Введение в теорию вероятностей. Учебное пособие

А. Д. Нахман

ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Учебное пособие

Ɇɨɫɤɜɚ ȼɨɥɨɝɞɚ

©ɂɧɮɪɚ ɂɧɠɟɧɟɪɢɹª

1

Ɋɟɰɟɧɡɟɧɬ ɞɨɤɬɨɪ ɬɟɯɧɢɱɟɫɤɢɯ ɧɚɭɤ ɩɪɨɮɟɫɫɨɪ ɎȽȻɈɍ ȼɈ ©Ɍɚɦɛɨɜɫɤɢɣ ɝɨɫɭɞɚɪɫɬɜɟɧɧɵɣ ɬɟɯɧɢɱɟɫɤɢɣ ɭɧɢɜɟɪɫɢɬɟɬª

ɘ ȼ Ɋɨɞɢɨɧɨɜ

ɇɚɯɦɚɧ Ⱥ Ⱦ ɇ ȼɜɟɞɟɧɢɟ ɜ ɬɟɨɪɢɸ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɭɱɟɛɧɨɟ ɩɨɫɨɛɢɟ Ⱥ Ⱦ ɇɚɯɦɚɧ ±

Ɇɨɫɤɜɚ ȼɨɥɨɝɞɚ ɂɧɮɪɚ ɂɧɠɟɧɟɪɢɹ ± ɫ ɢɥ ɬɚɛɥ ,6%1

ɋɨɞɟɪɠɚɬɫɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɟ ɫɜɟɞɟɧɢɹ ɩɨ ɤɨɦɛɢɧɚɬɨɪɢɤɟ ɬɟɨɪɢɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɫɨɛɵɬɢɣ ɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɚ ɬɚɤɠɟ ɧɚɱɚɥɚɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ȼ ɨɫɧɨɜɭ ɪɚɫ ɫɦɨɬɪɟɧɢɹ ɩɨɥɨɠɟɧ ɡɚɞɚɱɧɵɣ ɩɨɞɯɨɞ ɉɪɟɞɥɨɠɟɧɵ ɨɛɪɚɡɰɵ ɪɟɲɟɧɢɹ ɬɢɩɨɜɵɯ ɜɟɪɨ ɹɬɧɨɫɬɧɵɯ ɡɚɞɚɱ ɢ ɡɚɞɚɧɢɹ ɞɥɹ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ ɨɛɭɱɚɸɳɢɦɢɫɹ

Ⱥɞɪɟɫɨɜɚɧɨ ɲɢɪɨɤɨɦɭ ɤɪɭɝɭ ɱɢɬɚɬɟɥɟɣ ɭɱɢɬɟɥɹɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ ɫɬɭɞɟɧɬɚɦ ɩɟɞɚɝɨ ɝɢɱɟɫɤɢɯ ɢɧɠɟɧɟɪɧɵɯ ɢ ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɢɯ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɣ ɩɨɞɝɨɬɨɜɤɢ ɚ ɬɚɤɠɟ ɫɩɟɰɢɚɥɢ ɫɬɚɦ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ ɨɛɪɚɡɨɜɚɬɟɥɶɧɵɯ ɢɧɧɨɜɚɰɢɣ

ВВЕДЕНИЕ: СТОХАСТИЧЕСКАЯ КОМПЕТЕНЦИЯ

ɇɚɱɢɧɚɹ ɫɨ ɜɬɨɪɨɣ ɩɨɥɨɜɢɧɵ ɩɪɨɲɥɨɝɨ ɜɟɤɚ ɧɚɛɥɸɞɚɟɬɫɹ ɜɫɟ ɛɨɥɟɟ ɜɨɡɪɚɫ ɬɚɸɳɢɣ ɢɧɬɟɪɟɫ ɤ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɟ ɬɟɨɪɢɢ ɫɥɭ ɱɚɣɧɵɯ ɩɪɨɰɟɫɫɨɜ ɢ ɤ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɸ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɦɟɬɨɞɨɜ ɜ ɫɚ ɦɵɯ ɪɚɡɧɨɨɛɪɚɡɧɵɯ ɨɛɥɚɫɬɹɯ ɧɚɭɤɢ ɬɟɯɧɢɤɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɚ ɢ ɷɤɨɧɨɦɢɤɢ ɂɡɭɱɟ ɧɢɟ ɪɚɡɥɢɱɧɨɝɨ ɪɨɞɚ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɹɜɥɟɧɢɣ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɣ ɨɬ ɧɨɪɦɵ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɜɚɠɧɵɦ ɫɪɟɞɫɬɜɨɦ ɩɪɟɞɨɬɜɪɚɳɟɧɢɹ ɱɪɟɡɜɵɱɚɣɧɵɯ ɫɢɬɭɚɰɢɣ ɬɟɯɧɨɝɟɧ ɧɵɯ ɤɚɬɚɫɬɪɨɮ ɜɵɩɭɫɤɚ ɧɟɤɚɱɟɫɬɜɟɧɧɨɣ ɢ ɧɟɧɚɞɟɠɧɨɣ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɢ ɬ ɩ

ɋ ɪɚɡɜɢɬɢɟɦ ɫɨɜɪɟɦɟɧɧɵɯ ɫɪɟɞɫɬɜ ɜɵɱɢɫɥɢɬɟɥɶɧɨɣ ɦɢɤɪɨɩɪɨɰɟɫɫɨɪɧɨɣ ɬɟɯɧɢɤɢ ɪɚɫɲɢɪɹɸɬɫɹ ɜɨɡɦɨɠɧɨɫɬɢ ɯɪɚɧɟɧɢɹ ɩɨɢɫɤɚ ɢ ɨɛɪɚɛɨɬɤɢ ɛɨɥɶɲɢɯ ɦɚɫɫɢɜɨɜ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɢɧɮɨɪɦɚɰɢɢ ɨ ɪɟɚɥɶɧɵɯ ɨɛɴɟɤɬɚɯ ɜɵ ɹɜɥɟɧɢɹ ɩɪɢɱɢɧɧɨ ɫɥɟɞɫɬɜɟɧɧɵɯ ɫɜɹɡɟɣ ɦɟɠɞɭ ɩɪɨɰɟɫɫɚɦɢ ɢ ɹɜɥɟɧɢɹɦɢ Ɇɟɬɨ ɞɵ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɧɚɯɨɞɹɬ ɜɫɟ ɛɨɥɶɲɟɟ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɟ ɧɚɩɪɢɦɟɪ ɤ ɚɧɚɥɢɡɭ ɨɲɢɛɨɤ ɪɚɡɧɨɝɨ ɪɨɞɚ ɢɡɦɟɪɟɧɢɣ ɚ ɬɚɤɠɟ ɜ ɮɢɡɢɤɟ ɛɢɨɥɨɝɢɢ ɷɤɨɥɨɝɢɢ ɫɨɰɢɨɥɨɝɢɢ ɜ ɬɟɥɟɮɨɧɢɢ ɢ ɩɪɨɰɟɫɫɚɯ ɨɛɫɥɭɠɢ ɜɚɧɢɹ ɚɞɚɩɬɢɜɧɨɝɨ ɭɩɪɚɜɥɟɧɢɹ ɢ ɬ ɞ

ɉɨ ɷɬɨɣ ɩɪɢɱɢɧɟ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɡɧɚɧɢɹ ɫɬɚɧɨɜɹɬɫɹ ɧɟɨɬɴɟɦɥɟɦɵɦ ɤɨɦɩɨ ɧɟɧɬɨɦ ɫɨɞɟɪɠɚɧɢɹ ɨɛɳɟɝɨ ɢ ɩɪɨɮɟɫɫɢɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ Ȼɟɡ ɦɢɧɢɦɚɥɶ ɧɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɝɪɚɦɨɬɧɨɫɬɢ ɧɟɥɶɡɹ ɜ ɧɚɲɢ ɞɧɢ ɚɞɟɤɜɚɬɧɨ ɜɨɫɩɪɢɧɢɦɚɬɶ ɪɚɡɧɨɨɛɪɚɡɧɭɸ ɫɨɰɢɚɥɶɧɭɸ ɩɨɥɢɬɢɱɟɫɤɭɸ ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɭɸ ɢɧ ɮɨɪɦɚɰɢɸ ɜɵɞɜɢɝɚɬɶ ɢ ɨɰɟɧɢɜɚɬɶ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɢ ɩɪɢɧɢɦɚɬɶ ɨɛɨɫɧɨɜɚɧɧɵɟ ɪɟɲɟɧɢɹ Ȼɟɡ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɩɨɞɝɨɬɨɜɤɢ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨ ɩɨɥɧɨɰɟɧɧɨɟ ɢɡɭɱɟɧɢɟ ɟɫɬɟɫɬɜɟɧɧɨɧɚɭɱɧɵɯ ɢ ɫɨɰɢɚɥɶɧɨ ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɢɯ ɞɢɫɰɢɩɥɢɧ

ȼ ɷɬɨɣ ɫɜɹɡɢ ɜ ɫɢɫɬɟɦɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɜ ɩɨɫɥɟɞɧɢɟ ɞɟɫɹɬɢ ɥɟɬɢɹ ɜɵɫɬɪɚɢɜɚɟɬɫɹ ɧɨɜɚɹ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɚɹ ɥɢɧɢɹ Ɉɧɚ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɨɛɴ ɟɞɢɧɟɧɢɟ ɜɡɚɢɦɨɫɜɹɡɚɧɧɵɯ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɳɢɯ ± ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɤɨɦɛɢɧɚɬɨɪɢɤɢ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɢ ɬɟɨɪɢɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɩɪɨɰɟɫɫɨɜ

Ɇɚɬɟɪɢɚɥɵ ɩɨɫɨɛɢɹ ɩɪɢɡɜɚɧɵ ɫɩɨɫɨɛɫɬɜɨɜɚɬɶ ɩɪɨɰɟɫɫɭ ɮɨɪɦɢɪɨɜɚɧɢɹ ɢ ɪɚɡɜɢɬɢɹ ɬɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟɦɨɣ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɤɨɦɩɟɬɟɧɰɢɢ ɨɛɭɱɚɸɳɢɯɫɹ ɉɨɧɹ ɬɢɟ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɤɨɦɩɟɬɟɧɰɢɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɪɚɜɧɢɬɟɥɶɧɨ ɧɨɜɵɦ ȿɝɨ ɜɨɡɧɢɤɧɨ ɜɟɧɢɟ ɫɜɹɡɚɧɨ ɫ ɞɜɭɦɹ ɮɚɤɬɨɪɚɦɢ

ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟɦ ɜ ɨɬɟɱɟɫɬɜɟɧɧɨɣ ɫɢɫɬɟɦɟ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɤɨɦɩɟɬɟɧɬɧɨɫɬɧɨɝɨ ɩɨɞɯɨɞɚ

ɧɚɥɢɱɢɟɦ ɜɫɟ ɛɨɥɟɟ ɜɨɡɪɚɫɬɚɸɳɟɝɨ ɨɛɳɟɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɪɟɫɚ ɤ ɩɪɢɦɟɧɟ ɧɢɸ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɦɟɬɨɞɨɜ ɜ ɫɚɦɵɯ ɪɚɡɧɨɨɛɪɚɡɧɵɯ ɨɛɥɚɫɬɹɯ ɧɚɭɤɢ ɬɟɯɧɢɤɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɚ ɢ ɷɤɨɧɨɦɢɤɢ

3

ɋɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɤɨɦɩɟɬɟɧɰɢɟɣ ɦɵ ɛɭɞɟɦ ɧɚɡɵɜɚɬɶ ɫɩɨɫɨɛɧɨɫɬɶ ɤ ɦɚɬɟɦɚ ɬɢɱɟɫɤɨɣ ɢ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɨɣ ɞɟɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɫɜɹɡɚɧɧɨɣ ɫ ɨɜɥɚɞɟɧɢɟɦ ɨɫɧɨɜɚɦɢ ɤɨɦ ɛɢɧɚɬɨɪɢɤɢ ɩɨɧɹɬɢɹɦɢ ɢ ɮɚɤɬɚɦɢ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢ ɫɬɢɤɢ ɢ ɬɟɨɪɢɢ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɩɪɨɰɟɫɫɨɜ ɋɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɚɹ ɤɨɦɩɟɬɟɧɬɧɨɫɬɶ ɜ ɧɚɲɟɦ ɩɨɧɢɦɚɧɢɢ ɟɫɬɶ ɝɨɬɨɜɧɨɫɬɶ ɤ ɬɚɤɨɣ ɞɟɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɭɦɟɧɢɟ ɦɨɛɢɥɢɡɨ ɜɚɬɶ ɡɧɚɧɢɹ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ ɫɬɨɯɚɫɬɢɤɢ ɧɚ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟ ɢɯ ɜ ɧɨɜɵɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ ɜ ɪɟ ɲɟɧɢɢ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɟɧɧɵɯ ɢ ɞɪ ɡɚɞɚɱ

ɋ ɧɚɲɟɣ ɬɨɱɤɢ ɡɪɟɧɢɹ ɧɟɜɨɡɦɨɠɧɨ ɩɪɨɜɟɫɬɢ ɱɟɬɤɭɸ ɝɪɚɧɶ ɦɟɠɞɭ ɫɬɨɯɚ ɫɬɢɱɟɫɤɢɦɢ ɤɨɦɩɟɬɟɧɰɢɟɣ ɢ ɤɨɦɩɟɬɟɧɬɧɨɫɬɶɸ ɞɪɭɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ ɷɬɢ ɞɜɚ ɩɨɧɹ ɬɢɹ ɢɧɬɟɝɪɢɪɭɸɳɢɟ ɜ ɫɟɛɟ ɦɧɨɝɨɱɢɫɥɟɧɧɵɟ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬɵ ɦɨɝɭɬ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢ ɜɚɬɶɫɹ ɤɚɤ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ ɧɟɤɨɬɨɪɵɯ ɧɟɱɟɬɤɢɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ

Ɉɛɳɢɦɢ ɞɥɹ ɮɨɪɦɢɪɨɜɚɧɢɹ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɤɨɦɩɟɬɟɧɰɢɢ ɤɨɦɩɟɬɟɧɬ ɧɨɫɬɢ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɭɫɥɨɜɢɹ

x ɡɧɚɧɢɟ ɤɨɧɰɟɩɬɭɚɥɶɧɵɯ ɨɫɧɨɜ ɫɬɨɯɚɫɬɢɤɢ

x ɜɥɚɞɟɧɢɟ ɪɚɡɧɨɨɛɪɚɡɧɵɦɢ ɦɟɬɨɞɚɦɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɚɧɚɥɢɡɚ ɨɤɪɭɠɚɸɳɢɯ ɹɜɥɟɧɢɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɨɝɨ ɦɨɞɟɥɢɪɨɜɚɧɢɹ ɫɬɚɬɢ ɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɡɚɤɨɧɨɦɟɪɧɨɫɬɟɣ ɪɟɚɥɶɧɨɣ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨɫɬɢ

x ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟ ɦɟɬɨɞɨɥɨɝɢɢ ɫɨɜɪɟɦɟɧɧɨɣ ɧɚɭɤɢ ɨɫɦɵɫɥɟɧɢɟ ɝɥɭɛɨɤɨɝɨ ɜɧɭɬɪɟɧɧɟɝɨ ɟɞɢɧɫɬɜɚ ɷɦɩɢɪɢɱɟɫɤɨɝɨ ɢ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɭɪɨɜɧɟɣ ɩɨɡɧɚ ɧɢɹ ɦɢɪɚ ɫɥɭɱɚɣɧɨɝɨ

ȼ ɫɬɪɭɤɬɭɪɟ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɤɨɦɩɟɬɟɧɰɢɢ ɤɨɦɩɟɬɟɧɬɧɨɫɬɢ ɦɵ ɜɵɞɟɥɹɟɦ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬɵ

Ɇɨɬɢɜɚɰɢɨɧɧɨ ɰɟɧɧɨɫɬɧɵɣ ɦɨɬɢɜɚɰɢɹ ɡɚɢɧɬɟɪɟɫɨɜɚɧɧɨɟ ɨɬɧɨɲɟɧɢɟ ɤ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɞɟɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ

Ʉɨɝɧɢɬɢɜɧɵɣ ɡɧɚɧɢɹ ɭɦɟɧɢɹ ɜ ɨɛɥɚɫɬɢ ɬɟɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɢ ɦɚɬɟ ɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ

Ɉɩɟɪɚɰɢɨɧɚɥɶɧɵɣ ɨɩɵɬ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɯ ɡɧɚɧɢɣ ɡɚɤɪɟɩɥɟɧɢɟ ɭɦɟɧɢɣ ɧɚ ɭɪɨɜɧɟ ɧɚɜɵɤɨɜ

Ɋɟɮɥɟɤɫɢɜɧɵɣ ɜɤɥɸɱɟɧɢɟ ɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɭɸ ɞɟɹɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɪɟɮɥɟɤɫɢɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɞɟɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɜ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ ɫɚɦɨɤɨɧɬɪɨɥɶ ɫɚɦɨɚɧɚɥɢɡ ɢ ɫɚɦɨɨɰɟɧɤɚ

ȼ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ Ʉɨɧɰɟɩɰɢɟɣ ɪɚɡɜɢɬɢɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɜ Ɋɨɫɫɢɣɫɤɨɣ ɮɟɞɟɪɚɰɢɢ ɢ ɜɜɟɞɟɧɢɟɦ ɧɨɜɵɯ ɎȽɈɋ ɨɛɳɟɝɨ ɢ ɩɪɨɮɟɫɫɢɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɢɦ ɡɧɚɧɢɹɦ ɨɬɜɨɞɢɬɫɹ ɪɨɥɶ ɧɟɨɬɴɟɦɥɟɦɨɝɨ ɤɨɦɩɨ ɧɟɧɬɚ ɢɧɧɨɜɚɰɢɨɧɧɨɝɨ ɫɨɞɟɪɠɚɧɢɹ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ± ɤɚɤ ɨɛɳɟɝɨ ɬɚɤ ɢ ɩɪɨɮɟɫɫɢɨ ɧɚɥɶɧɨɝɨ ɂɡɭɱɟɧɢɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɚɬɟɪɢɚɥɚ ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɭɠɟ ɜ ɲɤɨɥɶɧɨɦ ɤɭɪɫɟ ɜ ɪɚɦɤɚɯ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨɣ ɫɨɞɟɪɠɚɬɟɥɶɧɨ ɦɟɬɨɞɢɱɟɫɤɨɣ ɥɢ ɧɢɢ ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɎȽɈɋ ɨɫɧɨɜɧɨɝɨ ɨɛɳɟɝɨ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɢɡɭɱɟɧɢɟ ɩɪɟɞɦɟɬɧɨɣ ɨɛ ɥɚɫɬɢ ©Ɇɚɬɟɦɚɬɢɤɚª ɞɨɥɠɧɨ ©ɨɛɟɫɩɟɱɢɬɶ ɨɫɨɡɧɚɧɢɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ ɤɚɤ ɱɚɫɬɢ ɨɛɳɟɱɟɥɨɜɟɱɟɫɤɨɣ ɤɭɥɶɬɭɪɵ ɭɧɢɜɟɪɫɚɥɶɧɨɦ ɹɡɵɤɟ ɧɚɭɤɢ ɩɨɡɜɨɥɹɸ

4

ɳɟɦ ɨɩɢɫɵɜɚɬɶ ɢ ɢɡɭɱɚɬɶ ɪɟɚɥɶɧɵɟ ɩɪɨɰɟɫɫɵ ɢ ɹɜɥɟɧɢɹª ɂɡɭɱɟɧɢɟ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ ɞɨɥɠɧɨ ɫɩɨɫɨɛɫɬɜɨɜɚɬɶ ɪɚɡɜɢɬɢɸ ɥɨɝɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɵɲɥɟɧɢɹ ɮɨɪɦɢɪɨɜɚɧɢɸ ɩɟɪ ɜɢɱɧɵɯ ɧɚɜɵɤɨɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɦɨɞɟɥɢɪɨɜɚɧɢɹ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɸ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟ ɫɤɢɯ ɡɧɚɧɢɣ ɩɪɢ ɪɟɲɟɧɢɢ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɡɚɞɚɱ ɢ ɨɰɟɧɢɜɚɧɢɸ ɩɨɥɭɱɟɧɧɵɯ ɪɟɡɭɥɶ ɬɚɬɨɜ ɪɚɡɜɢɬɢɸ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɢɧɬɭɢɰɢɢ

ȼ ɬɚɛɥɢɰɟ ɨɬɪɚɠɟɧɚ ɞɢɧɚɦɢɤɚ ɪɚɡɜɢɬɢɹ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬ ©ɡɧɚɬɶ ɭɦɟɬɶª ɜ ɫɬɪɭɤɬɭɪɟ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɤɨɦɩɟɬɟɧɰɢɢ ɜ ɤɨɧɬɟɤɫɬɟ ɬɪɟɛɨɜɚɧɢɣ ɎȽɈɋ ɤ ɭɪɨɜ ɧɸ ɩɨɞɝɨɬɨɜɤɢ ɜɵɩɭɫɤɧɢɤɨɜ ɨɫɧɨɜɧɨɣ ɢ ɫɬɚɪɲɟɣ ɲɤɨɥ

Ɍ ɚ ɛ ɥ ɢ ɰ ɚ

Ⱦɢɧɚɦɢɤɚ ɪɚɡɜɢɬɢɹ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɤɨɦɩɟɬɟɧɰɢɢ

ȼ ɎȽɈɋ ɜɵɫɲɟɝɨ ɩɪɨɮɟɫɫɢɨɧɚɥɶɧɨɝɨ ɨɛɪɚɡɨɜɚɧɢɹ ɫɬɪɭɤɬɭɪɵ ɮɨɪɦɢɪɭɟ ɦɵɯ ɤɨɦɩɟɬɟɧɰɢɣ ɞɨɩɨɥɧɟɧɵ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬɨɦ ©ɜɥɚɞɟɬɶª ɋ ɧɚɲɟɣ ɬɨɱɤɢ ɡɪɟɧɢɹ

ɞɚɧɧɵɣ ɤɨɦɩɨɧɟɧɬ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɩɪɢɨɛɪɟɬɟɧɢɸ ɩɟɪɜɢɱɧɨɝɨ ɨɩɵɬɚ ɫɨɨɬ ɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɞɟɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɢ ɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɩɟɪɟɯɨɞɭ ɜ «ɧɟɱɟɬɤɨ ɩɨɝɪɚɧɢɱɧɭɸ ɡɨɧɭ» ɦɟɠɞɭ ɤɨɦɩɟɬɟɧɰɢɟɣ ɢ ɤɨɦɩɟɬɟɧɬɧɨɫɬɶɸ ɤɨɦɩɟɬɟɧɰɢɹ ©ɜ ɞɟɣɫɬɜɢɢª ɉɪɢɜɟɞɟɦ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɩɪɢɦɟɪɚ ɬɚɛɥɢɰɚ ɬɪɟɛɨɜɚɧɢɹ ɤ ɫɬɪɭɤɬɭ ɪɟ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɚ ɨɛɭɱɟɧɢɹ ɫɩɨɫɨɛɫɬɜɭɸɳɟɝɨ ɮɨɪɦɢɪɨɜɚɧɢɸ ɩɪɨɮɟɫɫɢɨɧɚɥɶɧɨɣ ɤɨɦɩɟɬɟɧɰɢɢ ɉɄ ©ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɟ ɨɫɧɨɜɧɵɯ ɡɚɤɨɧɨɜ ɟɫɬɟɫɬɜɟɧɧɨɧɚɭɱɧɵɯ ɞɢɫɰɢɩɥɢɧ ɜ ɩɪɨɮɟɫɫɢɨɧɚɥɶɧɨɣ ɞɟɹɬɟɥɶɧɨɫɬɢ ɩɪɢɦɟɧɟɧɢɟ ɦɟɬɨɞɨɜ ɦɨɞɟɥɢ ɪɨɜɚɧɢɹ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɢ ɷɤɫɩɟɪɢɦɟɧɬɚɥɶɧɨɝɨ ɢɫɫɥɟɞɨɜɚɧɢɹª ɎȽɈɋ ɧɚɩɪɚɜ ɥɟɧɢɹ ɩɨɞɝɨɬɨɜɤɢ ɛɚɤɚɥɚɜɪɨɜ ©ɋɬɪɨɢɬɟɥɶɫɬɜɨª Ɂɞɟɫɶ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟ ɫɤɚɹ ɤɨɦɩɟɬɟɧɰɢɹ ɤɨɦɩɟɬɟɧɬɧɨɫɬɶ ɜɵɫɬɭɩɚɟɬ ɜ ɤɚɱɟɫɬɜɟ ɨɞɧɨɣ ɢɡ ɩɨɞɫɢɫɬɟɦ ɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɧɧɵɯ ɜ ɭɤɚɡɚɧɧɭɸ ɤɨɦɩɟɬɟɧɰɢɸ ɉɄ

ȼ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɜɵɲɟɩɪɢɜɟɞɟɧɧɵɦɢ ɬɪɟɛɨɜɚɧɢɹɦɢ ɧɚɫɬɨɹɳɟɟ ɩɨɫɨ ɛɢɟ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɫɨɛɨɣ ɜɜɨɞɧɵɣ ɤɭɪɫ ɬɨɪɢɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɢ ± ɱɚɫɬɢɱɧɨ ± ɦɚ ɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ Ɉɛɭɱɚɸɳɢɣ ɦɨɞɭɥɶ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɬɟɨɪɟ

6

ɬɢɱɟɫɤɢɟ ɫɜɟɞɟɧɢɹ ɜɤɥɸɱɚɸɳɢɟ ɩɨɧɹɬɢɟ ɚɥɝɟɛɪɵ ɫɨɛɵɬɢɣ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɢ ɫɜɨɣɫɬɜɚ ɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɨɣ ɢ ɝɟɨɦɟɬɪɢɱɟɫɤɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɟɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɵɟ ɫɯɟɦɵ ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɟ ɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɫɥɭɱɚɣɧɵɯ ɜɟɥɢɱɢɧ ɜɜɨɞɧɵɟ ɩɨɧɹɬɢɹ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɢ ɩɪɟɞɟɥɶɧɵɟ ɬɟɨɪɟɦɵ ɋɥɟɞɭɹ ɡɚɞɚɱɧɨɦɭ ɩɨɞɯɨɞɭ ɚɜɬɨɪ ɡɧɚɱɢɬɟɥɶɧɨɟ ɜɧɢɦɚɧɢɟ ɭɞɟɥɹɟɬ ɦɟɬɨɞɚɦ ɪɟɲɟɧɢɣ ɬɢɩɨɜɵɯ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɵɯ ɡɚɞɚɱ ɫɱɢɬɚɹ ɷɬɨɬ ɮɚɤɬɨɪ ɨɫɧɨɜɨɣ ɚɤɬɢɜɧɨɝɨ ɨɛɭɱɟɧɢɹ Ɏɨɪɦɢɪɨɜɚɧɢɟ ɫɩɨɫɨɛɧɨɫɬɟɣ ɩɪɢɦɟɧɹɬɶ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɢɟ ɜ ɬɨɦ ɱɢɫɥɟ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɧɨ ɫɬɚɬɢɫɬɢɱɟɫɤɢɟ ɦɟɬɨɞɵ ɟɫɬɟɫɬɜɟɧɧɨɧɚɭɱɧɵɟ ɢ ɨɛɳɟɢɧɠɟɧɟɪɧɵɟ ɡɧɚɧɢɹ ɦɟɬɨɞɵ ɦɨɞɟɥɢɪɨɜɚɧɢɹ ɞɨɫɬɢɝɚɟɬɫɹ ɫɪɟɞɫɬɜɚɦɢ ɪɟɲɟɧɢɹ ɩɪɚɤɬɢɤɨ ɨɪɢɟɧɬɢɪɨɜɚɧɧɵɯ ɢ ɩɪɢɤɥɚɞɧɵɯ ɡɚɞɚɱ ɋɸɠɟɬɵ ɫɬɨɯɚɫɬɢɱɟɫɤɢɯ ɡɚɞɚɱ ɩɪɟɞɥɚ

ɝɚɟɦɵɯ ɱɢɬɚɬɟɥɹɦ ɞɚɧɧɨɝɨ ɩɨɫɨɛɢɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ

x ɜɵɛɨɪɤɢ ɮɨɪɦɢɪɨɜɚɧɢɟ ɤɨɦɩɥɟɤɬɨɜ ɬɟɥɟɮɨɧɧɵɟ ɧɨɦɟɪɚ ɜɚɪɢɚɧɬɵ ɚɪɟɧɞɵ ɜ ɤɚɪɲɟɪɢɧɝɨɜɵɯ ɤɨɦɩɚɧɢɹɯ ɢ ɞɪ

x ɫɨɫɬɚɜɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹ ɷɥɟɤɬɪɢɱɟɫɤɢɟ ɫɯɟɦɵ ɜɚɪɢɚɧɬɵ ɩɨɩɚɞɚɧɢɣ ɜ ɦɢ ɲɟɧɶ ɩɪɢ ɫɬɪɟɥɶɛɟ ɧɚɜɹɡɱɢɜɚɹ ɪɟɤɥɚɦɚ ɢ ɬ ɩ

x ɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɚɹ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɫɭɦɦɵ ɢ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ ɨ ɜɵɛɨɪɤɟ ɪɚɫɩɪɟɞɟɥɟɧɢɟ ɤɜɚɪɬɢɪ ɩɨ ɠɪɟɛɢɸ ɤɨɧɬɪɨɥɶ ɫɬɚɧɞɚɪɬɧɨɫɬɢ ɢɡɞɟɥɢɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɩɨɫɬɭɩɥɟɧɢɹ ɮɟɣɤɨɜɨɣ ɢɧɮɨɪɦɚɰɢɢ ɛɚɧɤɨɜɫɤɢɟ ɨɩɟɪɚɰɢɢ ɢ ɞɪ

x ɫɯɟɦɚ ɝɢɩɨɬɟɡ ɩɨɝɨɞɚ ɢ ɪɵɛɚɥɤɚ ɨɲɢɛɤɢ ɩɪɢ ɤɨɦɩɶɸɬɟɪɧɨɣ ɞɢɚɝɧɨ ɫɬɢɤɟ ɧɚɥɢɱɢɟ ɜɚɤɚɧɫɢɣ ɢ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɶ ɬɪɭɞɨɭɫɬɪɨɣɫɬɜɚ

x ɫɯɟɦɚ Ȼɟɪɧɭɥɥɢ ɢ ɩɪɟɞɟɥɶɧɵɟ ɬɟɨɪɟɦɵ ɧɚɢɜɟɪɨɹɬɧɟɣɲɟɟ ɱɢɫɥɨ ɩɨɛɟɞ ɜ ɫɩɨɪɬɢɜɧɵɯ ɫɨɪɟɜɧɨɜɚɧɢɹɯ ɨɩɟɱɚɬɤɢ ɧɚ ɫɬɪɚɧɢɰɟ ɤɧɢɝɢ ɡɚɞɟɪɠɤɢ ɚɜɢɚɪɟɣɫɨɜ ɩɪɨɞɚɠɚ ɚɤɰɢɣ ɞɟɦɨɝɪɚɮɢɹ

x ɞɢɫɤɪɟɬɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɭɱɚɫɬɤɢ ɬɪɟɛɭɸɳɢɟ ɪɟɦɨɧɬɚ ɢɧɞɢ ɤɚɬɨɪɵ ɫɨɛɵɬɢɣ ɤɨɧɬɪɨɥɶ ɤɚɱɟɫɬɜɚ ɩɪɨɞɭɤɰɢɢ ɫɢɝɧɚɥɢɡɚɬɨɪɵ ɚɜɚɪɢɣ ɧɵɯ ɫɢɬɭɚɰɢɣ ɛɭɥɥɢɬɵ

x ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɟ ɫɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ ɮɚɪɦɚɰɟɜɬɢɱɟɫɤɨɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɫɬɜɨ ɜɪɟɦɹ ɛɟɡɨɬɤɚɡɧɨɣ ɪɚɛɨɬɵ ɩɪɢɛɨɪɚ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ ɭɤɚɡɚɬɟɥɹ ɧɚ ɢɡɦɟɪɢ ɬɟɥɶɧɨɣ ɲɤɚɥɟ ɢ ɞɪ

x ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ ɪɚɡɦɟɪɨɜ ɢɡɞɟɥɢɣ ɨɬ ɫɬɚɧɞɚɪɬɚ ɤɭɪɫ ɞɨɥɥɚɪɚ ɢɡɦɟɪɟɧɢɹ ɚɪɬɟɪɢɚɥɶɧɨɝɨ ɞɚɜɥɟɧɢɹ ɤɨɧɬɪɚɮɚɤɬɧɚɹ ɩɪɨɞɭɤɰɢɹ

ɋɬɪɭɤɬɭɪɚ ɩɨɫɨɛɢɹ ɬɚɤɨɜɚ ɉɨ ɤɚɠɞɨɣ ɢɡ ɬɟɦ ©ɗɥɟɦɟɧɬɵ ɤɨɦɛɢɧɚɬɨɪɢɤɢª ©ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɫɨɛɵɬɢɹª ©ɋɥɭɱɚɣɧɵɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵª ©ɗɥɟɦɟɧɬɵ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɫɬɚɬɢɫɬɢɤɢª ɩɪɟɞɥɚɝɚɸɬɫɹ ɨɛɭɱɚɸɳɢɣ ɢ ɤɨɧɬɪɨɥɶɧɵɣ ɦɨɞɭɥɢ Ɉɛɭɱɚɸɳɢɣ ɦɨɞɭɥɶ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɨɫɧɨɜɧɵɟ ɩɨɧɹɬɢɹ ɢ ɮɚɤɬɵ ɩɨ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɬɟɦɟ Ɉɫɧɨɜ ɧɵɟ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɹ ɩɪɢɜɟɞɟɧɵ ɫ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚɦɢ Ɍɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɣ ɦɚɬɟɪɢɚɥ ɢɥ

7

ɥɸɫɬɪɢɪɭɟɬɫɹ ɦɧɨɝɨɱɢɫɥɟɧɧɵɦɢ ɩɪɢɦɟɪɚɦɢ ɩɪɚɤɬɢɤɨ ɨɪɢɟɧɬɢɪɨɜɚɧɧɨɝɨ ɯɚ ɪɚɤɬɟɪɚ Ʉɨɧɬɪɨɥɶɧɵɣ ɦɨɞɭɥɶ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɪɹɞ ɬɟɨɪɟɬɢɱɟɫɤɢɯ ɭɩɪɚɠɧɟɧɢɣ ɢ ɡɚɞɚ ɧɢɹ ɞɥɹ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ

ɉɨɫɨɛɢɟ ɚɞɪɟɫɨɜɚɧɨ ɤɚɤ ɫɬɭɞɟɧɬɚɦ ɬɟɯɧɢɱɟɫɤɢɯ ɢ ɷɤɨɧɨɦɢɱɟɫɤɢɯ ɧɚɩɪɚɜ ɥɟɧɢɣ ɩɨɞɝɨɬɨɜɤɢ ɬɚɤ ɢ ɭɱɢɬɟɥɹɦ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ Ⱥɭɞɢɬɨɪɢɢ ɩɟɞɚɝɨɝɨɜ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɩɨɥɟɡɧɵ ɦɟɬɨɞɢɱɟɫɤɢɟ ɦɚɬɟɪɢɚɥɵ ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɧɵɟ ɜ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɹɯ

Ⱦɥɹ ɛɨɥɟɟ ɨɫɧɨɜɚɬɟɥɶɧɨɝɨ ɨɡɧɚɤɨɦɥɟɧɢɹ ɫ ɩɨɧɹɬɢɹɦɢ ɢ ɦɟɬɨɞɚɦɢ ɫɬɨɯɚ ɫɬɢɤɢ ɚɞɪɟɫɭɟɦ ɱɢɬɚɬɟɥɹ ɤ ɛɨɥɟɟ ɩɨɥɧɵɦ ɤɭɪɫɚɦ ɧɚɩɪɢɦɟɪ > @ ɢ > @

8

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

ОБУЧАЮЩИЙ МОДУЛЬ

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱ ɧɚ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɟ ɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɨɣ ɜɟɪɨɹɬɧɨɫɬɢ ɬɟɫɧɨ ɫɜɹɡɚɧɨ ɫ ɦɟɬɨɞɚɦɢ ɩɟɪɟɱɢɫɥɢɬɟɥɶɧɨɣ ɤɨɦɛɢɧɚɬɨɪɢɤɢ Ʉɨɦɛɢɧɚɬɨɪɢɤɚ – ɷɬɨ ɪɚɡɞɟɥ ɞɢɫɤɪɟɬɧɨɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɤɢ ɢɡɭɱɚɸɳɢɣ ɦɟɬɨɞɵ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɹ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɚ ɜɫɟ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɤɨɧɟɱɧɵɯ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜ ɞɚɧɧɨɝɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɩɨ ɡɚɞɚɧɧɵɦ ɯɚɪɚɤɬɟ ɪɢɫɬɢɤɚɦ ɷɬɢɯ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬɜ

1. Кортежи. Прямые произведения

ɉɭɫɬɶ ɞɚɧɵ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ G Gn Ʉɨɪɬɟɠɟɦ ɞɥɢɧɵ n, ɫɨɫɬɚɜɥɟɧɧɵɦ ɢɡ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɷɬɢɯ ɦɧɨɠɟɫɬɜ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɥɸɛɚɹ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɜɢɞɚ g g gn ɝɞɟ gk Gk d k d n

Ʉɨɪɬɟɠɢ ɞɥɢɧɵ ɬ ɟ ɤɨɪɬɟɠɢ ɜɢɞɚ g g ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵ ɦɢ ɩɚɪɚɦɢ ɤɨɪɬɟɠɢ ɞɥɢɧɵ ± ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɦɢ ɬɪɨɣɤɚɦɢ ɢ ɬ ɞ

Ⱦɟɤɚɪɬɨɜɵɦ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟɦ G u uGn ɦɧɨɠɟɫɬɜ G Gn ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ G ɤɨɪɬɟɠɟɣ ɜɢɞɚ g g gn

ɇɚɩɪɢɦɟɪ ɞɟɤɚɪɬɨɜɨ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜ G uG ɫɨɫɬɨɢɬ ɢɡ ɜɫɟɜɨɡ ɦɨɠɧɵɯ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɵ[ ɩɚɪ g g ɝɞɟ g G g G

ПРИМЕР. Ⱦɜɨɟ ɞɪɭɡɟɣ ɪɟɲɢɥɢ ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɤɚɪɲɟɪɢɧɝɨɦ ɞɥɹ ɩɭɬɟ ɲɟɫɬɜɢɹ ɍ ɮɢɪɦɵ ɢɦɟɸɬɫɹ ɫɜɨɛɨɞɧɵɯ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɟɣ ©Ɋɟɧɨª ɢ ɚɜɬɨ ©Ɍɨɣɨ ɬɚª ɋɤɨɥɶɤɨ ɜɨɡɦɨɠɧɨ ɜɚɪɢɚɧɬɨɜ ɜɵɛɨɪɚ ɚɜɬɨɦɨɛɢɥɟɣ ɟɫɥɢ ɞɪɭɡɶɹ ɜɵɛɢɪɚɸɬ ɚɜɬɨ ɪɚɡɧɵɯ ɦɚɪɨɤ"

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɋɥɟɞɭɟɬ ɧɚɣɬɢ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɜɫɟɯ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɯ ɩɚɪ g g ɝɞɟ g ± ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɚ g ɩɹɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ȼ ɩɚɪɟ ɫ ɮɢɤ ɫɢɪɨɜɚɧɧɵɦ ɜɵɛɪɚɧɧɵɦ g ɦɨɠɟɬ ɨɤɚɡɚɬɶɫɹ ɥɸɛɨɟ g ^ ` ɬ ɟ ɬɚɤɢɯ ɩɚɪ ɛɭɞɟɬ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɭ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ g ɍɱɢɬɵɜɚɹ ɱɬɨ ɜɵɛɨɪ g ɜɨɡɦɨɠɟɧ ɲɟɫɬɶɸ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ ɢɦɟɟɦ ɜɫɟ ɭɩɨɪɹɞɨɱɟɧɧɵɟ ɩɚɪɵ ɜ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɟ

9

Ⱦɥɹ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚ ɧɚɞɨ ɩɨɜɬɨɪɢɬɶ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɹ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɵɟ ɩɪɢ ɪɟɲɟ ɧɢɢ ɩɪɢɦɟɪɚ ɩ ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬ ɬɟɨɪɟɦɵ ɢ ɦɟɬɨɞ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɢɧɞɭɤɰɢɢ ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ

Q G u uGn Q G Q Gn

ȼ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ ɟɫɥɢ ɢɦɟɟɬɫɹ ɩ ɷɤɡɟɦɩɥɹɪɨɜ ɨɞɧɨɝɨ ɢ ɬɨɝɨ ɠɟ ɦɧɨɠɟ ɫɬɜɚ G ɢ ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɧɚɣɬɢ ɱɢɫɥɨ ɤɨɪɬɟɠɟɣ ɞɥɢɧɵ ɩ ɜ ɤɨɬɨɪɵɟ ɜɯɨɞɢɬ ɩɨ ɨɞɧɨɦɭɢ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɧɨɦɭ ɷɥɟɦɟɧɬɭ ɢɡ ɤɚɠɞɨɝɨ ɷɤɡɟɦɩɥɹɪɚ ɬɨ ɬɚɤɢɟ ɤɨɪɬɟɠɢ ɧɚɡɵɜɚ ɸɬɫɹ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɹɦɢ ɫ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɹɦɢ ɞɪɭɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɹ ɫ ɩɨɜɬɨ ɪɟɧɢɹɦɢ ɷɬɨ ɤɨɪɬɟɠɢ ɜɢɞɚ g g gn G u uG ɑɢɫɥɨ ɬɚɤɢɯ ɤɨɪɬɟɠɟɣ ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɩɪɢɧɰɢɩɭ ɭɦɧɨɠɟɧɢɹ ɨɱɟɜɢɞɧɨ ɟɫɬɶ

Q Gɩ mɩ

ɝɞɟ ɬ Q *

ПРИМЕР. Ʉɚɤɨɟ ɦɚɤɫɢɦɚɥɶɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɬɟɥɟɮɨɧɧɵɯ ɧɨɦɟɪɨɜ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɭ ɦɨɛɢɥɶɧɨɝɨ ɨɩɟɪɚɬɨɪɚ ɟɫɥɢ ɤɚɠɞɵɣ ɧɨɦɟɪ ɞɨɥɠɟɧ ɧɚɱɢɧɚɬɶɫɹ ɫ ɰɢɮɪ "

Ɋɟɲɟɧɢɟ ɉɨɫɤɨɥɶɤɭ ɜɫɟ ɧɨɦɟɪɚ ɦɨɛɢɥɶɧɵɯ ɨɩɟɪɚɬɨɪɨɜ ɨɞɢɧɧɚɞɰɚɬɢɡɧɚɱ ɧɵɟ ɬɨ ɜ ɤɚɠɞɨɦ ɧɨɦɟɪɟ ɏɏɏɏɏɏɏ ɦɨɝɭɬ ɜɚɪɶɢɪɨɜɚɬɶɫɹ ɰɢɮɪ ɂɦɟɟɦ ɤɨɪɬɟɠɢ ɞɥɢɧɵ k 7 ɜ ɤɨɬɨɪɵɯ ɤɚɠɞɵɣ ɷɥɟɦɟɧɬ ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɢɬ ɦɧɨɠɟ ɫɬɜɭ G ^ ` ɫɨɞɟɪɠɚɳɟɦɭ m ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɱɢɫɥɨ ɬɚɤɢɯ ɤɨɪɬɟɠɟɣ Q G Ɉɞɧɚɤɨ ɬɟɥɟɮɨɧɧɨɝɨ ɧɨɦɟɪɚ ɫɨɫɬɨɹɳɟɝɨ ɫɩɥɨɲɶ

ɢɡ ɧɭɥɟɣ ɨɛɵɱɧɨ ɧɟ ɛɵɜɚɟɬ ɋɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨ ɢɫɤɨɦɨɟ ɱɢɫɥɨ ɧɨɦɟɪɨɜ ɪɚɜɧɨ±

2. Размещения, перестановки, сочетания

ȿɫɥɢ ɫɬɪɨɢɬɶ ɤɨɪɬɟɠɢ ɞɥɢɧɵ N ɢɡ ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɨɞɧɨɝɨ ɢ ɬɨɝɨ ɠɟ ɦɧɨ ɠɟɫɬɜɚ G ɬɚɤ ɱɬɨɛɵ ɷɥɟɦɟɧɬɵ ɜ ɤɨɪɬɟɠɟ ɧɟ ɩɨɜɬɨɪɹɥɢɫɶ ɬɨ ɬɚɤɢɟ ɤɨɪɬɟɠɢ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɹɦɢ ɛɟɡ ɩɨɜɬɨɪɟɧɢɣ

Теорема. Ʉɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɪɚɡɦɟɳɟɧɢɣ ɢɡ m ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɩɨ N ɷɥɟɦɟɧɬɨɜ ɟɫɬɶ