Дискретная математика. Учебное пособие

Теория графов

ЭВМ решение этой проблемы стало возможным, что и было проделано американскими математиками К. Аппелем и В. Ха- кеном. Задача была решена путем сведения ее к некоторым частным вопросам чисто арифметического характера, тре- бующим большого числа вычислений, которые были бы не под силу человеку, не вооруженному современной вычисли- тельной техникой.

Операции над графами. Объединение графов

Объединением графов G1(X1,Г1X1) и G2(X2,Г2X2) называет- ся такой граф G(X,ГX), у которого множество вершин есть сумма множеств вершин объединяемых графов X=X1 X2, а отображение есть сумма отображений объединяемых графов ГX=Г1X1 Г2X2, что обозначается: G=G1 G2.

Пример. Заданы графы G1 и G2:

Требуется определить G(X,ГX)=G1 G2.

G : X x1, x2 , x3, x4

X : x1 x1 , x2 , x3

x2 x1,x3

x3 x3x4 x3

Геометрическая реализация складываемых графов и гра- фа-суммы имеет следующий вид (рис. 3.1.14):

111

Теория графов

Прямое произведение графов

Прямым (декартовым) произведением графов G1(X1,Г1X1) и G2(X2,Г2X2) называется граф G(X,ГX), для которого X=X1 X2 и

ГX=Г1X1 Г2X2.

Пример.

Найти декартово произведение графов G1 и G2 (рис. 3.1.16):

G G1 G2

G X , X : X x1 , x'1 , x1 , x'2 , x1 , x'3 , x2 , x'1 , x2 , x'2 , x2 , x'3

Обозначим каждую получившуюся вершину через

yi ,i 1,6 , тогда

X y1 , y2 , y3 , y4 , y5 , y6

X : y1 y6

y2 y4 , y6

y3 y4y4 y6

y5 y4 , y6

y6 y4

113

Дискретнаяматематика

Геометрическая реализация графа G имеет вид (рис. 3.1.17):

Матрицы для графов

Матрицей смежности данного графа G(X,ГX) называется квадратная матрица порядка n, где n – мощность множества X, элемент которой определяется следующим образом:

К, _ если _ из _ вершины _ Xi _ в_ Xj _ выходит _ k _ дуг aij = 0, _ если _ вершины _ Xi _ и _ Xj _ несмежны.

Для графа, две вершины которого соединены не более чем одной дугой одного направления, матрица смежности со- стоит из единиц и нулей (K=1). В дальнейшем будем рассмат- ривать только такие графы.

X1 X2

Рис. 3.1.18

114

Теория графов

Пример.

Граф, изображенный на рис. 3.1.18, имеет следующую матрицу смежности:

Полустепень исхода вершины xi равна числу единиц, стоящих в i-й строке. Полустепень захода равна числу единиц, стоящих в i-м столбце. Найдя сумму полустепеней i-й верши- ны, можем определить ее степень по матрице смежности. Так,

P(x2)=P++P-=1+3=4

Единицы, стоящие на главной диагонали матрицы смежности, соответствуют петлям при данной вершине.

Изолированной вершине соответствуют строка и стол- бец, состоящие из нулей.

Число единиц в матрице смежности равно числу дуг графа.

Транспонированной матрице смежности соответствует граф с противоположной ориентацией.

Матрица смежности полностью задает ориентирован- ный граф. Любая квадратная матрица, состоящая из единиц и нулей, может быть рассмотрена как матрица смежности, за- дающая некоторый граф G.

Дискретнаяматематика

Так, матрице M и соответствует граф, изображенный на рис.3.1.19.

Операции над графами с помощью матриц смежности. Если следует найти объединение или пересечение графов, за- данных их матрицами смежности, можно выполнить эти опе- рации, не прибегая к аналитической записи графа или его геометрической реализации.

Пример.

Напишем матрицы смежности A и B графов G1 и G2 (рис.3.1.14), над которыми произведем операции сложения и умножения

а также матрицы смежности С и D для графа, являющихся их объединением (рис. 3.1.15) и пересечением (рис. 3.1.16)

Рассмотренный пример иллюстрирует то обстоятельст- во, что матрица смежности для графа суммы есть булева сум- ма матриц смежности складываемых графов: cij=aij+bij, причем

0+0=0; 0+1=1; 1+0=1; 1+1=1.

Матрица смежности для графа-пересечения может быть получена поэлементным умножением dij=aij+bij, причем 0 1=0; 1 0=0; 0 0=0; 1 1=1, т.е. матрица смежности графа- пересечения содержит единицы только в качестве тех элемен- тов, которые равны единицам в обеих матрицах смежности перемножаемых графов.

116

Теория графов

Матрица инциденций

Матрицей инциденций ориентированного графа G (X, U) называется прямоугольная матрица порядка [n * m], где n – мощность множества X, m – мощность множества U, каждый элемент которого aij определяется следующим образом:

Пример.

Напишем матрицу инциденций для графа, изображен- ного на рис. 3.1.20.

U3

X1 X4

U4

Рис. 3.1.20

Для этого пронумеруем дуги: u1,u2,…,u6, матрица инци- денций будет иметь следующий вид:

117

Дискретнаяматематика

Матрицы достижимостей и контрадостижимостей

Пусть задан граф G(X,Г(X)). Говорят, что вершина xj X дос- тижима из вершины xi X, если существует по крайней мере один путь из xi в xj. Пусть R(xi) – множество вершин, достижимых из вершин xi графа G. Так как каждая вершина графа достижима из себя самой с помощью пути длины нуль, то первым элемен- том достижимого множества R(xi) является вершина xi. Множест- во вершин xj, достижимых из xi с использованием путей длины единица, есть множество Г(xi). Множество Г(Г(xi))=Г2(xi) состоит из вершин, достижимых из xi с использованием путей длины два и, аналогично, Гp(x) является множеством вершин, которые дос- тижимы из xi с помощью путей длины p. Так как вершина графа G, достижимая из вершины xi, должна быть достижима с исполь- зованием путей длины нуль, или единица, или два,…, или p, то множество R(xi) вершин, достижимых из xi, можно представить в следующемвиде:

R(xi)={xi} Г(xi) Г2(xi) … Гp(xi). (3.1.1)

Для того чтобы получить достижимое множество R(xi), необходимо в выражении (3.1.1) последовательно выполнять слева направо операции объединения до тех пор, пока мощ- ность «текущего» множества не перестанет увеличиваться при очередной операции объединения. Это означает, что после- дующие операции объединения не будут давать новых эле- ментов «текущему» множеству, которое и определяет множе- ство R(xi). Матрицей достижимостей R=(rij) называется квад- ратная матрица порядка n (n – число вершин графа), элемен- ты которой определяются следующим образом:

Пример.

Для графа G (рис.3.1.21) построить матрицу достижимо-

стей

118

Теория графов

Решение.

На основании выражения (3.1.1) находим множества дос-

Матрицей контрадостижимостей (обратных достижимо- стей) Q=(qij) называется квадратная матрица порядка n, эле- менты которой определяются следующим образом:

где Q(xi) – множество таких вершин, что из любой вер- шины этого множества можно достигнуть вершину xi.

119

Дискретнаяматематика

Контрадостижимое множество Q(xi) строится на основа- нии следующего выражения:

где Г-1(xi) – множество вершин, из которых достижима вершина xi с использованием пути длины единица; Г-2(xi)=Г- 1(Г-1(xi)) – множество вершин, из которых достижима вершина xi с использованием пути длины два и т.д.

Пример.

Для графа G (рис.3.1.21) построить матрицу контрадо- стижимостей.

Решение.

На основании выражения (3.1.2) находим множества контрадостижимостей Q(xi),i=1,2,3,4:

Q(x1 ) x1 x4 , x3 x2 , x4 x1 x1 , x2 , x3 , x4 , Q(x2 ) x2 x1 x3 , x4 x2 , x4 x1 , x2 , x3 , x4 , Q(x3 ) x3 x2 , x4 x1 x1 , x2 , x3 , x4 ,

Q(x4 ) x4 .

Следовательно, матрица контрадостижимостейимеет вид:

Из определения матриц R и Q следует, что i-й столбец матрицы R совпадает с i-й строкой матрицы Q. Поэтому Q=RT, где T – знак транспонирования.

Так как R(xi) является множеством вершин, достижимых из xi, а Q(xj) – множеством вершин, из которых достижима вер- шина xj, то R(xi) Q(xj) является множеством таких вершин, каж-

120