для конкретно решаемой задачи. Если Anx , Any , Anz – конечные коэффициенты

для координат x , y , z в формуле (2.80), то для максимальной длины шага может быть использована формула H = (ξ / R)1 / n , где H – дли-

Вследствие того, что метод Эверхара показал высокую эффективность при решении задач небесной механики, дальнейшее его исследование будем проводить на примерах решения дифференциальных уравнений движения небесных тел. При использовании методов низкого порядка величину шага интегрирования следует выбирать достаточно малой. Это не позволяет численно интегрировать уравнения движения небесных тел на интервале времени порядка нескольких столетий из-за накопления погрешности округления. В этом случае применяются методы высокого порядка, так как использование аппроксимирующих формул высокого порядка может приводить к увеличению шага интегрирования. Однако при применении метода Эверхарта к решению уравнений движения небесных объектов увеличение порядка метода выше 19-го, не приводило к повышению точности и эффективности вычислений. Главная причина заключалась в способе нахождения коэффициентов Anx , Any , Anz .

Вследствие того, что начальные данные задачи Коши имеют ограниченную точность, разделенные разности высоких порядков, вычисленные с помощью этих данных, перестают убывать с увеличе-

73

нием порядка метода. В силу неопределенности коэффициентов высокого порядка, вычисленных с использованием разностных схем, полученные решения становятся непригодными для практического использования. Следовательно, задача численного интегрирования дифференциальных уравнений методом Эверхарта высокого порядка сводится к оценке коэффициентов Anx , Any , Anz . Оценить эти коэф-

фициенты можно на основании выполнения следующих условий.

1.При возрастании порядка метода величина последнего члена в формуле (2.80) должна убывать и при n → ∞ стремиться к нулю. Выполнение этого условия обеспечивает необходимое условие сходимости временного ряда.

2.Увеличение порядка метода должно приводить к увеличению максимальной длины шага интегрирования. Выполнение этого требования менее очевидно. Однако в случае нарушения этого условия увеличение порядка не может привести к более эффективному алгоритму и дальнейшее повышение порядка метода не имеет смысла.

Увеличение эффективности метода при повышении его порядка может быть достигнуто следующим способом.

Модификация алгоритма метода Эверхарта позволила повысить эффективность программного продукта при увеличении порядка метода. Показано, что если порядок метода Эверхарта выше 15, то до-

бавление условия An ≈ 0 в неявную схему расчета коэффициентов A1 , A2 , , An является необходимым для повышения эффективности метода. Так как система уравнений для нахождения A1 , A2 , A3 , записана в неявном виде, с учетом сделанного допущения производится пересчет коэффициентов Ai , при i < n , которые находятся по формулам (2.85).

Использование данного приема позволило находить коэффициенты Ai , с помощью которых координаты и скорости исследуемого объекта по формулам (2.80) и (2.81) вычисляются с высокой степенью

74

точности, а также разработать алгоритм и программное обеспечение численного интегрирования для решения уравнений движения небесных объектов методом Эверхарта до 33 порядка включительно, эффективность и точность которых возрастает.

Кроме того, следует отметить, что программа, составленная Эверхартом на ФОРТРАНЕ, осуществляет совместное интегрирование возмущаемого тела и возмущающих планет. В программе не предусматривалось использование банка данных координат и компонент скоростей для возмущающих тел, поэтому необходимо было ее модифицировать. Вследствие того, что в процессе интегрирования требуется информация о координатах и скоростях планет на значительном количестве подшагов, требовалось оперативно получать их, затрачивая при этом минимальное время.

Модификация алгоритма и программы метода Эверхарта с учетом вышеназванных условий позволила разработать алгоритм и программы численного интегрирования для решения уравнений движения небесных тел методом Эверхарта до 33 порядка включительно, эффективность и точность которых возрастает. Модификация метода Эверхарта позволяет учитывать в аппроксимирующей формуле различное количество членов в зависимости от требуемой точности. Кроме того, использование банка данных координат планет позволяет значительно сократить время численного интегрирования уравнений движения небесных тел без существенной потери точности.

Применение данного алгоритма к решению систем дифференциальных уравнений движения небесных объектов выявило преимущество увеличения порядка аппроксимирующих формул в алгоритме по сравнению со способами, основанными на процедуре уменьшения шага интегрирования. В частности, уменьшение шага интегрирования вдвое увеличивает время вычислений в 2 раза, а увеличение порядка метода при сохранении величины шага увеличивает время вычислений лишь в 1,2 раза.

75

2.13. СВЯЗЬ НЕЯВНОГО МЕТОДА ЭВЕРХАРТА С НЕЯВНЫМИ МЕТОДАМИ РУНГЕ – КУТТЫ

Неявный метод Рунге – Кутты 5-го порядка при использовании разбиения интервала [0, 1] на подшаги Радо Батчером представляется в следующем виде. Находятся F1 (x1 , 0), F2 (x2 , h2T ) и F3 (x3 , h3T ), где

лентном виде w1 F1 + w2 F2 + w3 F3 .

Для метода Эверхарта более высокого порядка справедливо аналогичное утверждение. Таким образом, можно сформулировать следующую теорему.

Теорема. Неявный метод Эверхарта принадлежит классу неявных методов Рунге – Кутты.

В табл. 2.21 приведены узлы разбиения отрезка [0, 1] на подшаги, вычисленные с помощью алгоритма, основанного на формулах (2.95)

– (2.100), для порядков метода с 9-го по 33-й. Здесь в первой строке указан порядок метода, в последующих – узлы разбиения.

76

77

2.14.МЕТОДЫ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ

Внастоящее время методы экстраполяции широко применяются для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, требующих высокой точности решения. Достоинство методов экстраполяции заключается прежде всего в том, что при их использовании не требуется многократного перевычисления правых частей дифференциальных уравнений. Это особенно важно, когда правые части уравнений достаточно сложны. Разработкой методов экстраполяции занимались такие известные специалисты, как Л. Ричардсон, Р. Булирш, Дж. Штер и др.

2.15.ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ РИЧАРДСОНА

Для нахождения решения задачи (2.103) с помощью экстраполяции Ричардсона решение ищется не на всем интервале интегрирования, а на последовательных его подынтервалах (xn , xn+1 ) .

78

Основная идея экстраполяции Ричардсона состоит в рассмотрении решения yn+1 сходящейся дискретной задачи как функции от N

вычислений нескольких значений y1n+1 , yn2+1 , ... , ynN+1 и их интерполяции подходящей функцией y(N ) от аргумента N . Значения y1n+1 , yn2+1 , ..., ynN+1 могут быть получены с различным шагом интегрирования. Предельный переход при N → ∞ приводит к точному решению y(xn+1 ) исходной задачи (см. рис. 2.1).

Рис. 2.1. Интерполяция значений y1n+1 , yn2+1 , ..., ynN+1

В общем случае, если имеется некоторая функция F (h) , которая

поляции называют алгоритмом Невилла, представленным в виде следующей таблицы:

Таблица заполняется столбец за столбцом следующим образом:

так как эта последовательность приводит к устойчивому алгоритму и экономична в смысле объема вычислений.

Следует отметить, что эффективность алгоритма экстраполяции зависит от способа разложения функции F (h) в ряд (2.104). Если известно, что разложение имеет вид