Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дискретные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

(2.70), рабочие формулы вычисления координат для указанных моментов будут следующие:

x		= f		−2	+ f −1				−						6803477					f						+				6803477							f						−
1			0		− 1						2615348736000											−5						261534873600											− 4
							2				2615348736000																	261534873600
		1998587													528919															10377427
		1998587													528919															10377427
−									f−3				+							f		−2 +												f−1 +
−	19372953600								f−3				+				4358914560			f		−2 +							12454041600					f−1 +
		3433391539											109551893												171689929
		3433391539											109551893												171689929

+		3459456000 f0 +											1132185600 f1 −											21794572800 f2 +
+		3459456000 f0 +											1132185600 f1 −											21794572800 f2 +
+		978321							−						43103107				f4 +											29543743
							f3																														f5 ,
		774918144					f3				261534873600															2615348736000											f5 ,
		774918144									261534873600															2615348736000
x2 = f0−2 + 2 f−−11 +															29543743								f−5 −							6635693							f			−4 −

													2615348736000																	52306974700
									2				2615348736000																	52306974700
		12540301													42871057															47937079
		12540301													42871057															47937079
−									f−3					−									f− 2 +														f−1 +
−	19372953600								f−3					−		21794572800							f− 2 +							12454041600							f−1 +
		328749529									497008231								184329877
		328749529									497008231								184329877

+							f0 +					498161664 f1 +							1981324800 f2 −
+	164736000						f0 +					498161664 f1 +							1981324800 f2 −																										(2.75)
		116504251													167692751															106049897															(2.75)
−		116504251							f3 +						167692751								f4 −							106049897										f5 ,
−	19372953600								f3 +						261534873600								f4 −					2615348736000												f5 ,
x		= f		− 2	+ 3 f		−1			−					106049897								f				+				119609261									f				−
x		= f		− 2	+ 3 f		−1			−					106049897								f		−5		+				119609261									f	−			−
3				0		− 1							2615348736000												−5					261534873600											−		4
							2						2615348736000																	261534873600
−		136989533											+					159926447					f−2 −							38229517					f−1 +
		136989533							f−3									159926447												38229517
									f−3
		58118860800													21794572800															2490808320
+		31369476377							f0 +						24620154619						f1 +						22035747323						f2 +

	10378368000														12454041600												21794572800
	10378368000														12454041600												21794572800
		456196373													197906591													510378643
+		456196373						f3 −							197906591				f4				+					510378643								f5 ,
+		5283532800						f3 −					52306974720						f4				+			2615348736000										f5 ,
				−2			−1								510378643															572021497
				−2			−1								510378643															572021497
x4 = f				0	+ 4 f		− 12			+												f−5 −																f− 4 +
x4 = f				0	+ 4 f		− 12			+				2615348736000								f−5 −										261534873600						f− 4 +
+		130075191							f					− 753141709									f				+			893410123							f					+
+		130075191							f	−3				− 753141709									f		−	2	+			893410123							f	−1				+

	11623772160														21794572800															12454041600

+	13472829389						f		+			38766204667					f1		+		8336345863					f2		+
								0
	3459456000							0				12454041600									4358914560
	3459456000											12454041600									4358914560
			20211127073										1797694357									4281164477
+			20211127073				f3 +						1797694357				f4		−			4281164477								f5 ,
+	19372953600						f3 +					23775897600					f4		−		2615348736000									f5 ,
			−2	−1								4281164477									4760318789
			−2	−1								4281164477									4760318789
x5 = f0				+ 5 f− 12				−										f	−5 +											f− 4	+
x5 = f0				+ 5 f− 12				−		2615348736000								f	−5 +						261534873600					f− 4	+
		1786550083												6130492139										7157910869							(2.75)
−		1786550083					f	−3		+				6130492139				f	−2			−		7157910869					f	−1 +
	19372953600											21794572800									12454041600
+			2880245237					+			39083623951							+		79614060479								+
+			2880245237		f			+			39083623951				f			+		79614060479						f		+
	494208000						0			12454041600						1			21794572800								2
+			10605963899						+			296396620109						f4 +					13695779093
			10605963899			f		3				296396620109											13695779093							f5.
						f		3																						f5.
	6457651200											261534873600									237758976000

Значения x с отрицательными индексами определяются на основании тех же самых соотношений (2.75) в силу симметрии таблицы интегрирования относительно нулевой строки.

Если записать формулы (2.75) в общем виде

xk = f 0−2 + kf −−11		+n
xk = f 0−2 + kf −−11	+ ∑ Aki f i			, при 0 ≤ k ≤ n ,
2		i=−n
то соответствующая формула для x − k			будет
x−k = f 0−2 − k		−11 +		+	+n
x−k = f 0−2 − k	f	−11 +	f 0	+	∑ Aki f −i .
		− 2			i=−n

Что касается x0 , то оно задано.

Для вычисления начальных значений сумм f 0−2 и f −−11 служат

формулы (2.65) и (2.69), которые с учетом десятых разностей можно записать в следующем виде:

f		−2 = x +						6803477										( f + f								) −
	0		0		2615348736000															5				−5
					2615348736000
			10438199							( f				−4 ) +
−			10438199									4 + f

	261534873600
	261534873600
		17893829							( f3 + f −3 ) −											36870059										( f 2 + f −2 ) +
+		17893829																		36870059
+	58118860800																		21794572800
	58118860800																		21794572800
	108799709																		92427157
+	108799709								( f			+ f		) −					92427157																	(2.76)
											1		−1														f	0	,
																											f		,
	12454041600															943488000
f		−1	= hxɺ		+			14797						( f					− f		−5	) −					230371				( f		− f	−4	) +
f	− 1		= hxɺ	0	+									( f		5			− f			) −									( f	4	− f		) +
	− 1			0			191600640									5										239500800						4
	2						191600640																			239500800
	203257														299093
+	203257					( f3 − f −3 ) −									299093								( f		2 − f −2 ) +
+						( f3 − f −3 ) −																	( f		2 − f −2 ) +
	35481600													13305600
		11639731					( f	1 − f −1 ) −							1
+		11639731													1		f		0 .
+	159667200														2		f		0 .
	159667200														2

Решение поставленной задачи выполняется по формулам (2.75) и (2.76) методом последовательных приближений. Сначала для момента t0 по заданному значению x0 вычисляем f0 . В первом приближении принимаем значения правых частей уравнений для всех моментов постоянными и равными f0 . Далее с этими значениями правых

частей по формулам (2.76) вычисляем f 0−2 и f −−11 . Затем по форму-

лам (2.75) и (2.39) вычисляем последовательно для всех моментов

(кроме t0 ) значения	f	. После этого вновь перевычисляем по форму-
лам (2.76) величины	f	0−2 и f −−11 и т. д. Указанный процесс последо-
		2

вательных приближений повторяется до тех пор, пока разности по-

следующих и предыдущих значений модулей f 0−2 , f −−11 и f не бу-

дут меньше заданной относительной точности ε , т. е.

(

f 0−2

)

− (

f 0−2

)

< ε

f 0−2

σ −1

−1

< ε

−1

−

σ −1

( fi )σ − ( fi )σ −1 < ε fi .

Что касается шага h , то он выбирается заранее.

В результате описанного процесса получим начальную таблицу интегрирования в виде табл. 2.19.

			Таблица 2.19
	Таблица интегрирования

f0−2 , f−−11	f −5 , f −4 , f −3 , f −2	f −1 , f0 , f1	f 2 , f3 , f 4 , f5
2

2.9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С УЧЕТОМ ДЕСЯТЫХ РАЗНОСТЕЙ

Рассмотрим методику интегрирования уравнений движения небесной механики по методу Коуэлла с учетом разностей десятого порядка. Основной формулой для интегрирования является (2.56).

Таким образом, чтобы вычислить значения xk , необходимо знать,

кроме f k−2 и f k−−112 , значения правой части уравнения для одиннадца-

ти моментов, расположенных симметрично относительно tk . Поэтому, принимая условно k = 0 , получаем таблицу интегриро-

вания в виде табл. 2.20.

			Таблица 2.20
Таблица интегрирования

f 0−2 , f−−11 , f −5 , f −4 , f −3 , f −2 , f −1	f	0 , f1 , f	2 , f3 , f 4 , f5
2

Величины, стоящие в сплошной рамке табл. 2.20, являются точ-

ными, величина f0		уточняется последовательными приближениями,
а значения	f1 , f 2 ,	f3 ,	f 4 и f5 вычисляются приближенно: первое –
для учета	f02 , второе –		для учета f04 ,	третье – для учета f06 , четвер-
тое – для учета f08 , а пятое – для учета				f 010 .

Таблица интегрирования получается путем смещения на одну строку значений начальной таблицы интегрирования, т.е. индексы в таблице интегрирования увеличиваются на единицу.

Таким образом, при интегрировании по формуле (2.66) требуется «заглядывать» вперед на пять шагов. Значения x0 , x1, x 2 , x3 , x4 и x5 получаем на основании формулы (2.66):

x = f					− 2 −						6803477														( f + f											) +										10438199										( f + f							) −
	0				0	2615348736000																				5						−5										261534873600																		4		− 4
						2615348736000																																				261534873600
				17893829									( f3 +									f−3 ) +				36870059																				( f2 + f− 2 ) −
−				17893829																						36870059
−		58118860800																							21794572800
				108799709																					92427157
				108799709																					92427157

−													( f1 + f−1 ) +											943488000 f0 ,
−		12454041600											( f1 + f−1 ) +											943488000 f0 ,
x1 = f0− 2 + f−−11 −																						6803477																			+					6803477											f− 4 −
																																	f		−5
																	2615348736000																f		−5
											2						2615348736000																									261534873600
−				1998587									f−3 +									528919										f− 2 +														10377427								f−1 +

		19372953600																				4358914560																				12454041600
		19372953600																				4358914560																				12454041600
		3433391539																		109551893																			171689929
+		3433391539									f0 +									109551893								f1				−							171689929												f2		+

				3459456000															1132185600																	21794572800
				978321																43103107																								29543743
+				978321				f3					−							43103107									f4						+									29543743											f5 ,
+				774918144				f3					−				261534873600												f4						+					2615348736000															f5 ,
				= f	− 2	+ 2 f					−1 +											29543743																					−			6635693															−
x																						29543743															f		−							6635693													f	− 4

																				2615348736000																										52306974700
	2				0					− 12										2615348736000																					5					52306974700																		(2.77)
				12540301																		42871057																								47937079																		(2.77)
−				12540301								f−3 −										42871057												f− 2 +												47937079									f−1 +
−			19372953600									f−3 −										21794572800												f− 2 +											12454041600										f−1 +
+				328749529												+		497008231												+	184329877																			−
+				328749529			f									+		497008231								f				+	184329877																	f		−
		164736000									0						498161664										1			1981324800																			2
−				116504251													+					167692751																			−					106049897
				116504251									f3									167692751													f4											106049897														f5 ,
		19372953600											f3							261534873600															f4							2615348736000																		f5 ,
		19372953600													−					261534873600																						2615348736000
x				= f	− 2	+ 3 f					−1				−							106049897													f							+
	3				0				− 1								2615348736000																					−		5
													2				2615348736000
				119609261																		136989533																								159926447
				119609261																		136989533																								159926447
+														f− 4 −																							f			−3 +																		f− 2 −
+				261534873600										f− 4 −									58118860800														f			−3 +							21794572800											f− 2 −
				38229517																31369476377																					24620154619
				38229517																31369476377																					24620154619

−				2490808320 f−1 +																10378368000												f0 +									12454041600												f1 +
+				22035747323													+				456196373														−						197906591															+
				22035747323									f								456196373									f											197906591											f
													f		2															f		3																				f	4
				21794572800											2					5283532800												3							52306974720														4
+				510378643														f5 ,

				2615348736000
				2615348736000

x		= f −2	+ 4 f −1			+					510378643							f						−
	4																			−5

		0	−	1				2615348736000
				2				2615348736000
−		572021497									+ 130075191														−	753141709
−		572021497				f	−4				+ 130075191									f	−3				−	753141709					f	−2	+

		261534873600									11623772160															21794572800
		893410123											13472829389												38766204667
+		893410123			f	−1			+				13472829389				f0 +								38766204667			f1 +
+					f	−1			+								f0 +											f1 +
	12454041600										3459456000														12454041600
+		8336345863				+				20211127073									+			1797694357								−
+		8336345863		f		+				20211127073					f				+			1797694357					f			−
		4358914560			2			19372953600								3					23775897600								4
−		4281164477						f5 ,

		2615348736000																																(2.77)
		2615348736000																																(2.77)
		−2	−1								4281164477
		−2	−1								4281164477
x5 = f0			+ 5 f− 12			−											f−5 +
x5 = f0			+ 5 f− 12			−		2615348736000									f−5 +
		4760318789												1786550083												6130492139
+		4760318789				f−4						−		1786550083					f−3						+	6130492139					f−2		−
+						f−4						−							f−3						+						f−2		−
		261534873600									19372953600															21794572800
− 7157910869 f									+ 2880245237 f											+ 39083623951 f										+
− 7157910869 f						−1			+ 2880245237 f									0		+ 39083623951 f									1	+

	12454041600										494208000												12454041600
+		79614060479			f2			+			10605963899						f3			+				296396620109						f4		+

		21794572800									6457651200													261534873600
		21794572800									6457651200													261534873600
		13695779093
+		13695779093				f5 .

		237758976000
		237758976000

Процесс вычисления по формулам (2.77) производится следую-

щим образом. Сначала по формулам (2.73) вычисляем f 0−2 и f −−11 .

Затем на основании значений таблицы интегрирования и формул (2.75) вычисляется x5 , которое затем подставляется в правую часть уравнения (2.39). В результате получим более точное значение f5 , которое засылаем в таблицу интегрирования, образуя предварительно разность между полученным и предыдущим значением f5 .

После этого вновь перевычисляем x5 и вновь подставляем его в правую часть уравнения. Перевычисление f5 продолжается до тех пор, пока разность между последующим и предыдущим значениями f5 не будет меньше заданной относительной точности ε , т. е.

(	f		) − (	f		)	< ε	f		.


		5	i		5	i −1			5
		5	i		5	i −1			5

Далее переходим к уточнению f 4 совершенно таким же способом, как указано выше для f5 . Затем ту же процедуру повторяем для

уточнения f3 , f 2 , f1 и f0 .

Когда уточнили значения f5 , f 4 , f3 , f 2 , f1 и f0 , то процесс последовательных приближений вычисления f0 можно считать законченным, и, следовательно, интегрирование продвинулось вперед на один шаг. Далее нужно таблицу интегрирования сдвинуть на одну строку, т.е. индексы в таблице интегрирования увеличить на единицу, и вновь повторить описанный процесс для следующего шага и т.д.

Таким образом осуществляется алгоритм интегрирования дифференциальных уравнений движения небесных тел методом Коуэлла.

2.10. МЕТОД ЭВЕРХАРТА

Метод Эверхарта относится к числу неявных одношаговых методов, что обеспечивает его сходимость и устойчивость. Основным достоинством одношаговых методов является то обстоятельство, что для них разработаны надежные оценки локальной погрешности дискретизации. Кроме того, метод Эверхарта показал себя как самый эффективный по точности и быстродействию в эксперименте по исследованию алгоритмов и программ численного прогнозирования движения небесных тел, проведенном в СССР в 1986 году.

Алгоритм и программа численного интегрирования методом Эверхарта ранее были разработаны до 27-го порядка, однако использование этих алгоритмов свыше 19-го порядка не приводило к повышению точности вычислений.

Модификация алгоритма метода Эверхарта позволила повысить эффективность программного продукта при увеличении порядка метода. Рассмотрим основную идею построения метода Эверхарта на примере решения уравнения вида

ɺxɺ= F (x, t ).

(2.78)

Представим правую часть уравнения (2.78) в виде временного ряда

ɺxɺ= F (x, t ) = F					+ A t + A t					2 + ... + A t n .						(2.79)
				1		1		2					n
Интегрируя (2.79), получим выражения для определения коорди-
нат и скоростей:
x = x + xɺ		t + F	t 2	+ A			t 3	+ ... + A					t n+2		,	(2.80)
x = x + xɺ		t + F		+ A				+ ... + A				+ 1)(n + 2)			,	(2.80)
1	1	1 2			1 6					n (n		+ 1)(n + 2)
xɺ = xɺ	+ F t + A				t 2	+ A			t 3	+ ... + A			t n+1	.		(2.81)
xɺ = xɺ	+ F t + A				2	+ A				+ ... + A				.		(2.81)
1		1		1	2	2 3					n n + 1

Полиномы (2.80) и (2.81) не являются рядами Тейлора, а коэффициенты Ai вычисляются из условия наилучшего приближения x и xɺ с помощью конечных разложений (2.80) и (2.81). Для связи A-значений с F-значениями воспользуемся вспомогательным выражением

F = F1 + α1t + α 2 t(t − t 2 ) + α 3t(t − t 2 )(t − t3 ) + ... .

(2.82)

Уравнение (2.82) усечено по времени tn . В каждый фиксированный момент времени ti имеем

	F2	= F1 + α1t2 ,
	F3	= F1 + α1t3 + α2t3 (t3 − t2 ),	(2.83)
	.............................................. .
Принимая tnj	= tn − t j , найдем αi через разделенные разности:
α1 = (F2 − F1 ) / t2 ,
α2	= ((F3 − F1 ) / t3 − α1 )/ t32 ,
α3	= (((F4 − F1 )/ t4 − α1 ) / t42 − α2 ) / t43 ,		(2.84)
α4	= ((((F5 − F1 ) / t5 − α1 ) / t52 − α2 )/ t53 − α3 ) / t54 ,

............................................................................ .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в уравнениях (2.79) и (2.83), выразим коэффициенты Ai через αi :

A1 = α1 + (− t2 )α2 + (t2t3 )α3 + ... = c11α1 + c21α2 + c31α3 + ...,
A2	= α2 + (− t2 − t3 )α3	+ ... = c22α2	+ c32α3	+ ...,
A3	= α3 + = c33α3 +	,		(2.85)

......................... .

Коэффициенты cij определяются из следующих рекуррентных соотношений:

cij	= 1,	i = j,
ci1	= −ti ci−1,1 ,	i > 1,	(2.86)
cij = ci−1, j −1 − ti ci−1, j ,		1 < j < i.
Для алгоритма интегрирования пятого порядка
c41 = −t2 t3t4 , c42 = t2 t3 + t3t4 + t4 t2 , c43 = −t 2 − t3 − t 4 ,			(2.87)

где t2 , t3 , t4 являются корнями кубического уравнения

(− t2 t3t4 ) + (t2t3 + t3t4 + t4t2 )t + (− t2 − t3 − t4 )t 2 + (1)t 3 = 0. (2.88)

Вопрос о нахождении узлов разбиения шага h = [0, T ] рассмотрим на примере алгоритма интегрирования пятого порядка.

2.11.АЛГОРИТМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Вначальный момент времени t1 = 0 известны x1, xɺ1, F . Значения

xв моменты времени t2 , t3 , t4 определяются с помощью трех предсказывающих уравнений

ɺ		F t 2					A t			3						A t			4					A t	5
ɺ		1		2					1	2						2			2					3	2
x2 = x1 + x1t2	+				+								+								+					,	(2.89)
x2 = x1 + x1t2	+	2			+								+			12					+					,	(2.89)
		2					6									12								20

ɺ		F t		2			A t 3							A t					4				A t		5
ɺ		1		3					1 3							2		3						3	3
x3 = x1 + x1t3	+				+						+									+						,	(2.90)
x3 = x1 + x1t3	+	2			+				6		+									+						,	(2.90)
		2							6					12										20

x4 = x1 + xɺ1t4	+		F t 2			+		A t 3				+			A t		4			+		A t 5
			1 4						1 4							2 4								3	4		(2.91)
		2							6							12								20			(2.91)
		2							6							12								20

и двух исправляющих уравнений для нахождения положения и скорости на конце шага h

x(T ) = x1	+ xɺ1T +		F T 2		+	A T		3		+	A T		4	+	A T 5
			1			1					2				3		,	(2.92)
			2			6					12				20

xɺ(T )				A T 2					A T 3				A T 4
	= xɺ1 +	F1T +		1			+			2		+	3			.		(2.93)
					2					3			4

Эта схема является неявной, так как коэффициенты, стоящие в
квадратных скобках (2.89) – (2.91),					неизвестны при первой итерации.

Уравнения (2.89) – (2.91) обеспечивают пятый порядок точности относительно t . Можно увеличить порядок точности в вычислении x и xɺ до седьмого порядка путем специального выбора подшагов t2 , t3 , t4 . С этой целью увеличим количество разбиений интервала интегри-

рования, добавив два дополнительных времени t5 ,

t6 . Затем вычис-

лим для t5 и t6

значения α4

и α5 , а также новые значения

′

A4 ,

A5 и

′

, A2

, A3 .

Из уравнения (2.92) можно найти поправки

x ,

улучшающие

значения координат:

′

(A1 − A1 )T

(A2 − A2 )T

(A3

−

A3 )T

A4T

A5T

x =

. (2.94)

Выражая в уравнении (2.87) c51 ,

c54

через c41,

c42 ,

c43 , а так-

же полагая

, h

(2.95)

можно записано выражение (2.94) в виде

x = (α

)T 6

c′

+ α T

c′

− t

Значение x в последнем выражении можно обратить в ноль при выполнении следующих условий:

c	′		c	′		′		1
	41	+		42	+	c43	+		= 0,
6
		12			20		30		(2.96)
c	′		c	′		′		1

	41	+		42	+	c43	+		= 0.
12
		20			30		42
					70

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]