Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Дискретные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Выражая производные через разности, согласно соотношениям (2.48), окончательно найдём

f	−1	= hrɺ	−		1	f		+	1	f	1	−	11	f	3 +	191	f	5	−	2497	f	7	+
f	− 1	= hrɺ	−			f	0	+		f	0	−		f	3 +		f	0	−		f	0	+
	− 1	0		2			0	12			0		720		0	60480		0		3628800		0
	2			2				12					720			60480				3628800
			+	14797						f	09	−	92427157				f	011	+ … .				(2.54)

				95800320									2615348736000
				95800320									2615348736000

Таким образом, соотношения (2.52) и (2.54) позволяют определить начальные значения столбцов сумм, когда начальные условия движения заданы координатами и компонентами скорости.

Вычисления по формуле (2.50) ведутся так же, как и в случае

первого метода Коуэлла.	Исходя из заданных	r0 и −1/ 2 = r0 − r1 ,
определяются несколько	смежных значений	x1 , x−2 , x2 ,... Затем
находят нужные разности	f n2 и f n4 в первом приближении, экстрапо-
лируя шестые разности.

2.5. ВТОРОЙ МЕТОД КОУЭЛЛА

Для вывода формул, определяющих второй метод Коуэлла – ме-

тод

rк+1

квадратур,	просуммируем				равенства				к+1/ 2 =	к−1/ 2 +	2к ,
= rк + к+1/ 2	от k = 1 до k = n − 1. Получим
						n−1
	n− 1	2	=	− 1 + ∑ 2k ,
		2			2	0				(2.55)
						0
				n−1
				n−1
	xn = x0 + ∑				k + 1 .
				0			2
				0
Просуммируем также формулу (2.49) от 0 до n − 1:
n−1	n−1		1	n−1			1	n−1
∑	2k = ∑ f k +		1	∑ f k2 −			1	∑ f k4	+ ….	(2.56)
∑	2k = ∑ f k +			∑ f k2 −			240	∑ f k4	+ ….	(2.56)
0	0	12		0			240	0
Принимая во внимание соотношения
	f	m	=	f m−1	− f m−1		,
		0		1	−	1
				2		2
	f	m	= f m−1		− f m−1		,
	1			3	1	2
				2		2
	f	m	= f m−1		− f m−1		,
		2		5	3	2
				2		2

	f	m	= f m−1		− f m−1 ,
		n−1		n− 1	n−3
				2			2

просуммируем их левые и правые части. В результате получим

n−1	=	m−1	− f	m−1
m		m−1		m−1	.	(2.57)
∑ f k		f n− 1		− 1	.	(2.57)
0		2		2
0

Используя равенства (2.57), мы можем теперь преобразовать равенство (2.56) следующим образом:


	n−1		2				−1					−1					1					1				1
	∑		2		=		−1		−			−1			+		1					1	1 −			1				−
			k			f	n−	1			f	−	1							f		n−			f	−		1
			k			f		1			f		1				12			f					f			1
0								2					2				12						2					2
−		1				3		−		3				+ …=							−1		+	1			1			−
					f	n− 12			f											f						f	n− 12
					f				f											f				12		f
240										− 12										n− 12				12
−	1		f		3	+ …− f					−1			−		1		f		1		+	1		f		3		+ ….
−			f			+ …− f					− 1			−				f	− 1			+			f			1	+ ….
240				n− 1		2					− 1				12				− 1				240			−		1
240						2						2			12						2		240					2

Формулу (2.55) с учетом (2.58) можно представить в виде

+ f

−1

−

+ …−

n− 1

− 1

n− 1

n−

240

n− 1

− f

−1

−

+ ….

− 1

240

Полагая в (2.59)

f	−1	=			−	1	f 1		+	1		f	3		−		31		f	5	+
f	− 1	=		− 1	−		f 1	1	+			f	− 1		−				f	− 1	+
	− 1			− 1	12		−	1		240			− 1			60480				− 1	2
	2			2	12			2		240				2		60480					2
			+	289			f	7	−		317					f	9	+
								7									9
																	− 1
				3628800			− 1			22809600							− 1
				3628800				2		22809600							2
				+	6803477							f	11		− …,
													11
					2615348736000								− 1	2
													− 1

(2.58)

(2.59)

(2.60)

такую замену можно всегда сделать, пользуясь произвольностью начального значения в столбце первых сумм. Получим окончательно

n− 1	= f	−1
n− 1	2	n− 1
	2	2

+		1	f	1	−	1	f	3	+ ….	(2.61)
	12			n− 1		240		n− 1
					2				2

Вернемся теперь ко второму уравнению (2.55). Заменяя в (2.61) букву n на k + 1, запишем

	= f	−1	+		1	f 1	−	1	f 3	+ ….
k + 1		k + 1
	2		2	12		k + 1	2	240	k + 1	2

Просуммировав это выражение от k = 0 до k = n − 1, получим

n−1		n−1			1	n−1		1	n−1
∑	k + 1	= ∑ f k−+11		+		∑ f k1+ 1	−		∑ f k3+ 1	+ …. (2.62)
			2					240
0	2	0		12		0	2		0	2

На основании равенства (2.57) имеем

n−1	= f nm−1 − f 0m−1 ,
∑ f km+ 1
0	2

поэтому равенство (2.62) можем теперь написать в виде:
n−1

∑ k + 1 = (f n−2 − f 0−2 )+									1		( f n			− f 0 ) −				1		(f n2 − f 02 )+ …=
∑ k + 1 = (f n−2 − f 0−2 )+											( f n			− f 0 ) −				240		(f n2 − f 02 )+ …=
0	2					12												240				(2.63)
		1			1												1				1	(2.63)
	f n−2 +	1	f n	−	1		f n2 + …− f 0−2 −										1		f 0 +		1	f 02 + ….
	f n−2 +		f n	−			f n2 + …− f 0−2 −												f 0 +		240	f 02 + ….
	12			240											12						240
Подставляя теперь (2.63) во второе равенство (2.55), получим
			xn	= x0		+ f n−2 +						1	f n		−	1			f n2 + …
			xn	= x0		+ f n−2 +							f n		−				f n2 + …
						12									240							(2.64)
				− f 0−2 −				1		f 0 +				1		f 02 − ….						(2.64)
								1						1
														240
						12								240

В силу произвольности начального значения в столбце вторых сумм, положим

f 0−2 = x0		−	1		f 0 +		1	f 02 −		31	f 04 +		289	f 06 −
f 0−2 = x0		−			f 0 +	240		f 02 −		60480	f 04 +	3628800		f 06 −
		12				240				60480		3628800		(2.65)
	−	317				f 08 +		6803477				f 010 + ... .		(2.65)
		317						6803477

								2615348736000
	22809600							2615348736000
Формула (2.64) в окончательном виде запишется так:
xn	= f n−2 +			1	f n −		1		f n2 +	31	f n4 −		289	f n6 +
xn	= f n−2 +				f n −	240			f n2 +	60480	f n4 −	3628800		f n6 +
		12				240				60480		3628800		(2.66)
	+	317				f n8 −		6803477				f n10 + ... .		(2.66)
		317						6803477

								2615348736000
	22809600							2615348736000

Формула (2.66) определяет второй метод Коуэлла. Начальные члены столбца первых сумм и столбца вторых сумм вычисляются с помощью формул (2.60) и (2.65), т.е. уже не являются произвольными.

Рассмотрим теперь второй случай интегрирования уравнения (2.38). В этом случае искомый интеграл x(t ) задан начальными значениями

	x0 = x(t0 ),
dx		dx
		=	.

dt 0		dt	t =t0

Задача заключается в нахождении координат x1, x2 , . Применяя первую формулу (2.48), получим

dx				1
ω	=	0	−
				6
dt	0

+ 1 50 − …. 30

На основании формулы (2.66) мы можем написать

x0 =	00	= f 0−2 +	1	f	0	−	1	f 02 + ….

		12				240

И аналогично

m = m−2 0 f 0

поэтому

+	1	f	0m −	1	f 0m+2 + …,
				240
12

ω		dx			= f		−1		+		1			f	1	−			1		f 3	+ …−
ω					= f		0		+					f		−					f 3	+ …−
							0			12			0				240				0
	dt 0									12							240
	1			1		1			3				1				5
−			f0		+			f	0	−						f	0		+ …			+
−	6		f0		+	12		f	0	−		240				f	0		+ …			+
	6					12						240
	1				3		1			5					1				7
+				f	0	+			f	0		−						f	0	+ …			+ …,
+	30			f	0	+			f	0		−	240					f	0	+ …			+ …,
	30					12							240

или

dx			0−1 −	1
ω	=	f
				12
dt 0

Принимая во внимание

f 0−1 =

f 01 +	11	f	03 −	191	f 05 + …. (2.67)
				60480
720

f	−1	− f	−1
	1		− 1
	2		2
		2

	−1	=	1		−1	+ f	−1	−			= f	−1	−	1
f	0			f	12		12		f	0		12			f	0	,	(2.68)
f			2	f					f					2	f		,	(2.68)
			2											2
							54

подставляя (2.68) в (2.67), окончательно получим

		dx
	f 1−1 = ω
	f 1−1 = ω
	2	dt 0
	+		191
	+	60480
		60480
+	14797			f 09

	95800320
	95800320

+	1	f	0 +	1	f 01 −			11		f	03 +

2			12				720
f 05 −			2497			f	07 +				(2.69)


			3628000
−			92427157						f 011		+ ... .


2615348736000

Таким образом, и во втором случае можно пользоваться для численного интегрирования формулами (2.65) и (2.66), которые удовлетворяют условию x0 = x(t0 ), но вычисление исходного члена в столбце первых сумм необходимо провести не по формуле (2.60), а по формуле (2.69).

Преимуществом метода численного интегрирования возмущенных координат перед аналитическими методами является его универсальность. В то время как аналитические методы небесной механики применимы только в том случае, когда возмущения малы, при численном интегрировании уравнений движения вообще не возникает вопроса о характере орбит рассматриваемых тел и о величине возмущений.

2.6.ВЫЧИСЛЕНИЕ НАЧАЛА ТАБЛИЦЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

СУЧЕТОМ ШЕСТЫХ РАЗНОСТЕЙ

Начальные значения сумм f 0−2 и f −−11 следует вычислять с повышен-

ной точностью. Это требование особенно важно для f −−11 , так как по-

грешность этой величины будет расти пропорционально времени. При решении поставленной задачи правые части дифференциальных уравнений будем вычислять для семи моментов: t0 − 3h , t0 − 2h ,

t0 − h , t0 , t0 + h , t0 + 2h , t0 + 3h .

Это позволит в формулах (2.65) и (2.69) учитывать шестые и пятые разности соответственно.

Если предполагать в таблице интегрирования шестые разности постоянными и принимать во внимание соотношения (2.66) и

n	(− 1) j Cnj f
f kn = ∑	(− 1) j Cnj f	n	,	(2.70)
j =0	k +		− j
	k +	2	− j

формулы вычисления координат для указанных моментов будут следующие:

x					= f		−2			− 3 f −1							+	237671							f			+							645569 f											+ 91415 f													+
	−3						0							− 1												−3																	−2														−1
	−3						0							− 1				3628800								−3								604800									−2							48384							−1
															2			3628800																604800																48384
				18937									14513									11729																9829
+				18937					f		0 −		14513					f1 +				11729												f 2 −				9829													f 3 ,
+		181440							f		0 −	241920						f1 +			604800													f 2 −			3628800														f 3 ,
							−2								−1			9829																	7297													27163
x	−2				= f		−2			− 2 f					−1		−	9829							f	−3				+					7297						f	−2					+	27163					f		−1			−
x					= f					− 2 f							−								f					+											f						+						f					−
							0							− 12			3628800																	86400														26880
−					2873				f 0 +						463			f1 +			209													+			1571
					2873										463						209							f		2							1571								f 3 ,
		181440										48384							67200									f		2															f 3 ,
		181440										48384							67200															3628800
x−1 = f 0−2 − f −−11 +																		1571					f −3 −											1157							f −2 +						3233							f −1 −
																		1571																1157													3233

					839										2		3628800														201600										289							34560
−					839						f 0 −				11			f1 +			289												f 2 −								289									f 3 ,

		1814400													16128						604800																3628800																							(2.71)
						−2					−1						289																	289																11										(2.71)
x1 = f						−2		+			−1					−	289					f −3 +												289					f −2 −											11						+
						0					f − 12																																									f −1
						0					f − 12						3628800												604800																16128							f −1
		180601										3233									1157																1571
		180601										3233									1157																1571

+									f 0 +									f1 −													f 2 +																	f3 ,
+		181440							f 0 +			34560						f1 −	201600												f 2 +					3628800												f3 ,
x2 = f 0−2 + 2 f −−11 +																		1571						f −3 −										209						f −2 +										463							+
																																																					f −1
																																													48384								f −1
															2		3628800														67200														48384
+		360007							f		0 +	27163						f1 +			7297							f 2							−		9829								f3 ,

		181440										26880							86400
		181440										26880							86400															3628800
																		9829														11729																	14513
x				= f		−2 + 3 f						−1 −						9829					f		−3		+					11729									f	−2		−					14513						f		−1		+
x				= f		−2 + 3 f						−1 −											f				+														f			−											f				+
	3					0					− 12						3628800														604800																			241920
			563257											91415						645569																	237671
+			563257						f		0 +			91415				f1 +		645569											f			2 +			237671													f 3 .
+		181440							f		0 +	48384						f1 +	604800												f			2 +		3628800														f 3 .
		181440										48384							604800																	3628800

Значение x0 задано.

Для вычисления начальных значений сумм f 0−2 и f −−11 служат

формулы (2.65) и (2.69), которые с учетом шестых разностей можно представить в следующем виде:

f		−2		= x		+			289			f		−3	−		599			f	−2	+		1793		f	−1	−
f	0			= x	0	+						f			−					f		+				f		−
	0				0			3628800								604800								241920
								3628800								604800								241920
		2497								1793							599							289
−		2497					f 0 +			1793				f1 −			599			f 2 −				289		f3 ,
−	25920						f 0 +		241920					f1 −		604800				f 2 −			3628800			f3 ,
		−1							191								211							7843				(2.72)
		−1						−	191				f −3 +				211		f −2 −					7843	f −1 −
f − 12						ɺ
						ɺ			120960							15120							120960
				= hx0					120960							15120							120960
−	1		f 0 +			7843					f1 −			211			f 2 +			191
	1					7843								211						191				f 3 .

	2					120960						15120						120960
	2					120960						15120						120960

Решение поставленной задачи по формулам (2.71) и (2.72) выполняется методом итераций. Сначала для момента t0 по заданному значению x0 вычисляем f0 . В первом приближении принимаем значения правых частей уравнений для всех моментов одинаковыми и равными f0 . Затем с этими значениями правых частей по формулам (2.72) вы-

числяем f 0−2 и f −−11 . Далее по формулам (2.71) и (2.39) вычисляем по-

следовательно для всех моментов (кроме t0 ) значения f . После этого

вновь по формулам (2.72) перевычисляем величины f 0−2 и f −−11 и т. д.

Указанный итерационный процесс повторяется до тех пор, пока разно-

сти последующих и предыдущих значений модулей f 0−2 , f −−11 и f

не будут меньше заданной относительной точности ε , т. е.

(

f 0−2

)

− (

f 0−2

)

−1

< ε

0−2

−1

< ε

−1

−

σ −1

( f i )σ − ( f i )σ −1 < ε f i .

Величина шага h выбирается заранее.

В результате описанных действий получим начальную таблицу интегрирования в виде табл. 2.17.

Таблица 2.17

Таблица интегрирования

−2

−11

−

3 ,

f −2

f 1 ,

f0 ,

f 2 ,

− 2

−

Величины, стоящие в сплошной рамке табл. 2.17, являются точными (термин «точная величина» как здесь, так и далее в тексте употребляется в том смысле, что процесс приближений для этой величины закончен, и она не подлежит дальнейшему уточнению).

2.7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ С УЧЕТОМ ШЕСТЫХ РАЗНОСТЕЙ

Рассмотрим методику интегрирования уравнений движения небесной механики по методу Коуэлла с учетом разностей шестого порядка. Основная формула, для интегрирования является (2.66).

Таким образом, чтобы вычислить значения xk , необходимо знать,

кроме

−2

−1

, значения правой части уравнения для семи мо-

f k

f k − 1

f k−2

ментов, расположенных симметрично относительно tk . Значения

и f k−−11

вычисляем по формулам:

−1

= f −1

+ f

k + 1

k − 1

(2.73)

−2

= f

−2 + f

−1

k +1

k + 1

принимая условно k = 0 ,

Поэтому,

получаем таблицу интегриро-

вания в виде табл. 2.18.

Таблица 2.18

Таблица интегрирования

f 0−2 ,

−1

f −3 ,

f −2 ,

f −1

f0 ,

f1 ,

f 2 ,

− 12

Величины, стоящие в сплошной рамке табл. 2.18, являются точ-

ными,

величина f0

уточняется последовательными приближениями,

а значения f1 , f 2 и f3 вычисляются приближенно: первое –		для учета
f02 , второе –	для учета f04 , а третье – для учета f06 .
Таблица	интегрирования получается путем смещения	на одну

строку значений начальной таблицы интегрирования, т.е. индексы в таблице интегрирования увеличиваются на единицу.

Таким образом, при интегрировании по формуле (2.66) требуется «заглядывать» вперед на три шага. Значения x0 , x1, x2 и x3 получаем на основании (2.66) с учетом (2.70):

x			= f −2				−			289					f			+		599				f				−		1793							f				+
x	0		= f −2				−								f	−3		+						f		−2		−									f		−1		+
	0			0				3628800								−3			604800							−2			241920										−1
								3628800											604800										241920
			2497									1793								599										289
+			2497		f 0				−			1793				f1 +				599			f			2 −				289							f3 ,
+		25920			f 0				−		241920					f1 +			604800				f			2 −			3628800								f3 ,
				−2						−1				289											289										11
				−2						−1				289											289										11
x1 =				f 0		+			f	− 12 −										f −3 +											f −2 −											f −1	+
x1 =				f 0		+			f	− 12 −			3628800							f −3 +		604800									f −2 −		16128									f −1	+
+		180601								+		3233						−		1157							+			1571
+		180601					f			+		3233				f		−		1157			f				+			1571						f				,
	181440							0				34560					1		201600						2				3628800									3							(2.74)
				−2								−1				1571											209								463										(2.74)
x2 =				−2		+						−1	+			1571						−					209				f −2 +				463							f −1 +
				f 0					2 f − 12												f −3
				f 0					2 f − 12					3628800							f −3				67200										48384
+	360007						f 0 +					27163				f1 +				7297		f 2 −							9829
	360007											27163								7297									9829					f3 ,


	181440											26880							86400									3628800
x3 = f 0−2 + 3 f −−11 −														9829										11729													14513
														9829							f −3 +			11729								f −2 −					14513						f −1 +
														3628800							f −3 +											f −2 −											f −1 +
												2		3628800									604800												241920
+	563257						f			+		91415				f1 +			645569				f			2 +			237671								f 3 .
								0
	181440							0				48384							604800										3628800
	181440											48384							604800										3628800
	Процесс вычисления по формулам (2.74) производится следую-
щим образом. Сначала по формулам (2.73) вычисляем																																											f 0−2	и	f −−11 .
																																													2

Затем на основании значений таблицы интегрирования и формул (2.74) вычисляется x3 , которое затем подставляется в правую часть уравнения (2.39). В результате получим более точное значение f3 , которое засылаем в таблицу интегрирования, образуя предварительно разность между полученным и предыдущим значением f3 .

После этого вновь перевычисляем x3 и вновь подставляем его в правую часть уравнения. Перевычисление f3 продолжается до тех пор, пока разность между последующим и предыдущим значениями f3 не будет меньше заданной относительной точности ε , т. е.

( f 3 )i − ( f3 )i−1 < ε f 3 .

Далее переходим к уточнению f 2 совершенно таким же способом, как указано выше для f3 . Затем ту же процедуру повторяем для

уточнения f1 и f0 .

Когда уточнили значения f3 , f 2 , f1 и f0 , процесс последовательных приближений вычисления f0 можно считать законченным, и, следовательно, интегрирование продвинулось вперед на один шаг. Далее нужно таблицу интегрирования сдвинуть на одну строку, т.е. индексы в таблице интегрирования увеличить на единицу, и вновь повторить описанный процесс для следующего шага и т.д.

Таким образом, осуществляется алгоритм интегрирования дифференциальных уравнений движения небесных тел методом Коуэлла шестого порядка.

2.8.ВЫЧИСЛЕНИЕ НАЧАЛА ТАБЛИЦЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

СУЧЕТОМ ДЕСЯТЫХ РАЗНОСТЕЙ

Перед непосредственным интегрированием нам необходимо получить начальную таблицу интегрирования. Для начала интегрирования имеем координаты x0 и компоненты скорости xɺ0 для момента t0 . При решении поставленной задачи правые части дифференциальных уравнений будем вычислять для одиннадцати моментов: t0 − 5h , t0 − 4h ,

t0 − 3h , t0 − 2h , t0 − h , t0 , t0 + h , t0 + 2h , t0 + 3h , t0 + 4h , t0 + 5h .

Это позволит в формулах (2.65) и (2.69) учитывать десятые и девятые разности соответственно.

Если предполагать в таблице интегрирования десятые разности постоянными и принимать во внимание соотношения (2.65), (2.69) и

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]