Диагностика элементов радиотехнических цепей. Учебное пособие

ным. Кроме того, его эффективность с увеличением числа параметров n падает быстрее, чем у других методов.

Скорость спуска можно увеличить двумя способами. Во-первых, нередко можно уменьшить число параметров, определяемых численно. Если параметр ap входит в ξ(а) линейно, то на каждом шаге спус-

ка его можно найти аналитически из уравнения / ap 0. Такой

способ, если предоставляется возможность, нужно использовать всегда, поскольку с увеличением числа параметров эффективность всех методов оптимизации падает. Во-вторых, при выборе а(2) можно использовать информацию о том, как отличались значения а(1) и а(0). В таком случае косвенно используется информация о производных

/ а .

Эти производные вычисляются в методе первого порядка, поэтому в нем каждое следующее значение ξ(а) оказывается меньше предыдущего, что существенно ускоряет сходимость к решению. Если и в этом методе использовать информацию о предыдущем шаге,

то косвенно можно учесть вторую производную 2 / а2 0, что приближает скорость сходимости к скорости методов второго порядка.

Методы 2-го порядка теоретически обеспечивают сходимость к решению за один шаг в малой окрестности решения. К сожалению, попасть в малую окрестность, выбрав соответствующее начальное приближение а(0), сложно, а при слишком грубом приближении а(0) метод может оказаться неработоспособным, поэтому в универсальных программах оптимизации наряду с методом 2-го порядка пользователю всегда предлагаются и методы 1-го порядка, менее критичные к выбору а(0). На практике обычно решают задачу всеми доступными методами, а результат выбирают, вычислив ξ(а*) каждого метода.

Трудности задачи оптимизации, к которым относится задача о наименьших квадратах, объясняются высокой жесткостью большинства практических задач. Для двумерной функции g(a, b) на плоскости каждому фиксированному значению ξ(a, b) соответствует в малой окрестности решения эллипс (рис. 1.1). При большой разности полуосей поверхности уровня ξ(a, b) образуют так называемую

овражную структуру.

11

Рис. 1.2. Сечение функции ξ(а, b) в вертикальных плоскостях, проходящих вдоль (по оси x) и поперек (по оси y) дна оврага (нижняя и верхняя кривые соответственно)

Повысить точность определения а* иногда удается путем многократного решения задачи спуска при разных начальных условиях, контролируя текущие значения а* и ξ(а*) . В ряде случаев, особенно при большом числе параметров, может оказаться, что один – два параметра изменяются весьма значительно при малых изменениях ξ(а*). Это означает, что модель плохо обусловлена. В этом случае следует увеличить точность измерения {yk, xk} и (или) количество измерений N, и (или) диапазон изменения токов (напряжений) xMAX – xMIN .

Современные электронные симуляторы, как правило, содержат программы определения (экстракции) параметров используемых моделей по результатам измерения их основных характеристик. Для преодоления перечисленных выше трудностей решения задач спуска эти программы нередко используют различные приемы, повышающие надежность процедуры экстракции. Так, в симуляторе MicroCap 5 при определении параметров модели C0, , M барьерной емкости полупроводникового диода

используется метод выпрямления, заключающийся в том, что путем логарифмирования (1.6) и введения новых переменных функцию ξ(C0, , M) удается преобразовать к виду, при котором она оказыва-

13

ется линейной относительно своих параметров. Однако при этом минимизируется не среднеквадратическая погрешность модели.

Теория аппроксимации утверждает, что более сильным приближением, чем среднеквадратическое, является равномерное приближение, при котором вектор параметров модели a выбираются таким образом, чтобы минимизировать максимальную погрешность εk системы (1.3). Равномерное приближение реализуется путем минимиза-

ке полагают L ≥ 8). Следует отметить, однако, что с ростом L жесткость задачи оптимизации быстро растет, поэтому равномерное приближение используется редко.

Рассмотрим, как влияет выбор приближения на результаты моделирования. На рис. 1.3 приведено распределение относительной погрешности двух моделей барьерной эмиттерной емкости транзистора КТ3128А при использовании среднеквадратического приближения. Точками показаны результаты для модели (1.6), пустыми кружками – для более точной модели в виде

Рис. 1.3. Зависимость от напряжения смещения относительной погрешности двух моделей барьерной эмиттерной емкости транзистора КТ3128А при использовании среднеквадратического приближения

Уточнение модели привело к существенному снижению среднеквадратической погрешности, – от σ● = 0,197 % до σ○ = 0,11 %. В то же время максимальная относительная погрешность практически не изменилась: │δ│MAX ≈ 1,5 %. На рис. 1.4 приведены результаты подобного анализа для равномерного приближения. В этом случае с

14

│δ●│MAX ≈ 1,4 % до │δ○│MAX ≈ 1,0 %. Полученные результаты позволяют предположить, что для грубых моделей выбор приближения слабо влияет на качество аппроксимации.

Рис. 1.4. Зависимость от напряжения смещения относительной погрешности двух моделей барьерной эмиттерной емкости транзистора КТ3128А при использовании равномерного приближения

2.ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

2.1.Модель соединительного проводника

При анализе высокочастотных цепей иногда приходится учитывать инерционные свойства соединительных проводников. Наиболее простая модель проводника – элемент задержки, т. е. модель отрезка длинной линии без потерь. При необходимости учета потерь последовательно с элементом задержки включают сопротивление. В устройствах с печатным монтажом часто возникает необходимость учета взаимного влияния проводников. В слаботочных устройствах это влияние моделируется емкостями связи. Поскольку число проводников и связей может быть очень большим, а емкость проводников высокой, то нередки случаи, когда эквивалентная схема устройства состоит фактически только из модели связей, так как в этом случае используются простейшие модели электронных элементов цепи.

2.2.Модель резистора

Впаспортных данных резистора указывается не только его сопротивление, но и паразитная (малая) емкость выводов. Таким образом, схема замещения резистора имеет вид параллельной RC-цепи.

15

При необходимости значения указанных параметров можно уточнить с помощью измерительного моста. Крайне редко в схему замещения резистора вводят последовательно включенную паразитную индуктивность, значение которой определяется весьма приближенно (выводы длиной 1 см обладают индуктивностью немногим более 1 нГн).

2.3.Модель конденсатора

Вбольшинстве случаев схема замещения конденсаторов, использующихся в частотно-избирательных цепях, совпадает со схемой замещения резистора, но основным ее параметром является емкость, а паразитным – сопротивление утечки. Параметры могут быть уточнены путем измерений так же, как и у резистора.

Для конденсаторов большой емкости, выполненных в виде свернутых в рулон двух полос фольги, приходится учитывать последовательное включенные паразитные сопротивление и индуктивность. В паспорте таких конденсаторов, использующихся в цепях, разделяющих пути протекания постоянного и переменного токов, обычно указывается рабочий диапазон частот (в котором АЧХ полного сопротивления падает). Точные значения паразитных параметров обычно не представляют интереса, потому что для получения малого сопротивления на высоких частотах параллельно таким конденсаторам включают высокодобротные конденсаторы малой емкости.

Наиболее сложной схемой замещения обладают конденсаторы особо большой емкости, использующихся в качестве аккумуляторов

ния максимальной эффективности от разработчиков требуется глубокое понимание всех физических процессов, используемых в данной технологии, а также принятие правильных схемотехнических

16

решений. Без учета распределенного характера емкости конденсатора невозможно, например, правильно измерить его емкость.

2.4. Модель катушки индуктивности

Огромное число конструктивных вариантов катушки индуктивности представляет основную трудность для создания ее модели. Если способы достаточно точной оценки индуктивности катушки разработаны, то расчет потерь даже в узком частотном диапазоне, как правило, носит приближенный характер.

В паспортных данных индуктивной катушки обычно указывается ее индуктивность L, добротность на заданной частоте Q(f1 ) и собственная резонансная частота fC, обусловленная паразитной емкостью катушки С. Этим параметрам соответствует схема замещения параллельного колебательного контура из трех элементов R, L и С. При высокой добротности на фиксированной частоте способ включения сопротивления (параллельно или последовательно с индуктивностью) не играет роли. Но с увеличением частоты при параллельном включении элементов R, L, С добротность Q = xВХ/rВХ падает, в то время как при включении сопротивления последовательно с индуктивностью растет. Реально конструкция катушки обычно разрабатывается таким образом, чтобы на заданной частоте ее добротность была максимально возможной, т. е. и при увеличении и при уменьшении частоты относительно указанной в паспорте добротность катушки падает.

Таким образом, моделирование зависимости добротности катушки от частоты требует включения двух сопротивлений в ее схему замещения, приведенную на рис. 2.2. Кроме упомянутых сопротивлений R1 и R3, последовательно с емкостью в схеме включено сопротивление R2, необходимое для повышения точности моделирования в случае, когда рабочий диапазон частот включает и частоту собственного резонанса.

Существуют два метода измерения паразитной емкости. Согласно одному из них измеряют индуктивность катушки на низкой частоте (f << fС) и частоту собственного резонанса, связанные с искомой емкостью соотношением C = (2 fC)2/L. Согласно второму методу вначале измеряют резонансную частоту f01 колебательного контура, образованного исследуемой катушкой и измерительным конденсатором СИ1, затем подключают измерительный конденсатор СИ2 и изме-

17

как систему с распределенными параметрами, т. е. схема, приведенная на рис. 2.2, справедлива только для f < fС. При выполнении последнего условия точность определения паразитной емкости будет зависеть только от погрешности измерений, в противном случае ее значение на крайних частотах заданного диапазона может отличаться существенно. По этой же причине на собственной резонансной частоте сопротивление потерь контура приблизительно равно сопротивлению R2. Распределенный характер моделируемой цепи требует осторожности при измерении частоты fС, так как собственный амплитудный резонанс наблюдается на ряде частот, а схема на рис. 2.2 сохраняет физический смысл только до наименьшей из этих частот. Отметим, что если добротность катушки индуктивности в рассматриваемом частотном диапазоне определяется, в основном, добротностью магнитного сердечника, то погрешность рассмотренной модели резко растет.

Сопротивления R1 и R3 рассматриваемой схемы замещения целесообразно определять методом наименьших квадратов. Запишем для этого выражение для обратной добротности (затухания) схемной модели

18

Для измеренной последовательности {Qi, i} i = 1, 2,…N запишем целевую функцию в виде

N

S(R1,R3) [dM ( i ) di ]2 .

i 1

Решая линейное уравнение S/ G3 = 0, где G3 = 1/R3 на каждом шаге спуска, задачу численной оптимизации можно свести к одномерной для целевой функции S(R1).

Результаты определения параметров модели катушки с помощью описанной методики проиллюстрированы на рис. 2.3, где значками + отмечены значения измеренной добротности, а сплошной линией рассчитанной добротности.

Рассмотренная выше методика диагностики параметров схемы замещения рис. 2.2 может использоваться и для схемы без сопротивления R2, встроенную в симулятор LTspice, – достаточно принять

R2 = 0.

Задача моделирования катушки индуктивности в широком частотном диапазоне не является тривиальной. Например, синтез схемы замещения спиральной катушки индуктивности диаметром 0,2 мм, используемой в устройствах мобильной связи, и измерение ее параметров представляет отдельную исследовательскую задачу

(рис. 2.4).

а б Рис. 2.4. Схема замещения катушки индуктивности (а) и зависимость ее

добротности от частоты (б)

Выбор схемы замещения зависит от знаний разработчика в предметной области. Например, при проектировании LC-фильтров нередко используется низкоомная нагрузка. В этом случае потерями

19

в индуктивных катушках можно пренебречь и использовать простейшие схемы замещения.

3. ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ ДИОДЫ

3.1. Схемная модель

Диод, выполненный на основе на p–n-перехода, является простейшим из полупроводниковых приборов. В радиотехнических устройствах диоды на p–n-переходе широко используются в схемах выпрямителей, детекторов и умножителей частоты. В интегральных схемах диоды используются, в основном, для защиты входов приборов от статического электричества.

На рис. 3.1 показано поперечное сечение диода (а), его условное графическое обозначение (б) и схемная модель (в) [2]. Диод состоит из двух областей полупроводникового материала (чаще всего кремния) с проводимостью p- и n-типа, разделенных областью обедненной носителями заряда, которая обладает весьма малой толщиной по сравнению с размерами диода. Доступ к р- и n-областям прибора обеспечивают металлические (как правило, алюминиевые) контакты.

a б в

Рис. 3.1. Полупроводниковый диод: а – поперечное сечение, б – условное обозначение, в – схемная модель

Полупроводник p-типа легирован акцепторными примесями, в результате чего в нем основными носителями заряда являются дырки. Аналогично, легирование полупроводника донорными примеся-

20