Дискретная математика. Учебное пособие

4

Сведенияобавторах

Сведения об авторах

Балюкевич Эдуард Людвигович, к.э.н., с.н.с., профессор кафедры прикладной математики МГУЭСИ.

Перечень работ по данной дисциплине, изданных ав- тором:

1.Балюкевич Э.Л. (в соавторстве) Дискретный анализ : учебное пособие. – М. : МЭСИ, 1980. 5,5 п/л.

2.Балюкевич Э.Л. Математические методы в проектирова- нии АСУ. – М. : МЭСИ, 1984, 3 п/л.

3.Балюкевич Э.Л. (в соавторстве) Сборник задач по курсу «Дискретный анализ» : учебное пособие. – М. : МЭСИ, 1987, 4,1 п/л.

4.Балюкевич Э.Л. (в соавторстве) Методические указания к выполнению курсовой работы по курсу «Дискретный анализ». – М. : МЭСИ, 1991, 1 п/л.

5.Балюкевич Э.Л. (в соавторстве) Дискретная математика : учебное пособие. – М. : МГУЭСИ, 2003. 16 п/л.

6.Балюкевич Э.Л. Учебно-практическое пособие. – М. : МГУЭСИ, 2009, 10 п/л (электронная версия).

Ковалева Лидия Федоровна к.т.н., доцент.

Перечень работ по данной дисциплине, изданных ав- тором:

1.Ковалева, Л.Ф. Дискретная математика. – ч. I. – М. : МЭ- СИ, 2000 (электронное).

2.Ковалева, Л.Ф. (в соавторстве). Дискретная математика. –

М. : МЭСИ, 1988.

3.Ковалева, Л.Ф. Применение дискретной математики в экономических задачах. – М. : МЭСИ, 1979.

4.Ковалева, Л.Ф. (в соавторстве). Применение теории гра- фов в экономических задачах. – М. : МЭСИ, 1977.

5.Ковалева, Л.Ф. Математическая логика и теория графов. –

ч. I, II. – М. : МЭСИ, 1976, 1977.

5

Сведенияобавторах

6.Ковалева, Л.Ф. (в соавторстве) Дискретный анализ. – М. :

МЭСИ, 1980.

7.Ковалева, Л.Ф. Методические указания и контрольные работы по курсу «Дискретная математика» (специаль- ность – «информатика», заочная форма обучения). – М. :

МЭСИ, 1998.

8.Ковалева, Л.Ф Методические указания по изучению курса «Дискретная математика» с упражнениями. Задачник. –

М. : МЭСИ, 1986.

9.Ковалева, Л.Ф. (в соавторстве). Методические указания и контрольные задания по курсу «Дискретный анализ» для студентов заочного обучения, специальность – эко- номическая кибернетика. – М. : МЭСИ, 1992.

10.Ковалева, Л.Ф. (в соавторстве). Методические указания по изучению курса «Дискретная математика» (с упражне- ниями), специальность прикладная математика, АСУ. –

М. : МЭСИ, 1986.

11.Ковалева, Л.Ф. (в соавторстве). Методические указания по изучению курса «Дискретный анализ» для студентов заочной формы обучения, специальность - механизиро- ванная обработка экономической информации. – М. :

МЭСИ, 1987.

12.Ковалева, Л.Ф. (в соавторстве). Методические указания к выполнению курсовой работы.

а) по курсу «Дискретный анализ» для студентов специ- альности – экономическая кибернетика и АСУ (0715). –

М. : МЭСИ, 1991, 1989.

б) по курсу «Дискретная математика» для студентов специальности – прикладная математика (0102). – М. :

МЭСИ, 1989.

6

Цели и задачи дисциплины и её место в учебном процессе

«Дискретная математика» является математической ос- новой курсов, изучающих современные прикладные эконо- мико-математические методы.

Целью изучения данной дисциплины является прочное усвоение студентами теоретических основ дискретной матема- тики, составляющих фундамент ряда математических дисцип- лин и дисциплин прикладного характера. Содержание курса «Дискретной математики» используется в курсах: «Теория сис- тем и системный анализ», «Информатика и программирова- ние», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Ис- следование операций и методы оптимизации», «Математиче- ское иимитационное моделирование», «Управление проектом».

Задачей дисциплины является формирование у обу- чающихся следующих компетенций:

–способности при решении профессиональных задач анализировать социально-экономические проблемы и техни- ко-экономические процессы с применением методов систем- ного анализа и математического моделирования;

–способности применять методы анализа прикладной об- ласти на концептуальном, математическом, логическом и ал- горитмическом уровнях;

–способности применять системный подход и математи- ческие методы в формализации решения прикладных задач.

Врезультате изучения дисциплины студент должен:

Знать:

–принципы использования языка, средств, методов и мо- делей дискретной математики в дисциплинах, которым её изучение должно предшествовать, а также в проблемах при- кладного характера.

Уметь:

–использовать методы дискретной математики, при изу- чении дисциплин математического, естественнонаучного и профессионального циклов.

7

Целии задачидисциплины

Владеть:

– всем арсеналом методов дискретной математики, кото- рый необходим для формирования профессиональных ком- петенций.

Форма активных методов обучения:

использование учебно-методических комплексов и ин- формационно-компьютерных образовательных технологий, включающих оценочные средства для текущего контроля ус- певаемости и промежуточной аттестации, разработанных в Московском Государственном Университете Экономики, Ста- тистики и Информатики.

Список дисциплин, знание которых необходимо для изу- чения дискретной математики:

1. Курс школьной математики.

8

Введение

Данное пособие рассчитано на читателя, впервые знако- мящегося с курсом дискретной математики.

Впособии изложены основные понятия теории множеств

иалгебры высказываний, простейшего основного раздела ма- тематической логики, сведения из теории графов, рассмотрены задачи по определению экстремальных путей на графе, что по- зволяет решить такие задачи экономического содержания, как построение самого дешевого нефтепровода, определение ско- рейшего времени завершения проекта и др.

Данное пособие не претендует на исчерпывающую пол- ноту и абсолютную строгость изложенного материала.

9

Дискретнаяматематика

Тема 1.

Множества

1.1. Операции над множествами. Мощность множеств. Отображение множеств

Под множеством понимают совокупность объектов лю- бой природы, обладающих некоторым общим свойством.

Объекты, объединенные одним общим свойством, назы- вают элементами множества и обозначают a, b, c, ... x, y, z. Множества обозначают A, B, C, ... X, Y, Z. Запись a A означа- ет, что элемент «a» принадлежит множеству А, b A означает, что элемент «b» не принадлежит множеству А.

Множество, число элементов которого конечно, называ- ют конечным и бесконечным в противном случае.

Бесконечные множества разделяются на счетные и несчет- ные. Если элементы бесконечного множества можно пронумеро- вать с помощью натурального ряда чисел, то оно называется счетныминесчетнымвпротивномслучае. Так, множествочетных чисел– счетное, множестводействительныхчисел– несчетное.

Бесконечные и счетные множества называются дискрет- ными множествами.

Дискретная математика – математика дискретных мно- жеств.

Если каждый элемент множества А есть вместе с тем эле- мент множества В, то множество А называется частью, или подмножеством множества В и обозначается А В.

Если А В и В А, то множества А и В называются равно- сильнымииобозначаютсяА=В.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называет- ся пустым и обозначается V, . Пустое множество считают ко- нечным множествомиподмножествомлюбогомножества.

10