Дискретные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие

Интегрируя по частям (2.28), получим равенство

Так как g0i = (xn+1 − xn ) j / j!, то формулу (2.34) можно использовать для вычисления искомых коэффициентов с помощью следующей треугольной таблицы (табл. 2.15).

Таблица 2.15

Коэффициенты gij

Согласно (2.34), каждый элемент этой матрицы получается из двух элементов предыдущей строки.

Следует отметить, что если длина шага остается постоянной на протяжении s шагов, то коэффициенты gij при i < s будут постоян-

ными. С учетом этого свойства можно утверждать, что дополнительные затраты времени на вычисление переменных коэффициентов становятся несущественными при интегрировании большого числа уравнений, так как коэффициенты при постоянном шаге остаются неизменными.

2.3. МЕТОДЫ АДАМСА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ БОЛЕЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

Системы дифференциальных уравнений различных порядков можно интегрировать непосредственно без сведения к эквивалентной системе первого порядка.

41

Рассмотрим уравнение d -того порядка

Заменяя функцию f (x, y(x),..., y (d −1) (x)) интерполяционным полиномом, получим явную формулу Адамса:

Рассмотрим алгоритм Pk ECk +1E , пользуясь разделенными разностями. Это наиболее распространенная форма использования методов Адамса

циентами первого порядка, так как вычисляются одинаково.

В настоящее время отсутствуют теоретические аргументы в пользу сведения уравнений высокого порядка к системе уравнений первого порядка или, наоборот, в пользу непосредственного их интегрирования.

Вычислительное преимущество формул (2.37) заключается в том, что требуется сформировать и обновлять на каждом шаге только одну таблицу разделенных разностей. Сведение к d уравнениям первого порядка потребовало бы d таблиц разностей.

42

2.4. МЕТОД КОУЭЛЛА

Большинство численных методов интегрирования дифференциальных уравнений можно разделить на две группы, основанные на двух различных принципах.

Методы первой группы основаны на разложении в ряд Тейлора, причем производные высших порядков определяются путем дифференцирования правой части данного уравнения аналитически или численно. К этой группе относятся методы Эйлера, Адамса, Штермера, Коуэлла и др.

Методы второй группы также основаны на разложении в ряды, но без использования в процессе вычисления производных высших порядков. Вместо этого на данном шаге вычисляют правую часть уравнения для различных значений входящих туда переменных. Эти методы называются методами Рунге – Кутты.

Методы второй группы имеют некоторые преимущества перед методами первой группы, а именно: не требуются какие-либо другие методы для начала интегрирования, так как для продвижения вперед на один шаг используются лишь значения искомых функций в последней точке; величина шага может быть в любое время изменена в процессе интегрирования без какой-либо дополнительной работы. При этом в качестве критерия изменения шага могут служить результаты расчетов с нормальным и половинчатым шагами.

Наряду с этим имеются и существенные недостатки этих методов, которые заключаются в следующем: процесс интегрирования лишен простых средств контроля правильности выбора шага и обнаружения арифметических ошибок; метод требует большого количества вычислений правых частей дифференциального уравнения, что связано с большой вычислительной работой, в особенности когда правые части дифференциальных уравнений имеют сложную структуру; увеличение точности метода связано с большими трудностями, так как при этом возрастает громоздкость рабочих формул.

Методы первой группы лишены указанных недостатков, поэтому они нашли широкое применение для решения задач, требующих вы-

43

сокой степени точности. Наиболее распространенным является метод Коуэлла, который, как впоследствии оказалось, идентичен методу «механических квадратур» Гаусса. В частности, метод Коуэлла наиболее часто используется при решении задач небесной механики.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений следующего вида:

Особенность уравнения (2.38) состоит в том, что в его правую часть не входит первая производная, и потому можно избежать двух интегрирований – одного для получения rɺ, а другого для нахождения r . Основная идея метода Коуэлла состоит в том, чтобы перейти прямо от второй производной ɺrɺ к искомой функции r по одной формуле двойного интегрирования, используя при этом интерполяционную формулу Стирлинга. Перейдем к выводу основных соотношений метода Коуэлла с точностью до членов двенадцатого порядка включительно относительно шага интегрирования h .

Согласно формуле Тейлора можно записать

Из этих соотношений находим вторые разности

так как

2 rk = r(tk + h) − 2r(tk ) + r(tk − h).

Полагая

44

получим

Теперь выразим производные через разности функции, используя для этой цели интерполяционную формулу Стирлинга. Система обозначений разностей и сумм представлена в табл. 2.16.

Если вместо радиус-вектора используются его координаты, то после перехода от векторов к их составляющим по координатам, табл. 2.16 преобразуется в три отдельные таблицы.

Кроме того, вводятся следующие обозначения:

45

Интерполяционную формулу Стирлинга можно представить в следующем виде:

i =1

где fki – разность i -того порядка для k -тоой строки, а коэффициенты Ai определяются следующими рекуррентными соотношениями:

Дифференцируя выражения (2.43) n раз, получим

Формулы (2.45) и (2.46) позволяют выразить производные любого порядка через разности.

46

Так как Ai являются полиномами i -той степени относительно z , то при n > i имеем

1

ний i имеет место равенство

Ai(i) = 1.

Первое из соотношений (2.46) показывает, что если для какоголибо индекса j0 четные или нечетные производные равны нулю, то и для любых индексов j > j0 указанные производные будут также равны нулю. Так как для A1 все чётные производные равны нулю, то из соотношений (2.46) для любых значений j следует

Таким образом, если нижние и верхние индексы разной чётности, то имеет место равенство

Ai(n) = 0.

Это значит, что нечётные производные, определяемые соотношениями (2.45), выражаются только через нечётные разности, а чётные производные – только через чётные.

Из соотношений (2.46) с учётом указанных свойств легко находим

Производные высших порядков, легко находятся непосредственно по рекуррентным формулам (2.46).

47