Дискретная математика. Учебное пособие

Контрольныезадания

7. Найти декартово произведение графов, заданных с по- мощью матриц смежности

8. Даны матрицы инциденций двух графов. Найти их де- картово произведение

9. Найти декартово произведение двух графов.

10. Найти декартово произведение двух графов.

y2 y1

x3

y3

x1 x2

161

Дискретнаяматематика

Контрольное задание №15

1. Строится нефтепровод, соединяющий города х1……x11. Стоимостьвозможныхучастков строительства задана таблицей.

Изобразить схему нефтепровода, стоимость строительст- ва которого минимальна, и подсчитать минимальные затраты.

2. Каждый из шести городов может быть соединен с другим участком газопровода, стоимость строительства которого указа- на в таблице.

162

Контрольныезадания

Как построить самый дешевый нефтепровод, какова стоимость его строительства?

3. 10 городов, обозначенных на графе вершинами х1…x10, необходимо соединить электролинией. Возможные соединения обозначены ребрами. Стоимость строительства на участке (хi,xj) обозначенасоответствующим числом.

x4

x6 10

10

x5

Определить стоимость строительства самой дешевой электролинии. Как она должна проходить?

4. На строительство электролинии между городами х1…..х7 отпущено 250 тысяч рублей. Стоимость строительства на воз- можных участках между городами хi,хj l(хi хj) в тыс. руб. задана следующимобразом:

163

Дискретнаяматематика

Как построить электролинию, чтобы уложиться в эту смету?

5. Определить наименьшие затраты при перевозке груза из пункта х0 в пункт х6 через перевалочные пункты х1,х2,х3,х4,х5. Стоимость перевозки груза из пункта хi в хj указана на графе. Определить путь, соответствующий минимальной стоимости.

x3

6. Из пункта А в пункт N перевозят однородный груз, ис- пользуя перевалочные пункты В, С, D, Е, F, G. Расстояние ме- жду пунктами, соединенными дорогами, указаны на графе.

Определить кратчайший путь и его длину, предвари- тельно пронумеровав вершины графа.

164

Контрольныезадания

7. Пункты А и В связаны сетью дорог, проходящих через пункты С, D, Е, М, N. Стоимость проезда из пункта xi в xj указана на графе. Какова минимальная стоимость проезда из А и В?. Как проходит путь, соответствующийминимальным затратам?

M 2 N

8.Для графов задач 6, 7 определить критический путь и критическое время.

9.Основу строительства объекта составляют 14 операций, последовательность выполнения которых задана графом. Про- должительность каждой из них указана на графе.

Определить скорейшее время завершения всего проекта. Какие операции не допускают запаздывания по времени?

165

Дискретнаяматематика

10. Найти кратчайший и длиннейший пути, соединяющие вход и выход графа, предварительно правильно пронумеровав вершины.

166

Контрольныезадания

Список рекомендуемой литературы

1.Александров, П.С. Введение в теорию множеств и тео- рию функций. – М. : Наука, 1977

2.Балюкевич, Э.Л., Ковалева Л.Ф. Математическая логика и теория алгоритмов : учебное пособие. – М. : МГУЭСИ, 2007.

3.Гаврилов, Г.П., Сапоженко, А.А. Задачи и упражнения по курсу «Дискретная математика». – М. : Наука, 1992

4.Грей, П. Логика, алгебра и базы данных. – М. : Машино- строение, 1989

5.Гиндикин, С.Г. Алгебра логики в задачах. – М. : Наука, 1972.

6.Ерусалимский, Я.М. Дискретная математика. – М. : Ву- зовская книга, 2000.

7.Колмогоров, А.Н., Фомин, С.В. Элементы теории функ- ций и функционального анализа. – М. : Наука, 1989

8.Клини С. Математическая логика. – М. : Мир, 1973.

9.Ковалева, Л.Ф., Данков, О.Ю., Горбовцов Г.Я., Мокеева И.К. Дискретная математика. – М. : МЭСИ, 1988.

10.Нефедов, В.Н., Осипова В.А. Курс дискретной математи-

ки. – М. : МАИ, 1992.

11.Новиков, Н. С. Элементы математической логики. – М. :

Наука, 1973.

12.Под редакцией Скорнякова Л.А. Общая алгебра. II. – М. : Наука, 1990г.

13.Эдельман, С.Л. Математическая логика. – М. : Высшая школа, 1975.

14.Яблонский, С.В. Введение в дискретную математику. –

М. : Наука, 1979.

Интернет-ресурсы

1.www.osp.mesi.ru (сайт учебного процесса МЭСИ). Балю- кевич Э.Л., Ковалева Л.Ф., Романников А.Н. Дискретная математика.

2.www.booka.ru/booka_topic_6114?id=97427 Дискретная математика. Курс лекций.

167

Дискретнаяматематика

Руководство по изучению дисциплины

Содержание основных тем.

1.Множества

1.1.Операции над множествами. Мощность множеств. Отображение множеств.

1.2.Отношения на множествах.

2.Математическая логика.

2.1.Алгебра высказываний.

2.2.Проблема разрешимости. Нормальные формы.

2.3.Исчисление высказываний.

2.4.Логика предикатов.

3.Теория графов.

3.1.Графы.

3.2.Деревья.

3.3.Экстремальные задачи на графах.

Тема 1. Множества

При изучении данной темы следует обратить внимание на то, что понятие «множество» является одним из основных во всех математических дисциплинах. Это можно проиллюст- рировать большим количеством примеров как из школьной так и из вузовской – высшей математики.

Изучая понятие мощности множества, основные теоре- мы о счетных множествах, нужно подчеркнуть, что «количест- во элементов» в бесконечном множестве может быть различ- ным, что дискретные множества – это конечные и счетные множества, дискретная математика – математика дискретных величин, в отличие от математики непрерывных величин.

Изучив данную тему студент должен:

Знать:

–основные понятия теории множеств, понятие мощно- сти множества, операции над множествами, как частный слу-

168

Руководство поизучениюдисциплины

чай алгебры Буля, декартово произведение множеств, отобра- жение множеств, типы отображений, отношения на множест- вах, специальные бинарные отношения.

Уметь:

–иллюстрировать основные понятия примерами из различных математических прикладных дисциплин.

План практических занятий по теме 1.

1.Алгебра Буля. Операции над множествами (иллюстра- ция операций диаграммами). Основные равносильные фор- мулы. Преобразования формул.

2.Эквивалентные множества. Мощность множества. Срав- нение мощностей множеств.

3.Прямое произведение множеств. Отображение мно- жеств. Типы отображений.

4.Отношения на множествах. Бинарные отношения, свой- ства отношений. Специальные бинарные отношения.

Рекомендации по выполнению конкретных заданий, во- просы и тесты для самопроверки содержатся в учебно-

практическом пособии «Дискретная математика». – М. : МГУ- ЭСИ, 2009 (авторы Э.Л. Балюкевич, Л.Ф. Ковалёва, А.Н. Ро- манников). /Литература 1/

Тема 2. Математическая логика

При изучении данной темы следует обратить внимание на то, что алгебра высказываний является частным примером булевой алгебры и провести аналогию между логическими и теоретико-множественными операциями.

Следует изучить основные логические операции (связ- ки), понятие полной системы связок, понятие формулы алгеб- ры, высказываний, основные равносильные формулы. Пока- зать, как высказываниям в естественном и математическом языке могут быть поставлены в соответствие логические фор-

169

Дискретнаяматематика

мулы. Рассмотреть основное понятие – понятие логической функции и уяснить связь между формулами и функциями алгебры высказываний. Изучить логические отношения меж- ду высказываниями (отношение следования, отношение экви- валентности и отношение несовместимости), а также способы проверки правильности рассуждений.

Рассмотреть, как проблема определения типа формулы (проблема разрешимости) может быть решена с помощью приведения формулы к нормальным формам (НФ) и опреде- лить конструктивно понятие совершенной нормальной фор- мы формулы алгебры высказываний (СНФ).

Изучить построение формулы алгебры высказываний по заданной функции.

Выяснить возможность моделирования формул алгебры высказываний релейно-контактными схемами, а также какие задачи при этом могут быть решены.

Рассмотреть формальную аксиоматическую систему, адекватную алгебре высказываний – исчисление высказыва- ний; основные проблемы формальной логической системы, как они решаются и как она может быть применена к кон- кретной научной области.

Далее изучается логика предикатов, которая включает в себя алгебру высказываний как составную часть. Рассматрива- ются операции над предикатами, кванторы общности и суще- ствования, применение кванторов в математических науках.

Изучив данную тему студент должен:

Знать:

–все понятия, перечисленные выше, связанные с ними свойства, соотношения, теоремы;

–рассматриваемые в теории проблемы и способы их решения.

Уметь:

–применять язык, методы и средства математической логики в математических дисциплинах и в прикладных дис- циплинах.

170