Диагностика элементов радиотехнических цепей. Учебное пособие

ВВЕДЕНИЕ

В настоящем пособии под диагностикой подразумевается определение параметров элементов электрической цепи при помощи внешних измерений. В учебной литературе термин диагностика появился впервые, по-видимому, в 2004-м году [1] и вследствие своей новизны не может считаться окончательным. Необходимость введения этого термина и, как следствие, нового раздела курса «Основы теория цепей» диктуется потребностями автоматизированного (компьютерного) анализа цепей. Традиционный анализ линейных цепей оперирует с точными методами анализа эквивалентных цепей, то есть, фактическая его точность определяется исключительно точностью эквивалентной (идеализированной) цепи, в первую очередь точностью моделей реальных элементов. Поскольку анализ нелинейных цепей до появления компьютерных технологий производился весьма грубо (вплоть до применения графических методов), то и к точности моделей компонентов предъявлялись весьма мягкие требования. Численные же методы анализа нелинейных цепей позволяют получить весьма высокую точность. Конкуренция точности методов анализа и точности как линейных, так и нелинейных моделей элементов и привела к быстрому развитию теории моделирования элементов цепей (преимущественно нелинейных) и одного из основных ее разделов – диагностики.

Современное состояние производства изделий радиоэлектроники полностью базируется на автоматизированном анализе цепей. Настоящее пособие ориентировано, прежде всего, на самые распространенные симуляторы электронных цепей SPICE-типа. Примеры анализа, использованные в пособии, получены с помощью некоммерческого симулятора LTspice1. К сожалению, содержащиеся в библиотеках этих симуляторов модели компонентов не всегда позволяют решать вопросы диагностики. Практически все программы диагностики сложных моделей являются коммерческими. Кроме того, в общем случае, вследствие постоянного совершенствования технологии производства, так же постоянно приходится разрабатывать новые модели компонентов (или модифицировать старые) и, следовательно, решать вопросы диагностики.

1 http://www.lineartechnology.com

4

1. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ

1.1. Модели элементов радиотехнических цепей

Под моделью элемента далее подразумевается, прежде всего, математическая модель – система уравнений, связывающая токи и напряжения на зажимах этого элемента. Математические модели подразделяют на формальные и физические. Ярким примером формальной модели является линейный четырехполюсник, описываемый четырьмя комплексными параметрами, независимо от моделируемой цепи. Примером физической модели может служить модель идеального диода Шокли, параметры которой могут быть определены из геометрических размеров и свойств областей полупроводника. Деление моделей на формальные и физические – условно: параметры четырехполюсника могут быть определены по топологии и параметрам элементов цепи, образующей четырехполюсник, а параметры диода Шокли могут быть определены путем измерений (т. е. путем диагностики). Модель Эберса-Молла биполярного транзистора была разработана как формальная, а затем ее параметры удалось связать с элементами конструкции и теперь эта модель считается физической.

Следует отметить еще одну, на первый взгляд терминологическую, проблему. Далее речь будет идти не о параметрах элемента, а о параметрах его конкретной модели. Объяснить ситуацию можно на примере моделирования диода. На постоянном токе чаще других используются три модели: модель Шокли, модель идеального диода с последовательным сопротивлением и модель диода с короткой базой. Первая модель имеет два параметра, вторая – три, причем два параметра общие с первой, третья – четыре параметра, причем только один из них новый. Если модели рассматривать как физические, то общие параметры у них должны быть идентичными. Но если определять эти параметры путем измерений отдельно для каждой модели по критерию минимальной погрешности, то общие параметры для каждой модели одного и того же диода будут разными численно. Во избежание путаницы при диагностике далее всюду речь будет идти о параметрах модели элемента.

Неконструктивность противопоставления формальных и физических моделей наиболее ярко проявляется в региональных моделях, в которых отдельные участки вольт-амперной (или вольт-фарадной) характеристики описываются разными моделями (уравнениями). На-

5

пример, в симуляторах SPICE-типа барьерная емкость при отрицательных и малых положительных смещениях описывается физической моделью, а в остальных случаях – различными формальными моделями. К региональным относятся, например, и многие модели полевых транзисторов.

Основной недостаток региональных моделей заключается в том, что на границе раздела основных характеристик прибора производные этой характеристики по напряжению (или току) могут претерпевать разрыв. Модели с разрывом первых производных в компьютерном анализе цепей не используются, но используются модели, в которых непрерывны только характеристики и их первая производная (С1-непрерывные модели) или характеристики с первыми двумя производными (С2-непрерывные модели).

В идеале физическая модель представляет собой трехмерную полупроводниковую структуру, описываемую уравнения математической физики с соответствующими граничными условиями. Например, статическая модель идеального диода Шокли получена таким образом для одномерного случая. Очевидно, что для анализа цепей такие модели могут использоваться в исключительно редких случаях, когда существует аналитическое решение исходных уравнений в замкнутой форме. На практике физические модели используются иногда для решения обратной задачи – для определения параметров полупроводниковой структуры путем измерения параметров модели, причем этот прием используется не в теории цепей, а при контроле технологических процессов.

Связь между токами и напряжениями может быть явной. В этом случае модель называют обычно компактной. Если система уравнений, описывающая моделируемый элемент, не имеет аналитического решения, то существуют два способа использования такой модели. В первом случае для получения численных характеристик элемента используется специально разработанная программа приближенного численного расчета вольт-амперной (или вольт-фарадной) характеристики итерациями. Если учесть, что при анализе переходных процессов требуется вычислять эти характеристики до 106 раз, то становится очевидным, что такой путь возможен только в том случае, если итерации сходятся достаточно быстро. Второй способ используется, например, в статической модели диода с последовательным сопро-

6

тивлением в режиме слабой инжекции. Такая модель состоит из источника тока, управляемого собственным напряжением:

и включенного последовательно с ним линейного сопротивления RS (RS , IS, и φ – параметры SPICE-модели). Эту модель можно назвать схемной, ее ток не удается выразить непосредственно через приложенное напряжение, и он определяется в процессе расчета всей нелинейной цепи, в состав которой входит рассматриваемая двухэлементная модель2. Схемная модель может быть весьма сложной. Так современные модели биполярного транзистора содержат десятки элементов, большинство которых нелинейные. В технической литературе схемную модель называют схемой замещения или эквива-

лентной схемой.

Отметим, что напряжение на зажимах рассмотренной модели, состоящей из двух последовательно включенных моделей – линейной и нелинейной – может быть записано в виде аналитической функции в явном виде

Однако использовать модель в виде источника напряжения, управляемого собственным током, в соответствии с (1.2) нельзя, так как в итерационном процессе численного решения уравнений цепи ток может принять значение менее IS , что вызовет аварийный останов программы решения нелинейных уравнений вследствие попытки логарифмирования отрицательной величины. Строго говоря, подобный останов возможен и в модели (1.1), поскольку значение экспоненты при слишком большом напряжении может стать больше разрядной сетки, но эту проблему удается решить программными средствами.

1.2. Погрешности abstol, reltol, tol

Многообразие моделей одного и того же элемента в общем случае порождает задачу выбора конкретной модели. Такой выбор требует, чтобы при определении параметров этой модели одновременно

2 Желающие могут попытаться синтезировать модель, ВАХ которой вычисляется явно внутренними итерациями.

7

определялась и ее погрешность. Обычно вначале выбирают простейшую модель и только в том случае, если ее погрешность оказывается недопустимо большой, выбирают более сложную модель и проверяют соответствие ее погрешности допустимой.

Пользоваться наиболее точной известной моделью, не проверяя ее погрешность, кажется удобнее, но, с одной стороны, при этом неизбежно растет время анализа цепей, а с другой – погрешность в реальных условиях любой модели может оказаться больше допустимой. Сказанное относится ко всем моделям, используемым в симуляторах электронных цепей. Если в библиотеке элементов приведены параметры модели, например, конкретного дискретного транзистора с пятью точными знаками, то при их использовании следует помнить, что современные полупроводниковые технологии гарантируют их повторяемость с погрешностью не менее десяти процентов.

Следует уточнить, что понятие «погрешность» неоднозначно. Прежде всего, различают абсолютную и относительную погрешности. Первая обозначается в электронных симуляторах и программах компьютерной математики аббревиатурой abstol (или atol), вторая – reltol (или rtol). Если х – точная величина, а xˆ приближенная, то abstol = | xˆ x |, reltol = | xˆ x | / | x |. На практике эти погрешности иногда используют не абсолютные значения (то есть не используется знак | | ), кроме того, широко используется приближенное выраже-

ние reltol ≈ | xˆ x| /| xˆ |, а для исключения деления на ноль reltol ≈ | xˆ x | /max | x |,| xˆ | .

Существуют программы компьютерной математики, использующие только одну величину погрешности tol = | xˆ x | / 1 | x | . При малых значениях | x| tol ≈ abstol, при больших | x| – tol ≈ reltol. Возможность применения только одной погрешности вместо двух объясняется тем, что при численном решении ответ считается удовлетворительным, если достигнутая ошибка, в данном случае tol, оказалась меньше только одной из наперед заданных – reltol или abstol. Обычно считается, что погрешность – это количественная характеристика понятия «точность», но иногда точностью называют величину, обратную относительной погрешности.

8

1.3. Методы аппроксимации экспериментальных характеристик

Пусть основная характеристика нелинейного двухполюсника измерена, то есть зависимость y = f (x) записана в виде таблицы {yk, xk}, k = 1, 2, …, N с известной точностью ее элементов. Тогда задачей диагностики при известной математической модели

y = g (а1, а2, …, аn, x)

является определение вектора параметров а = {а1, а2, …, аn} из n элементов (n ≤ N). В математике эта задача носит название аппроксимации. Для ее решения в общем случае необходимо выбрать вид погрешности и определить параметры модели из условия минимума этой погрешности.

В частном случае, если n = N, тогда задача имеет точное решение (погрешность равна нулю). В этом случае параметры определяются из системы алгебраических (как правило, нелинейных) уравнений yk – g (а1, а2, …,аn, xk) = 0, k = 1, 2, …, n . Такой метод определения параметров называется методом выбранных точек.

Случай n > N не интересен для практики, поскольку значения параметров становятся неопределенными. Напротив, практически всегда n < N и для использования метода выбранных точек как раз и требуется выбрать какие-то n точек из N измеренных. Обычно в этом случае выбирают эквидистантные точки на интервале изменения аргумента (в диапазоне изменения токов и напряжений на зажимах двухполюсника), включая крайние точки xMIN и xMAX .

Очевидно, что значения yk и g (xk) должны быть максимально близкими во всех n точках. Исходя из этого условия, составляют систему уравнений n-го порядка

где εk – ошибка аппроксимации в k-й точке, и минимизируют (оптимизируют) общую ошибку всей системы, в качестве которой обычно выбирают среднеквадратическую ошибку

В последнем случае метод определения параметров называют методом наименьших квадратов, так как фактически минимизируют функцию (целевую функцию, функцию ошибки, merit function)

9

k1

Вособо ответственных случаях каждое слагаемое в (1.4) имеет весовой коэффициент, величина которого обратно пропорциональна

погрешности измерения yk . Если параметры а входят в модель g (а1, а2, …,аn, x) линейно, то решение удобно найти точно из системы уравнений

но в общем случае система (1.5) аналитического решения не имеет и может решаться только численно.

Отметим важные обстоятельства. Точное решение (1.5) а* обычно найти не удается, определение погрешности найденного приближенного решения а* весьма трудная задача. Для определения а* необходимо задать начальные значения искомых параметров а(0), что также не является тривиальной задачей.

Как правило, решение (1.5) осуществляется методом спуска. Существует большое количество таких методов, что свидетельствует о том, что, по крайней мере, ни один из них не является универсальным. Методы спуска делят на методы нулевого – 2-го порядков. В методах нулевого порядка вычисляются значения только целевой функции ξ, в методах 1-го порядка – ее первые производные по параметрам, 2-го – вторые производные. Считается, что чем выше порядок метода, то тем быстрее находится решение, для которого вектор искомых параметров а(0) изменяют таким образом, чтобы на первом шаге решения целевая функция уменьшилась по сравнению с первоначальным значением: ξ(а(1)) < ξ(а(0)). Далее процедура спуска повторяется k раз, пока текущее значение не станет удовлетворять критерию останова. Таким критерием должно служить условие ξ(а(k)) ≤ ξ(а*), но, поскольку решение априорно неизвестно, критерием (весьма грубым) служит или малая величина (менее наперед заданной) изменения на шаге параметров а, или малая величина изменения функции ошибки ξ.

К методам нулевого порядка относится метод случайного спус-

ка, согласно которому начальное приближение а(0) изменяют случайным образом, пока не выполнится условие ξ(а(1)) < ξ(а(0)). Метод слу-

чайного спуска относят к самым надежным, но и к самым медлен-

10