Диагностика элементов радиотехнических цепей. Учебное пособие

ми приводит к получению материала n-типа, где основными носителями заряда являются электроны. Поскольку в n-области высока концентрация электронов, а в p-области – дырок, то происходит диффузия электронов в p-область, а дырок – в n-область. Диффузионный ток, вследствие огромной разности концентрации носителей заряда одного знака на границе перехода, является основным фактором проводимости диода. При отсутствии внешнего смещения диффузионный ток приводит к появлению потенциального барьера на границе перехода. В результате на границе p–n-перехода возникает обедненная область (область пространственного заряда), из которой ушли основные носители, оставив неподвижные ионы донорной и акцепторной примесей. Область пространственного заряда создает на границе p–n-перехода электрическое поле, которое вызывает дрейф электронов в n-область, а дырок – в p-область. В результате при отсутствии внешнего напряжения ток диода равен нулю, поскольку диффузионный ток равен по модулю, но противоположен по знаку дрейфовому (под действием электрического поля) току.

Если к диоду прикладывается положительное напряжение, то потенциальный барьер снижается и растет диффузионный ток основных носителей. Если к диоду прикладывается отрицательное напряжение, т. е. когда потенциал p-области понижается относительно потенциала n-области, то диффузионный ток снижается и доминирующей становится дрейфовая составляющая. Поскольку количество неосновных носителей (электронов в p-области и дырок в n-области) очень мало, то дрейфовой составляющей тока можно практически пренебречь, т. е. при обратном смещении ток диода крайне мал. Если основные носители при прямом смещении полностью рекомбинируют в объеме полупроводника и вдали от p–n-перехода исходный тип проводимости сохраняется, то такой режим работы диода называется режимом слабой инжекции. При малой толщине слоев полупроводника и/или большой плотности тока часть неосновных носителей проходит всю область противоположного типа проводимости и наблюдается режим сильной инжекции.

Модель идеального диода (модель Шокли) – это простейшая статическая модель, описывающая зависимость тока диода i от его напряжения u. Эта модель может быть получена из уравнения Пуассона для области полупроводника, состоящей из двух частей с разными

21

типами проводимости. Модель Шокли содержит только источник тока, управляемый собственным напряжением, и имеет вид

q 1,6 10 19 Кл – заряд электрона; T – абсолютная температура, при

T = 300 К термический потенциал T 25,9 мВ).

Схемная модель диода (рис. 3.1, в), наряду с управляемым источником, содержит последовательное сопротивление RS и нелинейную емкость СD, т. е является моделью по переменному току. Сопротивление RS (обычно 0,01 < RS < 10 Ом) учитывает объемное сопротивление полупроводника и контактов. Управляемый источник тока и последовательное сопротивление RS моделируют статическую вольт-амперную характеристику (ВАХ) диода. Емкость СD моделирует динамическое поведение диода, связанное с накоплением заряда в обедненной области, и содержит две составляющие – барьерную емкость и диффузионную емкость: CD CБ (u) CД (u) .

3.2. Статические модели

Наиболее распространенной статической моделью полупроводникового диода, используемой во всех SPICE-подобных симуляторах, является «физическая» схемная модель, состоящая из линейного сопротивления RS, включенного последовательно с управляемым собственным напряжением источником тока, который моделирует режимы слабой и сильной инжекции. Очевидно, что для получения статической схемной модели, необходимо из схемной модели на рис. 3.1, в исключить нелинейную емкость. На рис. 3.2 приведены экспериментальные ВАХ двух различных диодов. ВАХ диода MURD315 (выпрямительный диод с малым временем восстановления фирмы DSI) соответствует режиму слабой инжекции, ВАХ диода FR102 (кремниевый выпрямительный диод той же фирмы) характерна для режима сильной инжекции.

22

численно итерациями, что увеличивает как погрешность анализа цепей, так и погрешность идентификации параметров.

Для моделирования режима сильной инжекции, возникающего при высокой концентрации неосновных носителей в p- и n-областях, во всех SPICE-подобных симуляторах ток управляемого источника описывается выражением

где φ=NφT; IKF – ток, соответствующий переходу от режима слабой инжекции к сильной. Следует отметить, что SPICE0-модель, в которой пренебрегают эффектами сильной инжекции, является частным случаем SPICE-модели (3.3) при IKF → ∞.

Основные недостатки SPICE-модели те же, что и у SPICE0- модели. Дополнительные недостатки SPICE-модели следующие:

–ток диода при прямом смещении растет медленнее, чем по экспоненте, как вследствие влияния последовательного сопротивления, так и перехода к режиму сильной инжекции. Одинаковый характер влияния двух факторов приводит к плохой обусловленности модели, что проявляется в сильной зависимости значений определяемых экспериментально параметров от диапазона выбранных токов, точности измерений и процедуры экстракции параметров;

–при экстракции параметров методом наименьших квадратов наблюдается плохая повторяемость результатов при изменении начальных условий процедуры экстракции, что объясняется, с одной стороны, высокой жесткостью задачи численной оптимизации, а с другой – неустранимой погрешностью, связанной с необходимостью численного (приближенного) расчета тока диода, вследствие чего увеличивается цифровой шум на дне минимизируемой функции.

Фактически SPICE-модель имеет только два безусловно физических параметра – ток насыщения и термический потенциал – температурные зависимости которых считаются известными. Остальные параметры считаются независимыми от температуры или эти зависимости аппроксимируются эмпирически.

Известна компактная статическая модель прямосмещенного p– n-перехода для режима слабой инжекции (т. е. в отличие от SPICE-

24

модели, описывающая ток в явном виде), уточняющая модель Шокли следующим образом:

где а4 и а8 – малые эмпирические параметры ( а8 << а4 << 1). Отметим, что модель (3.4) не содержит «физического» параметра RS.

Второй сомножитель в (3.4) – быстросходящийся степенной многочлен – фактически аппроксимирует ошибку модели Шокли. Выбор высоких степеней аргумента в используемом укороченном полиноме объясняется необходимостью уточнения модели идеального диода только в режиме больших токов. На практике уже один член степенного ряда обеспечивает точность, соизмеримую с точностью SPICE0-модели, поэтому далее рассматривается только этот случай.

Если входящую в (3.4) модифицированную модель Шокли заменить выражением (3.3), то получим новую компактную модель, учитывающую режим сильной инжекции, в виде

Модель, учитывающую оба типа инжекции, можно получить и в другом виде [3]:

вующее переходу от режима слабой инжекции к сильной; ε = 0,4 В. Зависимости i(u), рассчитанные согласно последним двум вы-

ражениям практически совпадают, но модель (3.5) линейна относительно одного параметра а4, а модель (3.6) – двух: а4 и IS, что существенно влияет на точность и скорость экстракции параметров.

Для идентификации параметров моделей в качестве минимизи-

руемой функции можно воспользоваться суммой квадратов относительных погрешностей в каждой точке ВАХ:

25

где {ik, uk }, k = 1, 2, …, N – экспериментальные значения ВАХ диода, δi, k – относительная погрешность по току в k-й точке ВАХ.

Результаты моделирования представлены в табл. 3.1 (диод MURD315) и табл. 3.2 (диод FR102), где σi – среднеквадратическая погрешность моделирования. Для повышения достоверности моделирования приведена максимальная относительная погрешность по току │δi│max. Численный спуск проводился методом случайного поиска, обеспечивающим число точных значащих цифр решения до половины используемой разрядной сетки (разное число значащих цифр, приведенных в таблицах результатов, объясняется разными свойствами моделей). Неявные уравнения i = f(u) решались методом Ньютона. Во всех возможных случаях вычислялась жесткость модели . Кроме жесткости исходной модели, определялась и жесткость задачи численной минимизации после исключения из минимизируемой функции тех параметров xi, которые можно было получить аналитически из линейных уравнений Q xi = 0. Размерность минимизируемой функции указана в индексе . К сожалению, определить жесткость SPICE-моделей в общем случае, вследствие отсутствия явного выражения i(u), не удалось. Для оценки жесткости SPICE0- модели определялась жесткость модели, полностью ей эквивалентной, но в отличие от нее описываемой явным выражением:

Явное выражение u(i) позволило при численной минимизации преобразовать трехмерную функцию

26

Результаты, представленные в табл. 3.1 и 3.2, свидетельствуют, что компактные модели (3.4) и (3.6) имеют тот же порядок точности, что и SPICE0 и SPICE-модели соответственно при том же числе параметров. Замена «физического» параметра R формальным а4 позволила не только получить зависимость i(u) в явном виде, но и редуцировать размерность задачи численной параметрической оптими-

27

зации. В результате редукции, с одной стороны, существенно упрощается проблема определения начального приближения искомых параметров (порядок величин и UK известен априорно, в отличие от исключаемых IS и а4 ), а с другой – резко, на два порядка, падает жесткость задачи численной оптимизации.

На рис. 3.3 показаны зависимости от напряжения относительных погрешностей модифицированной модели Шокли при минимизации относительной и абсолютной погрешностей ВАХ (для диода MURD315). В первом случае параметры модели IS = 101,10 пА, φ = 27,615 мВ, среднеквадратическая погрешность σi = 0,82%. Во втором – IS = 485,9 пА , φ = 29,475 мВ, σi = 3,7%. Для получения ми-

нимума погрешности во всем диапазоне токов и напряжений при определении параметров моделей диодов выше минимизировалась относительная погрешность. Минимум погрешности во всем диапазоне напряжений важен для анализа спектральных преобразований в смесительных диодах и нелинейных искажений в биполярных транзисторах. Малая погрешность в области больших токов важна при анализе выпрямителей в блоках питания.

Рис. 3.3. Зависимости относительных погрешностей модифицированной модели Шокли от напряжения на диоде при минимизации относительной погрешности (■) и абсолютной погрешности (□)

При определении параметров моделей диода можно минимизировать относительную погрешность по току (3.7) или по напряжению (3.9). На рис. 3.4 показаны зависимости от напряжения относительных погрешностей модифицированной модели Шокли при минимизации по току и по напряжению (для диода MURD 315). Для сравнения на рис. 3.4, б также приведена погрешность модели (3.8). При минимизации по току для модифицированной модели Шокли были получены следующие результаты: IS = 101,10 пА, φ = 27,615 мВ,

28

σi = 0,82 %; при минимизации по напряжению для модифицирован-

ной модели Шокли IS = 94,222 пА, φ = 27,533 мВ, σu = 0,033 %, для модели (3.8) IS = 15,653 пА, φ = 25,523 мВ, RS = 0,6247 Ом, σu = 0,009 %.

Следует отметить, что │δ│max ≈ 10σ и, главное, σi ≈ 40σu. Изменение вида погрешности приводит к неопределенности в значениях параметров. В общем случае можно принять IS ≈ 98 пА и φ ≈ 27,5 мВ с ошибкой в последней значащей цифре, но в частных случаях, например при проектировании балансных смесителей, важны не столько значения параметров, сколько различия в параметрах для пары конкретных диодов. В этом случае может потребоваться весьма высокая точность определения параметров.

б

Рис. 3.4. Зависимости от напряжения относительных погрешностей моделей диода при минимизации по току (а) и по напряжению (б)

(● – для модели (3.2), ○ – для модели (3.8))

3.3. Обусловленность задачи оптимизации

Следует отметить, что сохранение в паспортных (библиотечных) данных параметров SPICE0-модели диодов объясняется не традици-

29

ей, а тем, что SPICE-модель крайне плохо обусловлена в режиме слабой инжекции. Стандартные процедуры численной оптимизации в этом случае позволяют найти параметр R только с ошибкой в первой значащей цифре. Используя в качестве начального приближения значение R, найденное для SPICE0-модели, удается определить R с заданной точностью, но параметр IKF с увеличением требуемой точности может стремиться к бесконечности, что делает задачу экстракции методом наименьших квадратов в рассматриваемом случае некорректной. Некорректность SPICE-модели в частных случаях подтверждается и паспортными данными диодов, приводимых в программах автоматизированного анализа цепей. При малых значениях IKF (до ампер) численное значение параметра приводится с той же точностью, что и других параметров (с 5-ю точными знаками), а при больших – указывается приближенное значение с одним точным знаком.

Содержательную количественную оценку обусловленности задачи оптимизации («численной робастности модели») сконструировать весьма сложно, поэтому далее представлен только сравнительный анализ обусловленности для компактных моделей (3.6) и (3.8). В качестве критерия обусловленности выбрана зависимость определяемых параметров от используемого диапазона ВАХ. На рис. 3.5 показаны указанные зависимости основных параметров от нижней границы диапазона umin um (в таблице {ik, uk }, k = m, m + 1, …, N).

Очевидно, что для хорошо обусловленной модели изменение (в данном случае уменьшение) диапазона изменения аргумента должно слабо сказываться на значениях параметров прибора. Из рис. 3.5 видно, модель (3.8) оказывается существенно менее обусловленной, чем модель (3.6). Если ВАХ диода соответствует, в основном, режиму с сильной инжекцией, то, как показано в табл. 3.2 и на рис. 3.5, погрешность модели (3.8) существенно растет, а ее обусловленность ухудшается. Таким образом, SPICE0-модель можно использовать только при слабой инжекции, а SPICE-модель – только при сильной. Модель (3.6) этой особенностью не обладает и ее можно использовать во всех случаях, преимущества модели (3.6) следующие:

1. ВАХ диода задается в явном виде, соответствующем рекомендуемой для численного анализа схемной модели в виде управляемого источника тока, т. е. модель является компактной, что позволяет уве-

30