Дискретные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие

Корни полинома устойчивости (4.23) являются непрерывными

сти RA абсолютной устойчивости всегда проходит через начало координат комплексной плоскости hλ , и внутренность RA всегда лежит слева от начала координат.

Одним из распространенных методов нахождения области абсолютной устойчивости является метод геометрического места точек

101

Точка hλ уравнения (4.27) будет лежать на границе области устойчивости, если при этом hλ полином устойчивости имеет корень, по модулю равный единице. Для простых методов часто удается решить (4.27) аналитически.

Область абсолютной устойчивости можно следующим образом использовать для выбора шага интегрирования: определяются собственные значения матрицы Якоби и h изменяется так, чтобы произведение h на любое собственное значение лежало внутри RA .

Определение 4.14. Метод из класса (4.4) называется сильно устойчивым, если он согласован и удовлетворяет сильному корневому условию.

Определение 4.15. Метод (4.4) называется относительно устойчивым для каждого hλ , если при этом hλ все корни полинома устойчи-

вости по модулю меньше ehλ .

Область Rr комплексной плоскости называется областью относительной устойчивости метода (4.4), если он относительно устойчив при всех hλ Rr .

В табл. 4.2 приведен список интервалов абсолютной устойчивости для некоторых наиболее распространенных методов.

5. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ ЗАДАЧИ КОШИ

5.1. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ МЕТОДОМ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ

Рассмотрим k -шаговый метод в виде

yn = S n (h), 0 ≤ n < k,

Используя определение нуль-устойчивости, получаем, что существуют такие постоянные h0 и S , что для всех h (0, h0 ] и 0 ≤ n ≤ N

yn − y(xn ) ≤ Sd n , 0 ≤ n ≤ N − k .

Важность этой теоремы состоит в том, что с помощью разложения в ряд Тейлора можно найти порядок согласованности метода, а устойчивость проверить с помощью корневого условия, доказав при этом сходимость метода.

103

Теорема 5.2. Если

+ O(h p +1 ) = O(h p +1 ).

При выводе этих выражений для первого члена (5.7) использовалось определение погрешности дискретизации и соотношение (5.4), для второго члена (5.7) использовались также разложение функции e(xn+i ) в окрестности точки xn+k и соотношение

ρ′(1) = ∑ iαi ,

адля третьего члена использовалось соотношение

ϕ(xn , y(xn + k ),..., y(xn ),h) = ρ′(1) f (xn , y(xn )) .

Таким образом, yn и y(xn ) + h p e(xn ) удовлетворяют системам уравнений, правые части которых отличаются на величину порядка

O(h p+1 ) .

Из полученного результата следует, что метод, для которого локальная погрешность дискретизации в точке xn равна h p ψ(xn ) , имеет

104

полную погрешность с главной частью h p e(xn ) . Точное решение отличается от приближенного на такую же величину, как в случае появления в дифференциальном уравнении возмущения при условии, что начальные значения заданы с точностью порядка p + 1. Локальная погрешность дискретизации в одной точке влияет на погрешность решения так же, как возмущение в правой части в дифференциальной задаче.

Принимая во внимание (5.5), полную погрешность в фиксированной точке c можно оценить, используя приближенные решения, вы-

y2M (h / 2) − y(c) = [yM (h) − y2M (h / 2)]/[2 p − 1]+ O(h p+1 ) .

Погрешность при шаге h / 2 приближенно равна разности решений с шагом h и h / 2 умноженной на 2− p . Это дает наиболее удобный способ выбора подходящего шага интегрирования. Шаг интегрирования уменьшается до тех пор, пока два решения не совпадут с требуемой точностью.

5.2. ОЦЕНКА ЛОКАЛЬНОЙ ПОГРЕШНОСТИ ДИСКРЕТИЗАЦИИ ОДНОШАГОВЫХ МЕТОДОВ

Для оценки ошибок дискретизации одношаговых методов наиболее часто применяются следующие три основных метода.

1.Метод экстраполяции. Интегрирование от точки xn до точки

xn+1 выполняется дважды: один раз с шагом h и другой раз с шагом

h / 2 . Тогда d n+1 = [1 /(h(1 − 2− p )][yn+1 − yn+1 ], где yn+1 получено с шагом h / 2 , а yn+1 – с шагом h .

105

2. Вложенные методы. На каждом шаге интегрирование выполняется дважды: методом порядка p и методом порядка p + 1. Разность полученных значений дает оценку d n+1 = ( yn+1 − yn+1 ) / h , где

получено с порядком p + 1, а yn+1 – с порядком p .

3. Многошаговые оценки погрешности. Многошаговая формула

106

6. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ЖЕСТКИХ ЗАДАЧ

6.1. ЖЕСТКАЯ ЗАДАЧА КОШИ

Жесткость присуща самой математической задаче, а не численному методу.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка

и обозначим через y(x) , x [a, b] точное решение уравнения (6.1), удовлетворяющее заданным начальным условиям y(a) = y0 .

Для того чтобы определить, является ли задача (6.1) жесткой, необходима информация о поведении решения данного уравнения в окрестности частного решения y(x) . С этой целью уравнение (6.1)

рые будем предполагать различными. Таким образом, приближенное

Re(λi ) < 0, i = 1, 2, ... , s ,

и можно показать, что нестационарные фундаментальные решения затухают с увеличением x со скоростью, пропорциональной вели-

107

6.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ДЛЯ ЖЕСТКИХ ЗАДАЧ

Рассмотрим трудности, возникающие при решении жесткой задачи. Основная трудность связана с проблемой численной устойчивости. Для обеспечения численной устойчивости в решении необходимо выбирать такой шаг h , при котором каждое из комплексных значений hi = hλi , i = 1, 2,..., s , где λi – собственные значения J (x) , лежало бы внутри области абсолютной устойчивости. Следовательно, для методов с ограниченной областью абсолютной устойчивости длина шага должна быть сопоставима с порядком наименьшей «временной постоянной» системы.

Чтобы устранить данное ограничение на длину шага, необходимо рассматривать численные методы, для которых область устойчивости продолжается до бесконечности в полуплоскость Re(hλ) < 0 .

Для жестких систем предложено несколько определений устойчивости.

Определение 6.2. Численный метод называется A-устойчивым, если его область абсолютной устойчивости включает всю полуплоскость Re(hλ) < 0 .

Доказано, что явные линейные многошаговые методы не могут быть A-устойчивыми, и что порядок неявного многошагового метода не может превосходить двух, причем наиболее точным из таких методов является метод трапеций.

Вследствие этого понятие A-устойчивости преимущественно используется при изучении неявных одношаговых методов. Для многошаговых методов вводится менее ограничительное требование к устойчивости.

Определение 6.3. Численный метод называется A(α ) -устойчивым α (0,π / 2). если его область абсолютной устойчивости включает бесконечный клин arg(−λ) < α (рис. 6.1).

109

Рис. 6.1. A(α ) -устойчивость: штриховкой выделена область абсолютной устойчивости

Метод называется A(0) -устойчивым, если он A(α) -устойчив для некоторого достаточно малого α (0,π / 2).

Доказано, что явный линейный многошаговый метод не может быть A(0) -устойчивым, однако существуют трех- и четырехпорядковые неявные методы, A(α) -устойчивые для любого α < π / 2 .

Следующее определение включает в себя как устойчивость, так и точность приближений к фундаментальному решению.

Определение 6.4. Метод называется жестко устойчивым, если он абсолютно устойчив в области R1 ( Re(hλ) ≤ D ) и точен в области R2

( D < Re(hλ) < α, Im(hλ) < θ ) (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Жесткая устойчивость

Поясним это определение. Если решение y(x) содержит нестационарные фундаментальные решения, то те из них, которые имеют малые временные постоянные, быстро затухают и становятся пренебрежительно малыми, в то время как фундаментальные решения с большими временными постоянными вносят в решение существенный вклад.

110